Un cucurucho de pepitas de oro

Imagina que te dan un círculo de cartulina de radio 10 cm y te dicen que te llenarán con pepitas de oro el cucurucho que consigas hacer con la cartulina. ¿Cómo debería ser el cucurucho?

Me parece que este problema tiene todas las características de un buen problema: es natural, el enunciado es fácil de entender, la solución no es nada evidente “a primera vista” pero se puede obtener con los métodos de la ESO (bueno, si nos ayudamos de un software que represente la función volumen que se obtiene, y que nos permita obtener de forma aproximada el máximo de la función). Puede incluso plantearse, a nivel puramente manipulativo, al final de primaria.

Y es que los conos son cuerpos bastante aburridos si nos limitamos a calcular volúmenes y superficies con las fórmulas estándar, pero mucho mas interesantes si en lo que respecta a las fórmulas nos limitamos a la del volumen, y nos planteamos luego problemas basados en las relaciones entre el objeto tridimensional y su desarrollo plano, como ya comenté en esta entrada.

Una comparación de libros de texto España-Singapur

Este verano ha terminado la primera promoción del Grado de Educación Primaria en la Universidad de Alcalá. Varios de los estudiantes que se han interesado en que les dirigiera el Trabajo Fin de Grado (como parte de la última reforma de los planes de estudio en la universidad, todos los estudiantes tienen que elaborar un trabajo para obtener su título de grado. Los detalles pueden variar mucho entre universidades) han trabajado comparando el tratamiento de un tema concreto en algunos de nuestros libros de texto de primaria con los de Singapur (en concreto, con los de Marshall-Cavendish, que es la editorial de la que he hablado otras veces).

Estoy contento con el resultado de los trabajos, porque en todos los casos los alumnos han sido capaces de analizar importantes diferencias de fondo. Lo que quiero hacer hoy es simplemente hacer público uno de esos trabajos (por supuesto, tengo el permiso del alumno). El autor es Ignacio Fernández Balboa, y debo aclarar que no se trata de un “alumno promedio”, sino del mas brillante de su promoción en mis asignaturas y probable premio extraordinario.  Bueno, aquí está.

 

 

Geometría y razonamiento (II)

En los comentarios de la entrada anterior sobre este mismo tema surgió la problemática de demostrar cosas que “son evidentes”. Es cierto que demostrar cosas que “se ven” tiene sus peligros, y ya escribí sobre ello en esta entrada sobre el Teorema de Bolzano. Lo que quiero presentar hoy son los dos resultados que más me gustan para intentar combatir este problema. El resultado no es nada evidente, quizá hasta desafía la intuición, pero se puede demostrar con geometría elemental.

El primero es sobre ángulos en la circunferencia. Me voy a permitir presentar el resultado, para los lectores que estén en mi situación de hace un par de años. Es un resultado que tenía completamente olvidado cuando lo redescubrí preparando las matemáticas para maestros, y que creo recordar que sólo lo estudié en el dibujo técnico de un primer curso de ingeniería, donde usamos el libro de Puig-Adam de Geometría Métrica (estoy hablando del curso 83-84,  estoy seguro de que de este tipo de cosas no quedan rastros en las ingenierías, seguramente de forma totalmente justificada). Lo que no sé si es tan explicable es que no volviera a oír hablar de estas cosas a lo largo de una licenciatura en matemáticas.

Los ánguloarco-capazs \angle APB y \angle AQB se llaman ángulos inscritos, y el ángulo \angle ACB es el ángulo central correspondiente. El resultado afirma que todo ángulo inscrito es la mitad del central correspondiente. En particular, por tanto, los ángulos \angle APB y \angle AQB son iguales, e iguales al ángulo \angle AXB si X es cualquier punto del arco de circunferencia de color morado en la figura, que se llama arco capaz del segmento AB. Pues bien, que el ángulo \angle AXB sea el mismo en todo el arco de circunferencia, es un resultado que no es muy intuitivo, en particular cuando el punto X está cerca del punto B. Hay varias demostraciones de este resultado. Esta es la que me parece más sencilla de entender:

Veamos priarco-capaz-caso-1mero el caso en que el segmento PA es un diámetro, como en la figura. En este caso, el resultado de deduce de manera inmediata de la observación de que el triángulo CBP es isósceles.

