Los algoritmos (1) – La suma y la resta

Este curso he repensado bastante la asignatura de Aritmética (para maestros) y he dedicado cierto tiempo a pensar sobre los algoritmos básicos de la aritmética. Además, algunos debates como el que originó este tuit

sobre determinantes, me han convencido de que quizá sea hora de hacer un repaso al tema. Esta entrada es el comienzo de una serie sobre los algoritmos de las matemáticas básicas (entendidas como las matemáticas previas a la universidad). El ritmo será el que se pueda, y durará lo que me dure la cuerda, y/o el interés de los lectores.

Mi intención es seguir el orden en que van apareciendo en el currículo, pero antes de empezar a hablar de sumas y restas creo que merece la pena hacer algunas consideraciones generales.

Me parece que sigue sin estar nada claro cuál es el papel de los algoritmos en estos tiempos, cuando estamos rodeados de dispositivos que hacen todo tipo de cálculos, de forma más rápida y más fiable de lo que lo podrá hacer ningún ser humano. Creo que debería ser uno de los temas centrales de debate en didáctica de las matemáticas, y me parece que no lo está siendo. Por supuesto, lo que voy a exponer aquí son solo mis opiniones, ya me gustaría tener datos. Además, estas opiniones van evolucionando con el tiempo.

Voy a tratar de resumir en un párrafo mis reflexiones sobre el tema, que se pueden ver en versión ampliada en esta presentación, donde recojo mi intervención en la mesa redonda que la IX Escuela Miguel de Guzmán dedicó al tema.

Me parece evidente que el estudio de los algoritmos no puede ser ya un fin en sí mismo, como lo era, de forma justificada, hasta hace unos cuantos años. Mi tesis de inicio es que un algoritmo merecerá ser estudiado si, no solo se entiende, sino que ayuda a comprender ideas y conceptos que sean relevantes. Algunas veces se oye que a algunos alumnos les gusta calcular, por el puro gusto de calcular. Bien, no tengo problema en aceptar eso. Pero todos tenemos nuestros gustos y aficiones, y que haya un colectivo al que le resulte atractiva la actividad X no es razón para imponer esa actividad a toda la población. Sobre todo, si resulta que hay otros alumnos a los que esa imposición/requerimiento les aleja de la disciplina completa, o les impone una dificultad adicional, muchas veces decisiva, en el aprendizaje de las matemáticas.

Un último comentario previo: un mismo algoritmo se puede presentar de muchas formas. En particular, en la figura se muestran dos ejemplos que corresponden al algoritmo tradicional de la suma, y que probablemente corresponden a tratamientos bastante distintos del mismo. Cuando hablemos de un algoritmo, habrá que asumir que se trata de forma adecuada o, en todo caso, discutir en qué consistiría esa presentación adecuada.

suma

Si queremos hablar de algoritmos para sumar y restar en los primeros cursos de primaria,  deberíamos tener claro antes cuáles son los conceptos fundamentales de esa etapa, y que deberían ser desarrollados en paralelo con los algoritmos. Este caso me parece claro: la notación posicional y, más en general, el sentido numérico.

Empezando por la suma, voy a considerar tres algoritmos distintos. Primero, una presentación rápida, y después hablaré de las ventajas e inconvenientes que les veo.

  1. El tradicional, mostrado en la figura anterior, y que no necesita presentación.
  2. Explorando sobre el tema me encontré con un vídeo de un alumno que sumaba como se muestra en la figura.
    suma-2Me parece una propuesta muy interesante, y que también puede verse como otra forma de escribir la suma en fila
    748 + 597 = 1200 + 130 + 15 = 1345
    Me parece evidente que escribir la suma como en la figura facilita los cálculos al alumno.
  3. Los algoritmos ABN. Creo que ya son bastante conocidos, pero aquí va una presentación en dos líneas “en aras de la completitud”.  El acrónimo proviene de algoritmos Abiertos Basados en Números. En la tabla de la derecha se muestra un ejemplo. Si queremos sumar los números 36 y 43, lo que se hace es disponer la suma-abninformación en una tabla, e ir pasando cantidades del número menor al mayor. Evidentemente, cuando hemos pasado el número completo, en la casilla correspondiente aparece la suma final. La forma de pasar es flexible, y alumnos con diferentes habilidades de cálculo encontrarán caminos distintos (de ahí el adjetivo de abiertos). Creo que la escritura no está del todo estandarizada (se puede argumentar que no hace falta, por supuesto) y si se buscan ejemplos es posible que no aparezca la columna de la izquierda del ejemplo, las cantidades que se van pasando. En este blog se puede encontrar más información.

