Learned helplessness

Hace unos días he descubierto un concepto que me parece muy interesante, el que da el título al post. Creo que es muy relevante en el fenómeno de la parálisis ante un problema que todos observamos en los chicos, y que en muchos casos aumenta conforme avanzan en nuestro sistema educativo. Parece que la traducción estándar en España es “indefensión aprendida”. La traducción me parece muy poco afortunada. Un problema no es una amenaza, y no hay que defenderse de él, y el adjetivo aprendida también me parece mejorable. Yo propondría incompetencia, o incapacidad, adquirida, o inducida.

El libro en el que vi la primera referencia merece un comentario en sí mismo: Math from Three to Seven, de Alexander Zvonkin. Zvonkin es un matemático ruso que organizó unas reuniones con un grupo de 4 niños (un “círculo matemático”), y empezó a proponerles actividades. El libro es, esencialmente, un diario de cómo se desarrollaron esas actividades. El enfoque adoptado por Zvonkin, esencialmente de proponer problemas y dejarles a los niños la iniciativa, y las actividades, han sido un descubrimiento, y creo que cualquiera que trabaje con niños de esas edades puede aprender mucho con su lectura.

Volviendo a la incapacidad adquirida (creo que de momento voy a adoptar esa traducción), creo que la mejor manera de describirla es con  este experimento de  Jones, Nation y Massad: estos investigadores organizaron cuatro grupos de individuos. Al primero le propusieron un conjunto de problemas sencillos, de manera que pudieron resolverlos todos. Al segundo, una selección de problemas muy complicados, que ninguno pudo resolver. Al tercero, problemas variados, con el objetivo de que resolvieran aproximadamente la mitad. El cuarto grupo era el grupo de control. En una segunda etapa, propusieron a los cuatro grupos problemas muy difíciles, que nadie pudo resolver. Finalmente, en la tercera etapa les propusieron a los cuatro grupos problemas de dificultad variada.

Los resultados mostraron que el tercer grupo fue el que mejores resultados obtuvo en esta última etapa, y que los restantes grupos se comportaron de forma similar. La conclusión es, evidentemente, que el que los problemas sean demasiado sencillos, y seamos capaces de resolverlos todos, es igual de negativo que el que los problemas sean demasiado complicados, y no podamos resolver ninguno. Conclusión: es esencial que los problemas sean realmente variados, para que los alumnos de todos los niveles de aprendizaje se enfrenten, con regularidad, al éxito y al fracaso en su resolución..

Es posible que algún lector esté hasta escandalizado por que alguien que dice llevar 20 años dando clase haya descubierto ahora este concepto, bien conocido en teoría del aprendizaje. Sólo puedo contestar que tiene toda la razón, y que en mi defensa sólo puedo alegar que mis compañeros, que sí han hecho el curso de formación de profesorado del ICE (Instituto de Ciencias de la Educación) tampoco lo conocían.

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Los libros de Singapur (I)

Hace unas semanas pepvidal preguntó en un comentario sobre los libros de Singapur, y cómo presentan las matemáticas escolares. Espero que lleguen pronto entradas con ejemplos de secuencias didácticas para introducir algunos conceptos, de esos clave. Hoy quiero hablar de otro detalle, quizá más sencillo, pero que me parece que en general en los textos españoles no está bien resuelto.

En las imágenes siguientes se puede ver dos ejemplos de ejercicios sobre el número de tres cifras. Evidentemente, se trata sólo de un ejemplo, pero lo he elegido porque creo que es bastante representativo de un patrón general. Por un lado, la representación de las centenas, decenas y unidades que se hace en el ejemplo de Singapur me parece mucho mejor, pero hay otro detalle quizá más sutil pero que es justo sobre lo que quería escribir hoy. En el ejemplo español los cuatro casos son exactamente iguales. El alumno puede rellenar los tres que le tocan por simple imitación, sin entender absolutamente nada de la idea que se pretende transmitir. De esta manera se supone que se pretende automatizar el proceso, pero el problema de automatizar sin entender es que los automatismos se pueden perder y entonces queda … nada. En el caso del libro de Singapur, los ejemplos sin unidades y sin decenas, que supongo que aquí se opina que introducen una dificultad excesiva, lo que hacen es, desde mi punto de vista, ayudar a la comprensión del concepto.

