La solución al problema del rectángulo áureo …

Bueno, pues he visto el dibujo que ha hecho el profesor, y la solución “salta a la vista”, una vez vista …

Recuerdo el problema del que hablé en la entrada anterior, por si hay algún lector nuevo: dado un cuadrado, hay que construir un rectángulo áureo de igual área.

La idea esencial es darse cuenta de que todos los rectángulos áureos son semejantes. Por tanto, podemos empezar construyendo un rectángulo áureo de tamaño arbitrario, y luego buscar el semejante de área igual a la del cuadrado. Los detalles de la construcción, en la figura adjunta. Me doy cuenta ahora de que la primera figura puede no quedar del todo clara para quien no conozca esa construcción. La circunferencia es tangente al segmento AB en B, y tiene diámetro |AB|.

problema-dibujo

Bonito, ¿verdad? El profesor se ha dado cuenta de que esta vez se le fue la mano, porque ningún alumno supo hacer la construcción. Nada que objetar al respecto. Creo que a todos se nos ha ido la mano alguna vez (y, en caso contrario, seguramente el problema sea que las actividades propuestas son tirando a pobres). El problema de fondo, claro, es lo que he descubierto estos días buceando por los recursos de dibujo disponibles en la red …

 

 

Lo del dibujo es de locos …

La entrada de hoy es esencialmente una petición de ayuda. El currículo de matemáticas de Bachillerato puede ser desmesurado, pero el de Dibujo es simplemente absurdo. De entrada, reconozco (con algo de vergüenza) mi completa ignorancia de las construcciones geométricas. Algo estudié, claro, pero todo estaba olvidado, y las pocas que ahora entiendo son las relacionadas con mis clases de magisterio. Y son realmente básicas, claro.

El caso es que, en el trimestre correspondiente, mi hija venía el año pasado con una construcción geométrica para hacer, y la mayoría de ellas están basadas en trucos, algunos realmente ingeniosos. Al final, muchas veces recurría a buscarla, y aparecía una página con la receta correspondiente: pincha aquí el compás, traza esto por allí, haz esto y esto otro, y ¡tachán! esto es la solución. Unos cuantos ratos le dediqué al tema de descifrar por qué funcionaban algunas de esas construcciones (no me quejo, fue divertido, y eso también son matemáticas). Y otras muchas veces me di por vencido.

Hoy volvemos a la carga:

Dibuja un rectángulo áureo equivalente a un cuadrado dado.

(Equivalente: de igual área, terminología estándar en dibujo).

Esta no la encuentro, y es lo que me ha decidido a escribir esta entrada de auxilio. Puestos a pedir la luna, ¿algún lector conoce un libro o un sitio web donde se expliquen estas construcciones y por qué funcionan? Y ya, más realistas, ¿algún sitio donde estén bien presentadas?

 

Campaña en Change.org

El objetivo de esta entrada es dar algo más de información sobre la campaña de change.org,  que pide una revisión en profundidad de los currículos de matemáticas. Si el lector tiene experiencia docente, estoy convencido de que sabe perfectamente de lo que estamos hablando. En todos los cursos la sensación es que hay que correr, para tratar de cubrir los temarios. Aún así, muchas veces no se consigue, y la geometría y la estadística, colocadas casi siempre al final de los libros, sufren las consecuencias. Sí, ya lo sé, los docentes podemos y debemos hacer el esfuerzo de organizar/reprogramar/priorizar los contenidos, para tratar de corregir estos problemas. Pero aparecen dos problemas:

  • hay que tener las ideas muy claras, y resistir muchas presiones, para tratar con calma los temas que consideras relevantes (la calma imprescindible para que los alumnos aprendan, en el sentido profundo del término) sabiendo que eso dejará fuera otros temas que están en el currículo.
  • distintos profesores tendrán prioridades distintas, y la experiencia muestra que hay muchos (con toda la buena intención, lo sé), que consideran que es importante saber dividir a mano 93284 entre 739,  el algoritmo tradicional de la raíz cuadrada, o saber derivar \cos (\sqrt{\ln (x^2+5)}).

¿No sería mucho más sencillo que este problema se arreglara donde tiene que arreglarse, y hacer una revisión en profundidad de los currículos de matemáticas de todos nuestros niveles educativos?