La segunda parte de la demostración se basa en la observación de que el caso general se puede reducir al primero, considerando el diámetro que pasa por C, tal y como se muestra en la figura. El resto es sólo escribir el argumento, aunque es cierto que si se decide hacerlo la elección del lenguaje más adecuado es importante.

arco-capaz-caso-2

El segundo es sobre secciones de pirámides (y prismas): si consideramos dos pirámides de igual base y altura, como las de la figura, y las cortamos por un plano horizontal, las secciones que se obtienen son iguales.

piramideLa demostración de esto la voy a dejar como “ejercicio para el lector”. Me parece una aplicación muy bonita de la semejanza de triángulos, ya que lo que hay que hacer es simplemente demostrar que, en los dos casos:

  1. el triángulo que se obtiene al cortar la pirámide con un plano horizontal es semejante a la base.
  2. la razón de semejanza depende sólo de la altura del plano de corte.

Un último comentario: en especial en este segundo ejemplo, lo que he visto en muchos de mis alumnos es una especie de “reacción complementaria” a la que se produce cuando les demuestras algo “que se ve”. Este resultado no es muy intuitivo, y cuando termino la demostración lo que veo en muchas caras es algo así como “vale, las matemáticas dirán lo que quieras, pero yo sigo viendo otra cosa” …

Geometría y razonamiento

Hoy tengo que escribir sobre un fracaso. Una de las asignaturas que imparto en magisterio es Matemáticas II, y está dedicada esencialmente a la Geometría (mas un tema de Estadística y Probabilidad). Como ya he escrito en alguna ocasión (y, por supuesto, no estoy descubriendo nada), un valor esencial de la geometría es que es el marco ideal para iniciarse en el razonamiento lógico. Aunque este aspecto está completamente desaparecido de nuestro currículo, uno de los objetivos importantes en mi planteamiento de la asignatura es intentar solventar ese problema. Como les digo a mis alumnos cuanto protestan porque les pido cosas que no están en los programas, espero que muchos de ellos estén dando clase en el año 2050, y espero que para entonces hayamos conseguido reconducir nuestro currículo de matemáticas básicas.

Pero tampoco este segundo año he quedado mínimamente satisfecho con el resultado. La realidad es que la proporción de alumnos que consiguen completar un argumento, por sencillo que sea, al final del curso, ha sido deprimentemente baja.

Como ya era el segundo año que impartía la asignatura, insistí una y otra vez en que los datos eran los que daba el enunciado y no lo que parecía que ocurría en la figura “a ojo”. La corrección del parcial me enfrentó de bruces con la realidad de lo difícil que es cambiar los esquemas mentales de las personas (por cierto, uno de los hechos básicos de la psicología al que me parece que no se presta suficiente atención en la formación del profesorado, y que tenemos que ir descubriendo tropezón a tropezón). Éste era el problema:

congruencia-ex-parcial

Los argumentos que usaron aproximadamente el 90% de los alumnos se sustentaban, de una manera o de otra, en que la figura es simétrica respecto de la recta definida por A y R (por supuesto, sin argumentarlo en absoluto: simplemente, “se ve”). El resultado me pilló completamente de sorpresa. Tenía claro que seguramente para la mitad de los alumnos el problema resultaría demasiado complicado, pero hubo muchos casos de alumnos trabajadores, y que me parecía que estaban siguiendo la asignatura, que cometieron el error ante el que les había tratado de prevenir de forma reiterada. (1)

Por supuesto, tras el parcial no quedó otra que seguir insistiéndoles en los errores cometidos, y en el examen final intenté buscar un ejercicio menos complicado, pero que también requiriera un mínimo nivel de razonamiento. El problema lo encontré en este blog, que me descubrió @DavidBarba2 y que me parece absolutamente recomendable. Es el apartado b) de este problema:

bisectrices-ex-finalUn detalle que me parece importante, y que quiero aclarar, es que para este tipo de preguntas no estoy especialmente interesado en el “rigor formal” o en el uso exhaustivo del lenguaje matemático. Un error que me parece muy frecuente en el inicio del razonamiento es introducir demasiado pronto un exceso de formalismo, que se convierte en una dificultad adicional (como creo que ocurre en las “two column proofs” de la geometría de High School en EEUU).