Voy a atreverme a aventurar unas pocas reflexiones sobre comparación de estos algoritmos, dejando claro que son reflexiones personales, que han cambiado en estos últimos años, que pueden cambiar en el futuro próximo, y que tengo más preguntas que respuestas.

En primer lugar, decir que el algoritmo tradicional me parece una buena opción. Eso sí, por supuesto, trabajando con números del tamaño adecuado al desarrollo del alumno, y no “llevándome 1”, sino reagrupando las 12 unidades en una decena y dos unidades, con el apoyo gráfico/manipulativo necesario.

El algoritmo 2 me gusta mucho. Creo que usa de forma muy natural la notación posicional, y que cuando se calculan sumas de esta forma se está haciendo un uso intenso de las descomposiciones numéricas. Su gran ventaja, me parece, es que se adapta muy bien a las técnicas de cálculo mental y cálculo aproximado. Si queremos hacernos a la idea del orden de magnitud de una suma, es evidente que debemos a sumar desde la izquierda. Solo le veo un inconveniente, y es que no veo cómo trasladarlo al caso de la resta, como veremos más abajo. Y creo que este es un inconveniente muy serio. La pregunta surge sola: ¿sería adecuado trabajar los algoritmos 1 y 2, en paralelo o de forma secuencial? Creo que solo una posible experiencia de aula nos podría iluminar en este punto.

Sobre el ABN, entiendo el éxito relativo que están teniendo en las aulas. Lo que me parece que ocurre en muchos casos es que sustituyen a un tratamiento puramente mecánico del algoritmo tradicional. Y claro, tras años de ver que tus alumnos no entienden nada, hacer por fin algo que se entiende tiene un atractivo evidente. Sobre el algoritmo en sí mismo, es desde luego un buen ejercicio de cálculo mental. Pero si se piensa (como es mi caso) que una de las razones fundamentales de trabajar un algoritmo de la suma es trabajar la comprensión de la notación posicional, entonces creo que surgen muchas dudas. Por los ejemplos que se ven en la red, y por lo que he visto hacer a mis alumnos al tratarlos en la asignatura de aritmética, no me parece que profundizar en la comprensión de la notación posicional sea su fuerte. Pero esta cuestión está abierta, desde luego.

Para terminar con la suma, por supuesto que otra alternativa sería olvidarse de algoritmos, trabajar el cálculo mental (pensado), desarrollando las estrategias adecuadas, de forma realmente flexible, y pasar a la calculadora cuando el tamaño de los números lo requiera.

La resta.

Restar es intrínsecamente más difícil que sumar. Y esto se evidencia tanto en la comprensión del concepto como en los algoritmos. Empezando por los algoritmos tradicionales, hay dos formas de arreglar el problema que surge cuando la cifra del minuendo es menor que la correspondiente del sustraendo.

resta

En el recuadro rojo de la figura (la resta de la izquierda) se muestra el algoritmo tradicional en España (y en otros países europeos). Aquí el problema de cómo se presenta en las aulas es claro. Decir “me llevo una” en el caso de la suma puede ser poco adecuado, pero en el caso de la resta es simplemente disparatado. No hay una, ni me la llevo a ningún sitio. Estamos simplemente trasladando la cantilena de la suma a una situación completamente distinta. Desde luego, con ese lenguaje es imposible que los alumnos entiendan nada, y mi impresión es que muchos niños empiezan a naufragar con la introducción del algoritmo de la resta. La idea para justificar el algoritmo es sencilla, otra cosa es que sea natural, o fácil de captar por el alumno de 1º-2º de primaria. Lo que hace el algoritmo es usar la propiedad de compensación: sumamos 10 unidades al minuendo y 1 decena al sustraendo. La diferencia se mantiene, y ya podemos hacer la cuenta. El lenguaje que se ha usado en España para presentar este algoritmo deja bien claro que la comprensión nunca ha estado entre nuestras preocupaciones a la hora de enseñar matemáticas.

