Cuentas sin sentido

Me había prometido no incluir en este blog ejemplos de lo mal que están algunas cosas. Creo que todos somos conscientes de ello, y prefiero escribir en positivo. Sin embargo, en un mismo día de esta semana he visto dos cosas que me han dejado perplejo, y  creo que son ejemplos perfectos de hasta qué punto estamos rodeados de cuentas sin sentido.

En mi clase de Matemáticas para maestros les propuse el siguiente problema: “Si ahora son las 8 de la tarde, ¿qué hora era hace 2500 horas?”. Cerca de la mitad de la clase no sabía cómo hacerlo. Insisto: no tengo queja de su motivación; lo intentaron, pero no sabían hacerlo. Pero lo que más me sorprendió es que cuando expuse la solución, a partir de la igualdad  2500 = 104 \times 24 + 4 aún había una cantidad significativa de alumnos, digamos que alrededor del 10%, que no entendían la solución, y con los que tuve que recurrir a ejemplos más sencillos, como tomar 28 horas, etc. Estoy seguro de que en su formación habían hecho decenas (posiblemente centenares) de divisiones, pero no entendían la idea básica de división.

Ese mismo día, al llegar a casa, mi hija mayor me cuenta que está estudiando los logaritmos. Está en 4º de ESO (para los lectores que no conozcan el sistema educativo español, se trata del 10º curso de la educación obligatoria). La verdad es que hasta ahora no había pensado en los logaritmos (lo pongo en la lista), así que no tengo mucho que decir acerca de cómo creo que se deberían tratar, pero creo que todos hemos escuchado la palabra en boca de gente “de letras” cuando quieren expresar lo esotérico e incomprensible de las matemáticas que estudiaron al final de la educación obligatoria. Mi hija no tenía mayores problemas con el tema, sólo quería enseñarme lo raras que eran algunas cuentas que estaba haciendo. Aquí están escaneadas las dos a las que les daría los primeros premios en el concurso:

Otra cosa que me llamó poderosamente la atención de su cuaderno es que tenía una lista de ¡7! propiedades de los logaritmos. La primera decía: “El logaritmo de la base elevada a una potencia es la potencia”. Preferí no seguir leyendo …

Como digo, no tengo una propuesta clara sobre el tema, así que voy a terminar con las dos primeras observaciones que se me ocurren:

  1. Una vez más, la intirdisciplinariedad es clave. Es la primera vez que estudian los logaritmos, pero para algunos será la última, y hablar ya en esta ocasión de los decibelios, o el pH, o la escala de Richter para medir la intensidad de los terremotos,  es imprescindible para que el tema tenga algún sentido.
  2. La idea matemática fundamental es, desde luego, que el logaritmo es la inversa de la función exponencial.

A partir de aquí, la observación es la general: ¿qué queremos conseguir cuando les ponemos a hacer cuentas?

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11 pensamientos en “Cuentas sin sentido

  1. Terriblemente de acuerdo, aprobé el examen de logaritmos apuntando en mi mano las propiedades y siempre he creído que los dioses me han condenado cual Sísifo a explicar estas mismas propiedades a mis alumnos particulares una y otra vez. A mis alumnos de instituto intento no tener que explicarselas… pero esa es otra historia…
    Gracias por el post. Lo comparto.

  2. Contundente (como es habitual).

    Le he dado muchas vueltas a la cabeza a raíz de haberme encontrado ante situaciones parecidas a las que expones.

    El de la división es un ejemplo dramático: grandes cantidades de tiempo y esfuerzo empleadas en dividir, dividir, dividir, dividir, dividir, dividir y volver a dividir… centrándose sobre todo en un aspecto, el del cálculo, que es muy importante, sí, pero que el día de mañana tendrá fácil solución (una calculadora en la mano). Mientras, se dejan de lado otras cuestiones, y acabamos por encontrarnos con situaciones como la que mencionas en tu entrada: los alumnos sudan para encajar una operación básica como la división (o incluso la multiplicación) en problemas sencillos. O (¿peor aún?) con operaciónes similares resueltas correctamente en un contexto aislado, pero incorrectamente en el marco de un problema. Ejemplo real dentro de una misma prueba:

    En un apartado se les propone esta operación: 15,4 – 6,843. Igual a 8,557. Bien. Perfecto. Para la práctica totalidad de ellos no hay problema alguno.

    En otro situamos un problema en el supermercado y se les pregunta: ¿Cuánto os tienen que devolver? (El tique marca 60,61 €, se ha pagado con 100 €) Un buen puñado de los alumnos que han realizado correctamente la resta anterior responden ahora que 40,61 €!

