Cuando cae en mis manos un texto en el que debo esperar encontrarla, lo primero que hago para hacerme una primera idea del enfoque que sigue el libro en la presentación de las matemáticas es buscar la definición de mediatriz de un segmento. Las posibles definiciones son:
- la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular que pasa por el punto medio del segmento.
- la mediatriz de un segmento es el conjunto de puntos que equidistan de los extremos del segmento.
Mis opiniones en esta entrada pueden ser más subjetivas que nunca, no conozco estudios sobre el tema, pero creo que el optar por una u otra dice bastante del planteamiento metodológico del texto. Claramente, la primera alternativa es más sencilla de entender, más visual. Hasta el lector más despistado será capaz de visualizarla. Sólo tiene un inconveniente: que no sirve para nada.
La segunda alternativa requiere por supuesto más trabajo: a partir de la definición, hay que descubrir que ese conjunto de puntos es una recta, que es perpendicular al segmento, y que pasa por el punto medio de éste.
El lector puede estar pensando en este punto que los alumnos deben tener las dos visiones de la mediatriz. Y esto es cierto, por supuesto. Que, por tanto, partir de una de ellas como definición, y llegar a la otra como una propiedad, resultará equivalente. Discrepo: la definición (el concepto) y las propiedades que de ella se deducen, se sitúan en niveles cognitivos distintos. El concepto, que se debe reflejar en la definición, es lo que permitirá insertar el nuevo objeto en la estructura de aprendizaje del alumno.
Cuando la mediatriz aparece en diferentes construcciones geométricas la clave es la idea de equidistancia. Por tanto, un alumno que ha interiorizado la definición (2) tendrá mucho más fácil entender el papel de la mediatriz en las construcciones.
Otra ventaja de la definición (2) es que posibilita el aprendizaje por descubrimiento. La idea de equidistancia en natural, y se puede pedir a los alumnos que encuentren puntos que estén a la misma distancia de dos puntos A y B determinados.
Y existe por supuesto una última razón para preferir la definición (2). Es la que se corresponde con la de las matemáticas superiores. La perpendicular en el punto medio aparece cuando medimos la distancia de la forma usual, pero en un curso de bachillerato, o en un seminario para alumnos interesados, es perfectamente posible plantear el problema de estudiar qué tipo de mediatrices aparecen si la distancia entre dos puntos se mide de otra forma.
Sin haber hecho un estudio exhaustivo, concluyo esta entrada con mi impresión de que, en los textos de primaria y secundaria españoles, la opción (1) es claramente mayoritaria.
Para terminar, un par de problemas que se pueden plantear ya en secundaria para trabajar la mediatriz desde el punto de vista métrico:
- En el parque de la figura hay papeleras en los puntos A, B, C y D. Dibuja el conjunto de puntos del parque para los que la papelera más cercana es la situada en el punto A.
- Construye la circunferencia más grande que pasa por A y por B y que tiene el centro dentro del polígono P.
como solución de un problema que pide la longitud de una circunferencia, seguramente nos encontremos con la respuesta «pero el problema no está terminado» o «pero eso no es un número». Por supuesto, se debe trabajar a veces con la aproximación decimal de 
(o de cualquier otro número), pero también se debería cuidar el trabajo con aritmética exacta. Si un alumno está familiarizado con calculos como 
tendrá después mucho más fácil el comienzo de los cálculos algebraicos.
. Está claro que un alumno que usa el símbolo » = » de esta forma tendrá serios problemas con las ecuaciones algebraicas. Hay varias estrategias para resolver esta dificultad de aprendizaje, pero la más sencilla (la descubrí en los libros de primer ciclo de Singapur) es alternar, desde el principio, los típicos ejercicios como 
con otros como 
.
Más ideas, menos cuentas. Un blog sobre educación matemática. 