Un argumento del estilo de:

  • como las rectas r y s son paralelas, los ángulos a y b son suplementarios
  • por tanto, la mitad de a mas la mitad de b suman 90 grados
  • luego el tercer ángulo del triángulo PQZ es recto

me parece perfectamente válido, y así lo traté en la corrección.

Los resultados fueron mejores que en el caso anterior: 50 de los 152 alumnos presentados contestaron la pregunta de forma esencialmente correcta. De todas formas, el resultado sigue sin parecerme satisfactorio dada la (escasa) dificultad de la cuestión. Y, por supuesto, una cantidad aproximadamente igual contestaron algo en la línea de “se ve” que los segmentos PZ y QZ salen perpendiculares, y por tanto el triángulo es rectángulo …

Reconozco que esta entrada ha sido básicamente una catarsis personal. Querría terminar con mis conclusiones básicas. Como siempre que hablo de mis estudiantes de magisterio, debo aclarar que en ellos veo a un estudiante medio de nuestra ESO.

  • casi todos llegan sin distinguir algo que “parece ser cierto” de algo que “podemos comprobar que es cierto”. Más aún, una buena parte sigue sin distinguirlo al final de curso.
  • llegan sin la idea de qué significa comprobar (demostrar) una afirmación, y está claro que menos de la mitad lo entienden tras dedicarle horas al tema.
  • más aún: la mayoría llega en el nivel 1 de van Hiele (no distinguen definiciones de propiedades). Se supone que es el nivel de un niño de primer ciclo de primaria. Tras tantos años estancados en ese punto, muchos de ellos no consiguen progresar …

(1) Aclaración: evidentemente, siempre que nos enfrentamos a un problema hay que tener claro de qué herramientas disponemos, y quizá no es del todo evidente en el texto. Los criterios de congruencia de triángulos son uno de los contenidos importantes del curso.

Measurement, de Paul Lockhart

Se trata de un libro realmente excepcional. Ya había mencionado a Paul Lockhart en este blog, en concreto su lamento; en él expone su visión negativa sobre cómo estamos presentando las matemáticas básicas a los chicos. En Measurement Lockhart nos presenta el lado positivo, su visión de cómo se podrían presentar muchos de los conceptos más profundos de la geometría y del análisis. Su propuesta es original y realmente brillante.

No es fácil que un libro de matemáticas sea a la vez interesante para el iniciado y accesible para el profano, pero creo que este libro lo consigue. Desde luego, personalmente he encontrado montones de ideas interesantes, y creo que un lector con formación matemática básica también podría entender la mayoría de los contenidos del libro. Eso sí, Lockhart es honesto desde el principio y abre el libro avisando de que la belleza de las matemáticas requiere esfuerzo y reflexión. Como él dice, la única forma de aprender matemáticas es haciendo matemáticas, y en el texto intercala cuestiones y problemas que deja para el lector (no, no es un libro que incorpore las soluciones de los problemas).

Creo que el secreto del libro es saber elegir el enfoque más accesible para cada idea. La primera parte arranca del problema de medir para presentar muchos de los conceptos más importantes de la geometría clásica. Es difícil elegir un tema: uno de los muchos que me ha gustado es el tratamiento que hace de las cónicas, y quiero mostrar un ejemplo de parte del tratamiento que hace de las elipses.