3cifras-segundo

3cifras-Singapur-2La situación es, de hecho, peor si nos centramos en los problemas. En el ejemplo, unos problemas del tema de las sumas, de un libro de 2º de primaria. De nuevo, creo que el ejemplo es basntante representativo, al menos si nos centramos en las editoriales mayoritarias. Los tres problemas se reducen a lo mismo: sumar los números que aparecen en el texto. Hasta tenemos el formato para la suma incorporado, de manera que el niño no tiene ni que molestarse en pensar cuántos números tiene que sumar. Que los niños no se molesten en leer el enunciado me parece una consecuencia lógica de este planteamiento. Y cuando en algún momento necesitan leer los enunciados … no los entienden. (Un comentario accesorio: algún maestro me ha comentado que, encima, los dibujos quedarán bonitos, pero confunden, porque el número de cometas del dibujo no coincide con el texto).

problemas-sumas-segundo

El siguiente es el ejemplo del texto de Singapur. Desde luego, mucho más sobrio estéticamente. Algunos pensamos que eso puede ayudar a que la atención del alumno se centre en las matemáticas. Por supuesto, es muy enriquecedor hacer a veces proyectos, o combinar actividades con contenido de arte y matemáticas, y muchas otras cosas. Pero, de vez en cuando, también es conveniente centrarse en las matemáticas. En cuanto al contenido, la diferencia más importante es que, desde muy pronto, los enunciados de los problemas son más variados, y de  nuevo eso ayuda a la comprensión.

problemas-sumas-restas-Singapur-2

Un comentario final: no es que los libros de Singapur me parezcan perfectos. De hecho, en este último aspecto creo que se quedan bastante cortos, y que se podría ser mucho más audaz en el tema concreto de la resolución de problemas. De nuevo, ya he podido confirmar en la práctica algo que hasta ahora sólo era una intuición. La semana pasada animé a un profesor de 1º de Primaria a que propusiera en clase el siguiente problema:

Luis ha llevado 4 caramelos al colegio, su amigo Juan el doble, y su amiga Marta tiene 3 caramelos. En el recreo se juntan con sus amigos Jaime y Belén, que no tienen caramelos, y deciden repatirlos entre todos. ¿Cuántos caramelos se comerá cada niño?

Con total seguridad, este era el primer problema al que se enfrentaban la mayoría de los niños, y los resultados fueron estupendos. Por supuesto, la mayoría encontró dificultades, preguntaron, y dudaron. Exploraron ideas nuevas. Algunos necesitaron ayuda para asimilar la idea de doble, y todos tuvieron que idear estrategias de reparto, porque por supuesto no conocían el algoritmo de la división. Desde mi punto de vista, una sesión semanal de 30 minutos dedicada a resolver auténticos problemas (y ya desde el primer curso de primaria) tendría efectos enormemente positivos en la formación matemática.

La formación del profesorado (II)

Para intentar aportar algún dato a la discusión, he tratado de encontrar información sobre la selección del profesorado de primaria en otros países. Antes de continuar, vuelvo a aclarar que me ocupo de la formación matemática, la única de la que me atrevo a opinar.

Como casi siempre que uno se lanza a esto, las referencias apuntan hacia Estados Unidos. Creo que en cuestión de transparencia son de los primeros (bueno, y el inglés también ayuda, claro). Las pruebas de las que se habla en muchos sitios como especialmente bien diseñadas son las del estado de Massachussets (MTEL). No he tenido tiempo de estudiarlas a fondo, pero lo que he visto me ha gustado mucho, porque se centran en evaluar la comprensión de las matemáticas básicas. He puesto un ejemplo de examen en este enlace.

Quizá al verlo alguien crea que me he equivocado, y que corresponde a un examen para un nivel posterior. No, no es así. La información general sobre el sistema MTEL está aquí y en esta otra página las especificaciones de los exámenes para los diferentes tipos de profesorado.

La formación del profesorado

De nuevo en el periódico, y de nuevo con malas noticias. Personalmente lo tengo muy claro:  en las oposiciones, darle mayor peso al conocimiento de los contenidos básicos de la primaria, y hacer una prueba, incluso eliminatoria, me parece una buena idea.

Creo que todos estamos de acuerdo en que un buen profesor necesita formación en contenidos y en metodología. Seguro que hace 30 años la metodología se descuidaba, pero mi impresión es que ahora la balanza ha caído demasiado del lado de la metodología, y se descuidan los contenidos.
Un dato: según el informe TEDS-M, el país participante en el estudio con mayor carga de asignaturas metodológicas en  la formación de los maestros es España.
Y en el estudio participaban unos cuantos países …

Y si hay que hablar de la formación en matemáticas, mi impresión es que en las facultades de educación y escuelas de magisterio españolas se hacen cosas muy variadas (quizá demasiado variadas). Mi impresión es que la postura de “las matemáticas de primaria las conocen. Por tanto, hay que centrarse en
la didáctica”, es mayoritaria. Y creo que no está funcionando.

Creo que viene perfectamente a cuento este documento sobre la formación de los maestros en EEUU. Ya lo mencioné en este blog, y sigo recomendándolo. Creo que es de lectura casi obligada para todos los interesados en la formación matemática de los maestros.

El razonamiento algebraico en primaria

Esta semana hemos podido hacer nuestro primer experimento con niños “de verdad” (¡Muchas gracias, Alex!). Ha sido una pequeña prueba, que espero sea el comienzo de una larga colaboración, pero creo que merece la pena ser comentada.