Supongo que existe el peligro de que algún lector confunda “simplificar el currículo” con “bajar el nivel”. La idea es completamente distinta: en EEUU se dice que su currículo es “ancho y superficial”, y creo compartimos con ellos ese problema. La propuesta alternativa es un currículo centrado en los temas importantes, para poder tratarlos con mucha mayor profundidad. Hay cada vez más evidencia de que los países con mejores resultados en la educación matemática son los que emprendieron ese camino ya hace años. En esta entrada previa del blog el lector puede encontrar alguna referencia.

Creo que debemos hacer un esfuerzo para separar este tema de otros problemas más polémicos, y que dividen a la comunidad educativa. Pero sí quiero decir una cosa de la LOMCE: me parece una buena muestra de lo perdidos que parecen estar nuestros políticos en este tema. La propuesta curricular de la LOMCE en matemáticas, lejos de detectar el problema, y tratar de empezar a arreglarlo, lo ha agravado, sobrecargando aún más los ya recargados currículos de las diferentes etapas.

Por último aquí está el tuit con el enlace a la campaña de change.org

En la DGT no saben matemáticas …

Esta mañana todavía me estaba despertando cuando he oído un anuncio de la DGT, diciendo que en un campo de fútbol cabe mucha gente, “por lo menos dos o tres mil personas”. Y claro, incluso medio dormido ha saltado la alarma.

Veamos, un campo de fútbol mide aproximadamente 100 m de largo por 60-70 de ancho, es decir, su área es aproximadamente 6000 ó 7000 metros cuadrados. Sin apretarse, haciendo la estimación usual de las manifestaciones, de 4 personas por metro cuadrado, la cifra que sale está en el entorno de las 25000 personas. Vamos, un orden de magnitud más que lo que dice el anuncio. ¿De verdad que estos profundos cálculos no están al alcance de ninguna de las personas por las que ha pasado esa cuña publicitaria?

¿Campaña por un nuevo currículo de matemáticas?

Este año también me fui de vacaciones con la intención de volver con ideas para promover algún tipo de acción pidiendo una revisión de los currículos de matemáticas. Y supongo que, como en años anteriores, la intención se habría quedado en eso, sepultada por el resto de tareas que uno se encuentra de cara al comienzo de curso, de no haber sido por este tuit de hace unos días:

La imagen del tuit es la transparencia 54 del powerpoint de este informe, que me parece interesante en general.

Creo que la gran mayoría de los profesores estamos de acuerdo en que los currículos son demasiado extensos. De hecho, este problema ha empeorado con la LOMCE. Si los informes de organizaciones a las que se recurre tan a menudo cuando se habla de competencia matemática coinciden en que es mejor elegir menos contenidos, para poder tratarlos en profundidad, ¿no debería este tema llegar al debate social? Seguramente las asociaciones de profesores podrían ser la opción natural, pero mis (escasos) intentos en el pasado reciente han tenido resultado cero. Creo que ha llegado el momento de intentar sacar partido de las nuevas tecnologías, y ensayar la participación directa. El objetivo de esta entrada es (aparte de tratar de forzarme a dar el paso) pedir opinión a los lectores, y recabar ideas. ¿Conocéis alguna alternativa que pudiera ser más adecuada que Change.org?

Fin de curso … IX Escuela Miguel de Guzmán

Lo que me parecía imposible hace un año ha resultado no serlo tanto: este fin de curso ha sido todavía más ajetreado que el anterior. No es una queja, porque la mayoría de las tareas son estrictamente voluntarias, y estoy muy contento de cómo van. Algún viaje profesional, las evaluaciones de mis alumnos, el trabajo con los libros de Singapur que llegan a los coles el próximo septiembre y, como guinda, el trabajo en la organización de la IX Escuela Miguel de Guzmán. El objetivo de esta entrada es pasar a limpio mis conclusiones sobre estas jornadas, y que además esto sirva como cierre del curso.

Lo primero, tal y como me comprometí durante la Escuela, aquí están enlazados los materiales que varios de los ponentes y encargados de los talleres ponen a disposición de la comunidad. ¡Gracias!