Hay tres formas de introducir la elipse: (1) una circunferencia deformada; (2) una sección cónica; (3) la definición métrica.

proyeccionQue la (1) y la (2) son equivalentes es sencillo de ver, a condición de presentar la elipse como la sección de un cilindro, en lugar de la tradicional del cono. Puede parecer un detalle sin importancia, pero creo que en estos pequeños detalles está muchas veces la clave del éxito: elegir con cuidado el mejor argumento, y no tener miedo de salirse de los caminos usuales. Si consideramos la curva intersección de un cilindro con un plano, su proyección ortogonal es una circunferencia. La figura muestra cómo en una proyección ortogonal las medidas en la dirección paralela a la recta de intersección de los planos no cambian, pero en la ortogonal sí.

Pero lo mejor viene ahora: también es fácil ver, sin una sola cuenta, que el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante, es el mismo objeto geométrico. El resultado es de Dandelin, de 1822. La idea se muestra en la figuelipse-cilindrora. Si colocamos dos esferas (con el mismo radio que el cilindro) y tocando el plano de la elipse, los puntos de tangencia resultan ser los focos.

Para comprobarlo, fijémenos en la distancia entre un punto P de la curva y f1. Las tangentes desde un punto a una esfera forman un cono, y la distancia entre el vértice de ese cono y el punto de tangencia en la esfera es la misma para todas las tangentes. Por tanto, la distancia entre Pf1 es la misma que la distancia entre P  y la circunferencia donde la esfera es tangente al cilindro. Pero esto quiere decir que la suma de las distancias de un punto de la curva a los focos no es más que la distancia entre las dos circunferencias donde las esferas son tangentes al cilindro. Precioso, ¿no?

La primera parte del libro está repleta de contenidos tan interesantes como éste, y por sí misma ya merece la pena, pero es la segunda parte la que me ha resultado más sorprendente, e interesante. A partir del problema del movimiento y de la velocidad, Lockhart introduce el cálculo diferencial, y después el integral. Y lo hace de una forma original y muy bien conseguida. Mi formación en estas áreas fue con el formalismo de Newton, ampliamente mayoritario prácticamente desde los orígenes del tema, y los diferenciales de Leibniz no eran más que un truco para aplicar ciertas reglas mnemotécnicas de forma más sencilla. Lockhart usa los diferenciales de Leibniz a lo largo de todo el tema, y me deja con la duda de si el cálculo diferencial e integral no resulta mucho más fácil de entender de esta forma, al menos para funciones “razonables”, que son las que la mayoría de los científicos e ingenieros se van a encontrar en sus disciplinas.

En resumen, un libro absolutamente recomendable.

¿Quién mató a la geometría?

Ayer @lolamenting lanzó una pregunta muy interesante: ¿por qué la geometría está prácticamente desaparecida de nuestras aulas de primaria y secundaria? Contesté en cuanto la leí, casi sin pensar (es difícil sustraerse del todo al lado oscuro de las nuevas tecnologías), diciendo que me parecía una pregunta muy importante, y muy difícil de contestar. Me reafirmo en la primera parte, pero no en la segunda. Desde luego, voy a dar una respuesta especulativa, pero me parece que bastante convincente. Lo que me parece claro es que en la enseñanza de las matemáticas se han producido dos fenómenos muy claros:

  • A. Los currículos, pero sobre todo la práctica diaria en la mayoría de nuestras aulas, se han deslizado hacia la parte más mecánica de las matemáticas: algoritmos, fórmulas, rutinas, y recetas varias. La resolución de problemas, el razonamiento lógico y la comprensión conceptual son especies en peligro de extinción.
  • B. La geometría ha perdido peso en el curriculo, pero todavía más en las aulas. Es una de esas partes por las que se suele pasar más deprisa (junto con la estadística).

Mi tesis es bien sencilla: A explica – y es la causa de – B. ¿Qué caracteriza a la geometría? Sin duda, lo importante que son en ella el razonamiento lógico y la resolución de problemas (la comprensión conceptual es simplemente requisito previo de ambos). Esto ya me parece suficiente explicación: tenemos dos fenómenos, A y B,y el primero explicaría el segundo. Si la navaja de Ockham sigue afilada, lo más probable es que sea su causa.