Desde el primer ciclo de primaria los niños resueven ejercicios como 3 + \square = 8. No tengo nada contra ellos: me parece muy adecuados. Pero hace años que me llamaba la atención que durante toda la primaria se formulan en ese lenguaje.  Pensaba que plantear algunas veces estas preguntas de forma más cercana al lenguaje algebraico podría servir para ir desarrollando ese sentido algebraico que tanto se echa de menos al empezar la secundaria. Cuando me atrevía a comentar esto con alguien del entorno de la educación primaria, la respuesta invariable era “Estás loco, eso es muy difícil para los niños”.

Pensé que era una prueba muy sencilla, perfecta para arrancar esa colaboración con un entusiasta maestro de primaria que conocimos durante el curso de verano que impartimos el año 2012. A la hora de decidir en qué curso hacer la prueba, quería asegurarme de que no cometería el error más común  -minusvalorar a los niños – de manera que pasamos la prueba en 1º y 2º de Primaria. La prueba consistía en 10 preguntas en el lenguaje usual mencionado anteriormente y, en la cara posterior, preguntas similares, formuladas de esta forma: “Si  3 + a = 8, entonces a es …”.

Una observación importante es que no dimos a los niños ninguna instrucción adicional. El único comentario fue: tenéis que leer con cuidado. Si no lo entendéis, no pasa nada, lo dejáis en blanco. Por supuesto, hubo niños que no entendieron; también hubo otros que, tras preguntarnos y escuchar nuestra respuesta de que debían leer con cuidado, soltaron un “Ya lo entiendo” lleno de ilusión.  Y otro grupo hizo todos los ejercicios sin mayor problema.

Aún no hemos procesado los datos con cuidado, pero ya tenemos una idea de la principal variable que queríamos medir. En el grupo de 1º, el 40% de los niños hizo los dos tipos de ejercicios de manera similar (con una diferencia de no más de una respuesta correcta). En el grupo de 2º, ese porcentaje sube al 60%. No todos, pero sí la gran mayoría de esos niños hicieron bien o muy bien los dos tipos de ejercicios.

Teniendo en cuenta que en primer curso están realmente desarrollando la comprensión lectora, que están entrenados con los ejercicios “con el cuadradito”, y que los ejercicios en lenguaje algebraico eran totalmente nuevos, los resultados me han sorprendido por positivos. Se trata, es verdad, de resultados preliminares, pero me reafirman en la idea de que introducir un poco de lenguaje algebraico, ya en primaria, es perfectamente posible, y muy conveniente para desarrollar la comprensión lectora, el razonamiento lógico y el pensamiento algebraico.

La secante … y otras piezas de museo

Recuerdo, ya como estudiante, preguntarme porqué nos calentaban la cabeza con seis funciones trigonométricas, cuando con una y un poquito (el cuadrante) se podía saber todo sobre el ángulo en cuestión. Bueno, ya he entendido que hay buenas razones para estudiar las funciones seno, coseno y  tangente. Pero en lo que respecta a la secante, la cosecante y la cotangente, no creo que aporten nada al conocimiento matemático de un alumno, excepto quizá confusión. Por supuesto, hace 500 años, si había que hacer un cálculo con 5 decimales usando el valor de  1/cos x, era muy  de agradecer tener una tabla con esos valores precalculados. Y, si uno tiene la tabla, es razonable darle nombre a la función correspondiente. Pero la pervivencia de estas funciones en el curriculum matemático, a estas alturas del desarrollo tecnológico, es para mi todo un misterio.

El otro objeto con el que inauguraría un museo con conceptos matemáticos obsoletos son los números mixtos (y su pariente, la distinción entre fracciones propias e impropias). Sólo desde una visión muy reducida del concepto de fracción, como parte de un todo, tiene sentido ver las fracciones impropias como algo “especial”. Si se introducen las fracciones también como solución a un problema de reparto, y como un punto en la recta numérica (en esta entrada más detalles), las fracciones con numerador mayor que el denominador son tan “propiamente fracciones” como las otras.  Y no le veo la ventaja a escribir \tfrac{17}{4} como 4\frac{1}{4}, y dedicarle tiempo a la aritmética correspondiente. Si es necesario, uno siempre puede escribir  \frac{17}{4}= 4 + \frac{1}{4} sin necesidad de conceptos ni algoritmos adicionales. Es una de esas cosas que sólo existen en los libros y las aulas del curso correspondiente, que nunca nadie se va a encontrar fuera de ese entorno, y que los chicos estudian brevemente, y olvidan rápidamente (en este caso, por suerte, porque en caso contrario podrían encontrarse con problemas ante una expresión algebraica como  3\tfrac{x}{2}.

No he pretendido ser exhaustivo, seguro que hay más conceptos como estos. Si hay contribuciones en los comentarios, mantendré una lista.