Para empezar por el final, la sensación que me quedó al terminar la Escuela fue, como otras veces en estos casos, agridulce. Para ser justos, dulce, pero con un pequeño toque agrio. Por supuesto, fueron días llenos de debates interesantes, intercambio de ideas y propuestas, y muy formativos. El toque agrio viene de la sensación de que estábamos reunidos una parte de la comunidad docente que estamos de acuerdo en muchas cosas, pero quizá olvidando que sigue habiendo una mayoría a la que no llegan estos mensajes. Es verdad que hubo algunas intervenciones en los debates de participantes que manifestaron que participaban en este tipo de eventos por primera vez, que le habían interesado mucho, y que volvían a casa con muchas cosas sobre las que pensar. En resumen: objetivo cumplido, y un detalle en el que creo que podríamos mejorar, tratar de llegar a una parte mayor de la profesión.

Lo que quiero hacer en el resto de esta entrada es dejar por escrito algunos comentarios sobre las ponencias, incluyendo también alguna observación crítica, cuando toque.

Clara Grima, en la conferencia inaugural, nos demostró que se pueden decir cosas muy interesantes, y ser divertida, a la vez. No es algo que se vea con excesiva frecuencia en nuestro mundo …

Cecilia Calvo nos habló de las tareas ricas: su observación fundamental es que hay habilidades básicas que hay que practicar, pero que muchas veces esa práctica se puede hacer a través de esas tareas ricas, donde además hay involucradas actividades con valor cognitivo. En su presentación hay varios ejemplos, y en el espacio Puntmat muchos más. Me parece una propuesta muy interesante, con una sola debilidad: creo que para llevar esto al aula se necesitan docentes muy bien formados.

Juan Francisco Hernández, del Hispano-Inglés de Santa Cruz de Tenerife, nos habló de la clase invertida. Creo que merece la pena echar un vistazo a los materiales que ha puesto a nuestra disposición. No voy a entrar en el debate de fondo sobre la clase invertida, pero sí quiero mencionar que cuando se piensa en una metodología habría que tener en cuenta que una cosa es funcionar bien, o muy bien, con un docente – o un equipo docente – determinado (formado, trabajador, etc), y en un centro determinado, y otra cosa es que esa metodología sea generalizable al sistema escolar. Recomiendo estas reflexiones de El Lolaberinto sobre el tema.

Irene Ferrando habló sobre modelización. En su presentación (15 Mb) hay varios ejemplos muy interesantes. Por otra parte, aquí se aplica la misma observación del párrafo anterior, sobre metodologías “exportables”, y un comentario adicional: en un vídeo donde nos enseñaba un proyecto de estimación de la cantidad de papel de aluminio en un colegio (el proyecto me pareció muy interesante) vimos a un alumno con la famosa “escalera de las unidades”, subiendo peldaños y añadiendo ceros (¿o quitándolos?, nunca lo recuerdo). Los proyectos, la modelización, o la clase invertida, pueden ser buenas herramientas para motivar a nuestros alumnos (y esto es un valor en sí mismo, lo sé), pero creo que si no cambiamos algunas cosas de fondo, los resultados sobre el aprendizaje real serán limitados.

Para terminar, Lurdes Figueiral, la presidenta de la asociación de profesores de matemáticas de Portugal, nos presentó el currículo producto de la reforma de 2011. No recuerdo haber oído nada al respecto (sí, me temo que soy uno más de esa mayoría social que hace bien poco caso a lo que ocurre en nuestro vecino del oeste), pero parece que fue una reforma curricular bastante polémica, hecha en contra de la profesión. La impresión que trasladó Lurdes Figueiral fue muy negativa. Aquí está el currículo. El aspecto no es bueno, desde luego. Un interminable listado de contenidos … Una cosa, al menos, me gusta: los autores dan la cara, en primera página. La reforma se hizo bajo el mandato de un ministro de educación con formación de economista-matemático, Nuno Crato.

No asistí a ningún taller, fueron los ratos que dediqué a las gestiones organizativas, pero todos los comentarios que escuché fueron positivos.

En cuanto a las mesas redondas, al final las dos giraron en torno al tema de en qué debería consistir el aprendizaje matemático elemental (para mí, entendido como el correspondiente a la educación obligatoria) en estos tiempos. En la mesa de las calculadoras, Juan Emilio García nos mostró un par de vídeos que provocaron los momentos más hilarantes de la Escuela. Parece ser que los vídeos ya estaban en youtube. Yo no los conocía, y los quiero compartir aquí, porque además de divertidos me parece que tienen su interés didáctico.