La alternativa de la derecha, usada en el mundo anglosajón y en Asia (y llegando a nuestras aulas) consiste en desagrupar una decena, expresándola como 10 unidades. En el ejemplo, en lugar de 4 decenas y 2 unidades, tenemos 3 decenas y 12 unidades, y ya podemos seguir con el cálculo. Lo que he visto en las aulas es que se usa el término “prestar” y tampoco me parece adecuado, porque creo que deberíamos enseñar a nuestros alumnos que lo que te prestan tienes que devolverlo, y aquí no hay devolución posible. Creo que la verbalización del procedimiento debe estar adaptada al vocabulario de los niños, por supuesto, pero también debe reflejar el proceso de manera correcta. ¿Tomamos una decena, y la expresamos como 10 unidades? Quizá haya mejores alternativas. De nuevo, la experiencia de aula es imprescindible.resta-filas

La mayor dificultad de la resta queda en evidencia al tratar de buscar un análogo del segundo algoritmo para la suma. No veo alternativa mejor que la que muestra la figura, basada en una idea que circuló por twitter hace unos días.

Seguramente sea un ejercicio interesante, para 1º de la ESO, para trabajar la aritmética de los enteros, y hacer eso tan importante, y que tan pocas veces hacemos, que es reflexionar sobre las conexiones entre diferentes temas. Pero si hablamos de algoritmo para la resta en 2º-3º de primaria, no me parece una alternativa.

En cuanto a los algoritmos ABN, en la figura se muestra un ejemplo. Me parece que la tabla es suficientemente explícita: voy quitando del número mayor, y cuando lo he quitado todo me encuentro resta-abncon la diferencia.

Para terminar, una breve comparación. Sobre los ABN, los comentarios son los mismos que para la suma. Y no es casualidad, porque las ideas subyacentes son exactamente las mismas, claro.

De nuevo aquí se puede aplicar el comentario final sobre la suma: una opción podría ser prescindir de los algoritmos en columna (y de las tablas de los ABN), trabajar (con números del tamaño adecuado al desarrollo de los alumnos) técnicas de cálculo pensado, y recurrir a la calculadora cuando los números sean más grandes.

Finalmente, mi opinión sobre las dos alternativas para gestionar “las llevadas”: no conozco ningún resultado basado en trabajo de aula, pero estoy convencido de que hacer reagrupamientos en el minuendo es más natural que usar la compensación aumentando el sustraendo. Y creo que hay cierto consenso en el tema, a juzgar por cómo la primera de las alternativas va ganando terreno en las aulas y en los libros de texto. Otra cosa son los problemas que la transición está causando, con libros que empiezan con una alternativa para luego usar otra más adelante, o colegios donde se hace algo parecido, o el desconcierto de algunas familias cuando se encuentran con que no saben cómo resta su hijo. Este es otro tema, que quizá merezca tratarse en otra entrada, esta ya es demasiado larga.

Una anécdota sobre innovación educativa

El otro día me contaban una historia que me ha hecho bastante gracia. Una persona había visitado varios centros de Gran Bretaña, para ver en funcionamiento algunos proyectos de innovación. Uno de ellos consistía en … usar libros de texto. No es broma. Gran Bretaña es uno de los países donde hace ya años se extendió la práctica de prescindir de los libros, y los docentes de este proyecto estaban muy contentos, descubriendo las ventajas de tener un buen libro de texto para sus clases. No pretendo volver a escribir sobre el tema, ni siquiera voy a enlazar las entradas correspondientes. A los lectores del blog ya les he dado la paliza bastante con el tema, y si algún nuevo lector está interesado es suficiente con que busque la etiqueta correspondiente. El propósito de esta micro-entrada era simplemente compartir una anécdota sobre ese gaseoso concepto de “innovación educativa”.

