El otro día me encontré en el cuaderno de mi hija (1º de Bachillerato) con una fórmula para determinar el ángulo que forman dos rectas (bueno, su tangente) a partir de las pendientes. Esto me ha decidido a arrancar una idea que llevaba un tiempo rondándome la cabeza, y es convocar un concurso para elegir la fórmula más inútil de nuestra enseñanza media. Mantendré aquí una lista con las contribuciones, desde luego.
Aquí va la primera:
¿Qué aporta memorizar una fórmula para calcular el ángulo directamente con las pendientes? ¿No es mucho más formativo saber, simplemente, que el ángulo de dos rectas es el ángulo que forman sus vectores directores (con la precaución de que sea el ángulo agudo, claro) y saber cómo obtener la pendiente del vector director, o viceversa?
Más ideas, menos cuentas. Un blog sobre educación matemática. 
No recuerdo de qué editorial era el libro en el que la vi ni si era de 3º o 4º de ESO, a pesar de que la fórmula en sí era de impacto:
En el medio de los pasos habituales para dibujar una parábola a partir de una función cuadrática (signo de a, vértice,…) aparecía calculada la expresión de la ordenada del vértice. Podríamos pensar que era para mencionar su relación con el discriminante, pero no, aparecía para ser memorizada y utilizada en la representación. Me parece un ejemplo bastante inútil.
Iba a contestarte para el -b/2a de la abscisa del vértice, pero ahora me doy cuenta de que se trata de la ordenada. ¿En serio? Si no es una confusión, desde luego esa es para nota!
En serio, en serio… Lo que pasa es que he visto tantos libros de texto de tantas editoriales que no recuerdo en cuál fue. Era algo del estilo y_v=f(x_v)=f(-b/2a)=…=(4ac-b²)/4a
¿La utilidad de memorizar la expresión? Habría que preguntarle al autor del libro, que da la impresión que se estaba gustando, como en tantas ocasiones.
Las derivada de un número elevado a una función, del logaritmo en base un número de una función, de una función elevada a otra función, la distancia entre dos puntos, la distancia de un punto a un recta….
La lista es larga, desde luego.
Yo no me quedo con una si no con un conjunto entero de ellas. No llegan a ser fórmulas si no relaciones pero mis alumnos las llaman así y… para el caso, da lo mismo. Me refiero a las relaciones trigonométricas entre, por ejemplo, sen(180-x) = sen(x). Dedican en los libros de texto dos o tres páginas enteras a estudiar y relacionar las razones trigonométricas de los ángulos -x, 180±x, 90±x, 270±x y la peor: 360±x. Incido en que es la peor porque, a pesar de que la mayoría de mis alumnos ya han entendido que 360+x = x no consiguen aplicar nunca ese conocimiento a las fórmulas de las que hablo y las aprenden.
Bastaría con dibujar triángulos en la circunferencia. Un ángulo x y sacar uno mismo las relaciones. Sin embargo el mero hecho de que las fórmulas aparezcan ya les insta a aprenderlas.
Yo me limito a dar clases particulares y cuando pillo el tema antes de que lo den en clase conseguimos construir las fórmulas y cada vez que acertamos añado: ¿ves que no hay que aprenderselas? Yo no me las sé, las pienso. Creo que sus profesores en general no llevan a cabo este proceso pero solo tengo la información que ellos me proporcionan, ¿alguien puede iluminarme con mas ejemplos?
Gracias.
Diego.
Cierto, en trigonometría hay un montón de formulillas tontas, que lo que hacen es desviarles de entender lo básico. Yo también tengo la impresión de que en demasiados casos los alumnos son dirigidos a memorizar ese tipo de cosas. La fuente: mis estudiantes del máster de secundaria, que en muchos casos dan/han dado clases particulares.
Por otro lado coincido contigo, Pedro, en que la fórmula que planteas es prácticamente inútil. Más si nadie se para a observar que se trata de una adaptación de otra fórmula inútil que han aprendido temas atrás: tan(a-b). Si al menos algún profesor recordara que ya vieron esa fórmula podrían reducir el esfuerzo y aprender una fórmula inútil, en vez de dos.
Las fórmulas en general son bastante inútiles, sobre todo si no llevan un razonamiento y una justificación detrás. Yo voto por la de la ecuación cuadrática, sobre todo se se enseña en 2º de la ESO como suele ser habitual, donde no se entiende de dónde viene.
En cuanto a las trigonométricas, los «estándares de aprendizaje» de Matemáticas I de la LOMCE indican explícitamente que deben conocerlas y utilizarlas, por lo que no tenemos más remedio que enseñarlas. Eso sí, no creo que eso signifique obligar a memorizarlas, se pueden proporcionar en los exámenes, como se hace en las selectividades de muchos países. En cuanto a las fórmulas que mencionas, Diego, observo en los últimos años que muchos alumnos las memorizan (a pesar de que yo ni las menciono, pero vienen en los libros y se las enseñan en algunas clases particulares) porque son incapaces de ver simetrías, semejanzas o giros; sospecho que es fruto de la cada vez peor instrucción geométrica que reciben desde pequeños, y mira que con geogebra esas cosas deberían dominarse cada vez más.
Sobre la ecuación de segundo grado, coincido completamente. Y tengo una curiosidad, ¿cuántos alumnos son conscientes de que el -b/2a del vértice de la parábola es el mismo que el de la fórmula para la ecuación de 2º grado?
Sobre las fórmulas para las propiedades básicas de las razones trigonométricas: me creo perfectamente el caso del profesor que en clase intenta que entiendan algo, y que sea en la clase particular donde les dan el listado de fórmulas. En general, si los alumnos se encuentran con dos opciones, una implica pensar y la otra se limita a memorizar (o archivar en una chuleta) un pequeño listado, muchos de ellos van a optar por esta segunda, porque piensan que «es más rápido» o, simplemente, ya están acostumbrados a ello.
Yo sólo he encontrado una forma de luchar contra esa actitud: prohibirles ciertas fórmulas (como la del área lateral del cono), y preguntar por la razón de alguna otra. Pero reconozco que hacer esto en secundaria es muy difícil.
Desde luego que no tiene mucho sentido aprenderse ciertas formulas . De todos modos para eso estan los profesores ,que deberian comentar en clase que no hace falta aprenderse ciertos datos de memoria.
En cuanto a esta formula en concreto es que es completamente innecesario porque la deduccion es trivial:
Una recta de pendiente m2 forma un angulo a2 = arctg(m2) con el eje . y una de pendiente m1 uno a1=arctg(m1).
Asi que el angulo a formado entre las dos rectas no es mas que
a = a2 – a1
Completamente de acuerdo, desde luego. Lo ocurre es que lo que dio origen a esta entrada no fue una fórmula que viera en el libro, sino una fórmula en el cuaderno de mi hija, convenientemente recuadrada. Por supuesto que se trata de una observación anecdótica, y no me voy a atrever a generalizar. Un poco menos anecdótico es lo que observo en la actitud de mis alumnos de magisterio, en general inclinados a «dame la fórmula para ese problema, y déjate de historias».
Ya me gustaría tener más datos fiables sobre qué ocurre en las aulas. Pero no, no voy a atreverme ni siquiera a sugerir ningún tipo de evaluación del profesorado …