El primero es una muestra perfecta de por qué hay que dedicarle algo de atención a enseñar a usar las calculadoras:

En el segundo, tres de las estrellas del humor español de los 70, con los cambios de unidades, y nuestra querida regla de tres …

Para terminar, como le dediqué cierto tiempo a pensar sobre mi intervención en la mesa redonda “Las matemáticas en la educación obligatoria del Siglo XXI”, pensé que sería buena idea guardar esas reflexiones de alguna forma. En lugar de escribirlas, lo que he hecho es preparar un vídeo, porque me ha servido además de primera práctica con la herramienta ActivePresenter. Su versión gratuita me ha parecido bastante potente, y sencilla de empezar a usar.

Sirva este vídeo (20 min) de despedida por este curso. ¡Feliz verano a todos los lectores!

¿Memorizar las tablas?

Otra entrada breve para responder a una pregunta surgida de este tuit (sigo con la idea de cerrar el curso con mis impresiones de la Escuela Miguel de Guzmán).

Es un tema muy interesante, sobre el que seguramente vuelva en el futuro, pero creo que puedo dar una primera respuesta rápida.

Creo que el punto clave es aclarar los dos posibles significados del término “memorizar” en el aprendizaje matemático. Uno puede estar hablando de “aprender de memoria” las tablas de multiplicar, como si fuera la lista de los reyes Godos, o los afluentes del Duero por la derecha. Esto es lo que pide el currículo LOMCE de Madrid donde, sin mencionar nada que tenga que ver con la idea de multiplicación, y en ¡1º de Primaria!, aparece un punto que dice “Memorizar las tablas del 0, el 1, el 2 y el 5”. Hay muchas barbaridades en el currículo de primaria de la LOMCE, pero creo que si tuviera que dar un primer premio esta sería mi elección.

Pero creo que también se puede usar el término memorizar refiriéndose al estado final de aprendizaje. Se puede trabajar la multiplicación, y uno de los resultados finales del proceso debería ser que el alumno sepa de memoria las tablas de multiplicar. No sé lo suficiente de psicología del aprendizaje (mejor dicho, no sé nada) para profundizar en las diferencias cognitivas, pero como matemático me parece claro que son enfoques distintos y que son el resultado de procesos de aprendizaje diferentes.

En el tema de las tablas de la suma es evidente que Aharoni está hablando de esta segunda forma de memorizar, porque se detiene a tratar el tema de cómo sumar dos números de una cifra, y del problema de pasar “la frontera del 10”, en el ejercicio de calcular la suma 8+5. Esta es una etapa crucial del aprendizaje de la suma. Los niños que aprenden/descubren técnicas de cálculo flexible, de descomposición numérica, y que piensan en 5=2+3 para concluir que 8+5 = 10 + 3 = 13, son niños que van en la buena dirección en el camino del aprendizaje de las matemáticas. Por el contrario, los niños que hacen esta cuenta basada en memorizar (en el primer sentido) las tablas de la suma, o simplemente contando, están avanzando en una dirección con peores resultados de aprendizaje.

En el tema de la multiplicación la cosa queda menos clara, me parece que por el problema del significado del signo “x” en la multiplicación, del “veces” o “multiplicado por” del que ya hemos hablado aquí. Me resulta muy significativo que un buen matemático (en el sentido de investigador en matemáticas) con amplia experiencia en aulas de primaria, se mueva en este tema de forma insegura. Está claro que es un tema que no tenemos resuelto. Mi impresión es que si adoptamos el término “veces”, el significado de la multiplicación queda mucho más claro, y el aprendizaje de las tablas de multiplicar puede estar basado en la comprensión. Sobre este tema espero poder dar algo más de información durante el próximo curso. En los libros de 2º de Primaria de Polygon ya aparecen las tablas (el 2, el 3, el 4, el 5 y el 10), y estarán presentes en algunas de nuestras aulas este próximo curso.

Por último, sobre el libro de Aharoni. Lo tenía un poco aparcado, pero este tema me ha hecho revisarlo, y coincido con @danicapoblog en que sería muy positivo tener el libro accesible en castellano, como ayuda para esas familias, me parece que cada día más numerosas, que son conscientes de los problemas en el aprendizaje matemático de sus hijos, pero que no terminan de entender cuál es el problema de fondo, o que no tienen las herramientas para luchar contra él. Me apunto el tema para septiembre.