Los determinantes y la regla de Cramer

El fin de semana pasado, este tuit

originó un debate muy interesante que terminó en torno al valor del cálculo de determinantes en 2º de Bachillerato, y en el interés de la regla de Cramer para resolver sistemas lineales.

Me quedé con la idea de escribir una entrada, aunque fuera breve, para contestar a este último tuit de @ER_enrique:

Lo primero que querría decir es que seguramente sea radical en este tema no por falta de respeto a los algoritmos, sino porque los valoro y los respeto mucho. Una parte relevante de mi trabajo de investigación de los últimos 25 años estuvo dedicada a la búsqueda de buenos algoritmos para resolver problemas geométricos, en el área que se conoce como Geometría Computacional. Esta versión en inglés de Wikipedia tiene una descripción muy completa del área.

Pero de lo que me interesa hablar aquí es de qué significa conocer un algoritmo, y qué valor formativo tiene. Supongamos que conocer el algoritmo de Cramer significa memorizar un proceso como:

Para resolver un sistema lineal 3×3, hago lo siguiente:

  1. Calculo el determinante de la matriz del sistema.
  2. Calculo los determinantes que obtengo al sustituir cada columna por la columna de términos independientes.
  3. El valor de cada variable es el cociente correspondiente.

Entonces estoy cada vez más convencido de que el valor formativo de conocer y ejecutar esto es cero, y que es equivalente (desde el punto de vista formativo) a decir: usa tu software o herramienta algebraica preferida, teclea el sistema y lee la solución.

No se trata de cargar las tintas con los profesores, ya sé que tenemos la restricción del currículo. Por eso precisamente traté de lanzar esta campaña hace unas semanas. Lo que haga cada docente en su aula, mientras tengamos los currículos que tenemos, es obviamente una decisión personal (y complicada), y lo que querría argumentar en el resto de esta entrada es por qué el algoritmo de Gauss, me parece más formativo que el de Cramer.

La idea del algoritmo de Gauss, transformar un sistema en otro equivalente sencillo de resolver, es muy intuitiva, y convencer a los alumnos de que hay un par de operaciones elementales que transforman mi sistema en otro equivalente también me parece accesible. Quizá no formalmente, pero lo que sí se puede hacer es convencer al alumno haciendo un par de ejemplos.

Dicho esto, lo que me parecería realmente formativo (y quizá ambicioso, sí) es proponer que los alumnos programaran el algoritmo de Gauss. No es tan complicado, dejando aparte por supuesto temas de estabilidad numérica. Una de las pocas cosas que recuerdo de mi COU es cuando me puse a programar el algoritmo en BASIC, en un ZX Spectrum recién llegado a casa. Ver que aquéllo me daba las soluciones de un sistema 20×20 moló mucho.

Para terminar, en medio del debate de twitter le eché un vistazo a los currículos que tenía a mano: Alemania (bueno, un Länder, que allí tienen la educación más descentralizada que en España), Francia, Gran Bretaña y Singapur. En ninguno de esos lugares tratan los determinantes en sus equivalentes al bachillerato.

Una mención especial al currículo francés, que no conocía. Me parece realmente amplio, supongo que en línea con la conocida fama de exigencia del Baccalauréat francés, pero es amplio en direcciones distintas a las nuestras (y creo que mucho más interesantes).

 

 

 

 

Math with Bad Drawings, (alguna vez) en castellano

El blog Math with Bad Drawings, de Ben Orlin,  es uno de los espacios más recomendables que conozco de reflexión sobre la enseñanza de las matemáticas. Los temas son siempre interesantes, y el sentido del humor y la estética con los que se presentan hacen de la lectura un placer. Alguna vez había pensado en pedir permiso al autor para traducir sus entradas al castellano, en un intento de hacer su blog más conocido, y me decidí al ver una de sus últimas entradas The Student-to-Teacher Dictionary , que me ha parecido especialmente acertada. Por supuesto, pedí permiso al autor, y me contestó rápido, encantado con la idea. Así que aquí está la versión de esa entrada en castellano. Por supuesto, si el inglés no es un problema, la versión original es mi recomendación. No me puedo comprometer a traducir todas las entradas futuras, pero trataré de hacerlo con las que me resulten más interesantes. (Si algún lector quiere colaborar, encantado, por supuesto).