    Y es entonces, cuando te entregas a la causa de la sustitución de todo tipo de operaciones por problemas, cuando reconoces que el mismo error que cometemos con sumas, restas, multiplicaciones y divisiones se reproduce en el caso de las potencias, los polinomios, las ecuaciones… Calculamos, resolvemos, aplicamos propiedades… pero no creamos, no aplicamos…
    Nos congratulamos de que nuestros alumnos de 2º de la ESO resuelvan correctamente una ecuación completa de segundo grado… Hay una fórmula, les resulta fácil. ¿Qué mas da que no conozcan ni un solo ejemplo si siempre podremos sentenciar que no están en edad de comprenderlos?
    Hasta en las cuestiones más abstractas se impone como normal una organización de contenidos que primero los presenta y después, y sólo después, se preocupa de mostrar posibles usos. ¡Factoricemos! ¿Para qué? ¡Ya lo veremos en el próximo tema! (y mientras va echando raíces en la cabeza de los alumnos la idea de lo que estamos haciendo no vale de nada, que hay que aprenderlo porque entra en el examen)

    “LA INTERDISCIPLINARIEDAD ES LA CLAVE”. Siempre. ¿Por qué no nos interesamos más a menudo por los contenidos del resto de materias? ¿Cómo vamos si no a poner en contacto lo que se pretende que los chavales aprendan con el resto de disciplinas, con sus aplicaciones prácticas? Preferimos distorsionar la realidad hasta hacerla irreconocible antes que pisar fuera de nuestra área. El objetivo de la materia de Matemáticas no es producir futuros licenciados en Matemáticas, sino proporcionarles a los alumnos unas herramientas imprescindibles para enterarse de qué narices va lo que nos rodea.

    Y fin. Perdón por la homilía. Voy a tener que plantearme seriamente el fabricarme un espacio propio en lugar de colonizar blogs ajenos con comentarios kilométricos. Pero bueno, que por lo menos valga para hacerte saber que inspiras. Enhorabuena de nuevo.

    • Muchas gracias por el comentario. Puedes reincidir cuando quieras!! Uno de mis objetivos al abrir este espacio era contactar con profesores de todos los niveles educativos que compartieran estos puntos de vista. Aún tengo que madurar el tema, en las redes sociales soy un novato, pero lo que me gustaría es crear algún tipo de grupo, desde el que trabajar por poner estas ideas en la agenda.

  3. Justamente estoy tratando el tema de los logaritmos con estudiantes universitarios en un curso de cálculo integral. Siento que los logaritmos han dejado de ser útiles con las calculadoras. Es decir, antes los logaritmos se usaban muchísmo para llevar a cabo operaciones largas y de otro modo complicadas. Pero ahora quedan un poco “desconectados”… Es genial poder definir la función logaritmo natural como el área bajo la curva y=1/x y descubrir sus propiedades a partir de esa definición. También es genial poder descubrir cómo “convertir” una multiplicación en un suma y recordar un poco cómo ayudó hace muchos años. Sin embargo, los logaritmos no son tan “cotidianos” como las funciones exponenciales…

    Esto de por qué y para qué enseñamos matemáticas es una pregunta muy válida y necesaria. Muchos docentes inventan ejercicios rebuscados y complicados que diluyen el contenido matemático y lo reducen a la mera aplicación de algoritmos sin sentido para los estudiantes. Eso es triste. ¡Y algunos estudiantes incluso sienten que esa “dificultad” es buena!

    Por otro lado, es cierto que es bueno asociar las matemáticas con otras disciplinas y exponer su utilidad práctica, pero también es bueno enseñar lo hermosas que son por sí mismas. =D

    • Totalmente de acuerdo. Creo que encontrar el equilibrio entre los dos aspectos de las matemáticas que mencionas en tu último párrafo es la clave de una buena enseñanza de las matemáticas, pero también creo que ninguno de los dos está hoy en día suficientemente cuidado.

  4. Quería poner otro ejemplo, de mi hijo de segundo de ESO. Este es un mensaje que mandé en otro foro de discusión:

    1. Roberto aprende a calcular la fracción generatriz de un número decimal periódico.
    2. El profesor les enseña una regla y que se la aprendan de memoria: se pone en el numerador no sé qué, en el denominador tantos nueves como…
    3. Regla absolutamente inútil que sólo ejercita la memoria porque la verdad, casi nadie, nunca, tiene que calcular fracciones generatrices (levante la mano el que lo haya tenido que hacer para algo, en algún contexto no académico).
    4. Puestos a ejercitar la memoria que aprendan poesías o canciones que son más bonitas (y les permitirán ligar, por ejemplo).
    No digo que no haya cosas de matemáticas que no haya que aprender de memoria. Las tablas de multiplicar son un ejemplo. Pero las fracciones generatrices…
    5. Le digo a Roberto, te explico cómo se hace y así no tienes que sabértela de memoria y aprendes a razonar.
    6. Me dice: el profe ha dicho que no lo explica porque es muy difícil.
    7. Rediós, me digo.

    Otro profe que ha tirado la toalla y que ni él mismo entiende para que hace calcular a sus alumnos fracciones generatrices sin que entiendan nada.

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