Los algoritmos tradicionales de la aritmética

No es mi intención convertir este blog en un foro de anuncios, pero esta ocasión es singular: la semana del 8 al 12 de julio, en la Universidad de Alcalá, tenemos la 2ª edición del curso de verano del que este blog tomó el nombre: Matemáticas de primaria: + ideas, – cuentas. Se puede encontrar más información en este enlace. El anuncio no está especialmente bien organizado. Los cursos están organizados por código: el 48.01.

Y ya puestos a anunciar, he añadido en la zona de la derecha un enlace a un buzón de sugerencias.

Mi propósito en esta entrada es continuar con la reflexión sobre el papel de los algoritmos tradicionales de la aritmética en la enseñanza de las matemáticas elementales, un tema que ya empecé a tratar en esta entrada. Dando por sentado que no tiene mucho sentido el estudio mecánico de los algoritmos tradicionales y su aprendizaje rutinario, quiero reflexionar hoy sobre posibles alternativas. Una “corriente” sostiene que lo que hay que hacer es explicar los algoritmos tradicionales, pero de manera que se entiendan: para las sumas y restas en columnas se trabaja el tema de las llevadas, después se explica porqué funciona el algoritmo tradicional de la multiplicación, y finalmente la división. Ron Aharoni, en su libro “Aritmética para madres y padres”, del que ya he hablado en este blog, da una razón digna de tener en cuenta: debemos confiar en la sabiduría de las generaciones que nos han precedido. Los algoritmos tradicionales de la aritmética han sido depurados a lo largo de cientos de años, y por tanto, no deben estar tan mal … Creo que este argumento pasa por alto un detalle muy importante: el diseño de un algoritmo debe tener en cuenta el fin para el que se está diseñando. Los algoritmos tradicionales de la aritmética se desarrollaron con un objetivo muy concreto: poder calcular de forma eficiente y fiable con números grandes. Por supuesto, esto tuvo perfecto sentido: durante cientos de años, ese conocimiento del cálculo era de una indudable utilidad en la vida cotidiana, y en muchos casos una competencia profesional altamente valorada. También por supuesto, hace ya años que estas dos cosas han dejado de ser ciertas …

¿Cuáles deberían ser los requerimientos de un buen algoritmo de aritmética elemental en el siglo XXI? Desde mi punto de vista, estos dos:

  1. que haga posible el cálculo rápido con números “no grandes”.
  2. que ayude a desarrollar el sentido numérico.

Creo que el punto 1 es irrenunciable: todos los niños deberían terminar la educación primaria calculando con soltura el resultado de operaciones como 37 + 48, 17 \times 12 ó 88 : 7. Y deberían hacerlo, además, con la suficiente fluidez para que no les mereciera la pena alargar el brazo y recurrir a su teléfono móvil o a su calculadora.

El punto 2 también me parece esencial: entender la notación posicional, comparar órdenes de magnitud, estimar resultados de operaciones, en definitiva, desarrollar lo que se suele conocer como sentido numérico, debería ser otro ingrediente esencial de la formación matemática elemental.

Seguramente hasta este punto el acuerdo es bastante general, pero entonces llegamos a la pregunta clave: los algoritmos tradicionales, ¿cumplen estos requerimientos? Desde mi punto de vista, claramente no. No se diseñaron pensando en el punto 1: para este tipo de operaciones, las estrategias del cálculo mental son muy superiores. Y tampoco me parecen adecuados para el punto 2. Es verdad que, como dice Aharoni, si un alumno entiende el algoritmo de la “división larga” (la división con divisor de dos o más cifras) entonces ha comprendido realmente la notación posicional y el sistema numérico. Pero, ¿qué precio estaríamos pagando por ello? Por un lado, esa tarea requiere de mucho tiempo, que podría haberse dedicado a otros temas. Por otro lado, creo que durante el proceso habríamos perdido a un número considerable de alumnos. Es posible que los algoritmos tradicionales, debidamente explicados, sí pueden cubrir el punto 2, pero no se diseñaron para ello y creo que hay alternativas mucho mejores.

¿Y cuál sería la mejor alternativa? Bueno, no tengo todavía una respuesta clara a esta pregunta. Sigo leyendo y pensando sobre el tema, y me parece que debería ser una de las preguntas cruciales de la didáctica de las matemáticas en la actualidad. Veo esencialmente dos alternativas:

  1. presentar unos algoritmos distintos, que cumplan estos requerimientos. Los algoritmos ABN, por ejemplo, pueden ser un buen punto de partida.
  2. recurrir a estrategias del tipo del cálculo mental, que en general cada alumno va descubriendo, lo que no excluye por supuesto que haya una fase de refinamiento y puesta en común.