Pero es que además hay varios argumentos adicionales que refuerzan esta explicación: ¿qué geometría se estudia y cómo se hace? Al principio, una buena parte del tiempo se dedica al cálculo de áreas y volúmenes, donde todo se reduce a memorizar una lista de fórmulas mucho mayor de lo necesaria, y a aplicarlas a ejercicios completamente rutinarios. Cuando avanza la secundaria, el estudio de la geometría se inclina claramente hacia el álgebra: en trigonometría, por ejemplo, se dedica mucho más tiempo a las identidades trigonométricas, o a resolver ecuaciones, que a los problemas.

Que esta tendencia está llegando a extremos inquietantes me ha quedado claro con el comentario de @lolamenting en esta entrada: parece que no es extraño encontrar profesores que impiden a los chicos apoyarse en la intuición geométrica para resolver problemas de fracciones. Sin exagerar, me parece que es una de las cosas más alarmantes, e incomprensibles, que he oído en los últimos años.

Por supuesto, en otras partes la situación no es la misma. Termino la entrada con unos ejemplos de los libros de primaria de Singapur. En general, la geometría tiene una presencia mucho mayor que aquí, ya desde primaria. En particular, usan los problemas de ángulos para iniciar a los niños en el razonamiento geométrico, y creo que lo hacen muy bien. Este es un ejemplo de 4º de Primaria:

angulos-4Este otro de 5º:

angulos-5y, por último, el de 6º:

angulos-6Por supuesto, siguen con el tema en secundaria. En algún momento habrá una entrada dedicada a profundizar en este tema.

Las estaciones. Día y noche

Esta noche he hecho un vuelo transoceánico y, al mirar la pantalla de información del vuelo, donde se veían las zonas día/noche, me ha llamado la atención que, en lugar de las típicas fronteras de tipo sinusoidal, esta vez lo que se veía de noche era un rectángulo perfecto. La verdad, no lo había pensado nunca, y he tardado unos segundos en encontrar la explicación: ¡Claro, estamos justo en el equinoccio de otopo!
Me pregunto cuántos de los pasajeros se habrán dado cuenta y cuántos se habrán preocupado por la explicación. Pregunta retórica, claro, se de sobras que casi ninguno. Pero me parece que en este tema los educadores tenemos una buena cuota de responsabilidad: desde que un niño entra en el colegio en primaria, y hasta que sale del sistema educativo, en lugar de fomentar la curiosidad, el acostumbrarle a buscar el porqué de las cosas, lo que hacemos es anestesiarle esa curiosidad (por supuesto, estoy hablando en general).
Me he dado cuenta de que hace bastante que no escribo de interdisciplinariedad, y que el tema de las estaciones se presta perfectamente. ¿Habéis preguntado a alguien alguna vez el porqué de las estaciones? Los “buenos estudiantes”, en general, recuerdan que la razón no es la distancia entre la tierra y el sol, sino la inclinación con que los rayos solares llegan a la tierra. Ahora bien, si queremos rascar un poco más, y preguntamos por qué esa inclinación cambia a lo largo del año, la cosa se complica un poco más. Y me parece que es una idea para una actividad perfecta para secundaria, idealmente coordinada con la asignatura de tecnología, o la de ciencias, o la que se pueda. Creo que es tema a caballo entre las ciencias y la geometría (la gran olvidada de las matemáticas): el fenómeno es muy relevante en ciencias, por supuesto, pero la explicación es geometría pura. Me parece que es perfectamente posible que un grupo de alumnos construya un modelo sol-tierra, que vean cómo el ángulo con el que llegan los rayos del sol va cambiando cuando la tierra gira, que vean cómo eso afecta a los periodos día/noche, y que vean cómo se representan esas regiones del globo terráqueo en un planisferio. Una actividad que les podría hacer pensar bastante, y sin una sola cuenta …