Una crítica común a la opción 2 es que los cálculos a los que se llegaría serían muy limitados. Bueno, habría que ver de qué son capaces unos chicos que le dedicaran tiempo, durante toda la primaria, a este tipo de estrategias, creo que nos sorprenderían. En cualquier caso, un alumno que terminara 6º de primaria haciendo de cabeza y con facilidad operaciones como las mencionadas anteriormente (37 + 48,   17 \times 12 ó 88 : 7), y que tuviera que recurrir a la calculadora para operaciones más complicadas, estaría en mucha mejor situación que los alumnos que creo que todos vemos en la ESO, que recurren a la calculadora para operaciones como  17 \times 1/2.

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4 pensamientos en “Los algoritmos tradicionales de la aritmética

  1. Una de tus citas dice: es verdad que, como dice Aharoni, si un alumno entiende el algoritmo de la “división larga” (la división con divisor de dos o más cifras) entonces ha comprendido realmente la notación posicional y el sistema numérico.
    Si giramos la frase, la pregunta seria: si, pero ¿cuántos de los alumnos que lo saben hacer lo entienden? Si fuera así ¿porquè aprendiéndolo en cuarto de olvida tan fácilmente en sexto?
    Si queremos defender los algoritmos tradicionales (nosotros los defendemos, lo que atacamos es su introducción prematura) su presentación se tendria que “construir” en un “ambiente de resolución de problemas” empezar por algoritmos extensos y a partir de simplificaciones llegar al estàndar llegar al estándar
    Un segundo punto: cuál és el algoritmo estándar el que hacemos en nuestro país, o el que incorpora las restas parciales escritas en el papel cómo en la mayoria de paises del mundo y que és mucho más trás tranparente (por menos comprimido) que “e nuesto”?
    En los 70 Plumkett consideraba la división de dos cifras cómo un cálculo propio de las calculadoras, no así las de una cifra que las clasificaba cómo de lápiz y papel. En Suecia el algoritmo de la división por dos cifras no forma parte de los contenidos escolares. Esto nos lleva a discutir que el problema es más “sociológico” que didáctico. La discusión seria sobre “El algoritmo de dos cifras “español” (dado que parece que sea tan exclusivo nuestro cómo el jamón serrano) en España” (dado que cualquier cambio en este aspecto crea colas de padres preocupados a la puerta de las escuels). ¡Será porqué escuelas que quieren tener prestigio de “buenas” adelantan los contenidos en matemáticas un curso y ésto marca línea?

    • Soy profesor en una academia y generalmente mis alumnos son universitarios o bien de bachillerato y educación secundaria. En cualquier caso este año he tenido alumnos de primaria y mi hija mayor está en cuarto de primaria. Durante este curso ha surgido el problema de la división de dos cifras… A mi hija no le quedaba demasiado claro y me puse a explicárselo -como recordaba que me lo habían explicado a mí- pero no coincidía con su método.

      “Mi método” era el que incorporaba las restas parciales y a mi hija no terminaba de convencerle el aprender un método que no es el “del cole” (respeto a los profesores a los que no les gustan las academias o las ayudas de los propios padres, pero si el niño lo entiende mejor de otra manera o usando otras herramientas no veo mayor problema en dejar a cada uno utilizar su “método”).

      Afortunadamente maneja bien el cálculo mental y era capaz de hacer las restas directamente, pero me sorprendió que se hiciera de una manera tan directa desde el principio. De hecho cuando un poquito más mayores llegan a las raíces cuadradas -creo que de las personas de mi edad que conozco soy el único que sabe hacerlas en papel lo que demuestra a las claras la inutilidad de su aprendizaje- usan el método de las restas parciales, así que no entiendo por qué no se utilizan del mismo modo en las divisiones.

      • Bienvenido al blog, y muchas gracias por el comentario.
        Sólo tengo una conjetura para explicar porqué el algoritmo comprimido es cada vez más dominante. Tiene que ver con la estructura de la comunidad alrededor de la educación matemática en primaria, que agruparía de esta forma:
        – algunos equipos de profesores, o colegios, trabajando al margen de los libros de texto, o con libros muy minoritarios, y haciendo cosas muy interesantes.
        – una comunidad de didáctica de las matemáticas trabajando en cosas muchas veces muy interesantes pero que por alguna razón, no me parece que se esté preocupando de cosas como qué algoritmo de la división es el adecuado, y sobre cuándo se debería impartir.
        – unos libros de texto mayoritarios que fijan el día a día de aproximadamente el 90 % de los colegios (son datos de un estudio que he oído, aún no publicado), y que han decidido elegir ese algoritmo.

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