—————————————————————-

A veces, los estudiantes dicen exactamente lo que quieren decir. “No entiendo la pregunta” quiere decir que no entienden la pregunta. “Esto es demasiado difícil” quiere decir eso, que realmente es demasiado difícil.

Pero otras veces es necesaria una traducción …

traslation-1

La mitad de los diálogos de mi clase son de este estilo:

Alumno: “No entiendo la pregunta.”
Yo: [prolija, exhaustiva explicación de lo que se está preguntando]
Alumno: “Sí, eso ya lo sé. Pero no entiendo la pregunta.
Yo: “Oh! Esta es una de esas conversaciones.”

Los alumnos esperan saber a primera vista cómo abordar una pregunta. Sentirse inseguro sobre qué hacer puede dar lugar a la queja de “no entiendo” la pregunta.

Otras veces pueden saber todo lo necesario. Lo único que necesitan es la habilidad de aplicar ese conocimiento, de establecer la conexión entre diferentes ideas. Y eso no es algo que yo deba (¡o pueda!) decirles cómo hacer.

traslation-2

Pisamos aquí terreno peligroso. Nosotros, los profesores de matemáticas, nos encontramos a menudo defendiendo lo imposible, tratando de argumentar, “Eh, sí, vas a necesitar las expresiones racionales en tu carrera como … eh … un representante de recursos humanos.”

Trato de tener presente que lo más relevante no es “útil”, sino “significativo” o “merece la pena.” Si un tema alimenta nuestra curiosidad y nos hace sentirnos expertos, no es tan importante si nos ayudará o no a rellenar nuestra declaración de hacienda.

traslation-3

A veces las tareas que mando son, realmente, demasiado difíciles: quizá he juzgado mal la preparación previa de los alumnos, o sobrestimado lo que aprendieron en la última clase, o quizá olvidado las complicaciones del problema en cuestión. the puzzle at hand.

Pero a veces “demasiado difícil” es, de hecho “lo necesario”. La dificultad no es el problema en sí mismo, sino el temor, muy humano, a cometer errores o a tomar decisiones equivocadas. Esas veces los alumnos no necesitan un problema más sencillo, lo que necesitan es la valentía (y el ánimo) para arriesgarse con ese problema.

traslation-4

Por supuesto, me declaro culpable de haber puesto demasiadas tareas, algunas veces.

Pero mucho más a menudo he sido culpable de proponer tareas tediosas. Siendo consciente de la importancia de la práctica, a veces me olvido de que no toda la práctica es igualmente importante. La práctica que aparece de forma natural en el desarrollo de tareas significativas es mejor que una serie de ejercicios descontextualizados asignados un día cualquiera.

traslation-5

Algunos alumnos se involucran en serio en algunas asignaturas, independientemente de las notas que saquen. ¡Muy bien por ellos!

Para el común de los mortales, las asignaturas preferidas suelen ser aquellas que se nos dan mejor. ¿Has tenido la mejor nota de la clase en la asignatura X? Es muy probable que esa asignatura un lugar especial en tu corazón. Es estupendo ser el mejor.

Pero entonces las notas se pueden volver contra nosotros, los profesores, tanto por la escasez (“No pueden sacar todos Sobresaliente”) como por la idea de jerarquía que transmiten (“Claro, tengo un Notable, pero todos mis amigos han sacado un Sobresaliente”).

Las notas crean un clima donde es imposible que todo el mundo se sienta exitoso.

Lo que necesitamos son formas de darle a los alumnos oportunidades de experimentar el éxito, no en comparación con otros, sino con respecto a ellos mismos. No es una tarea sencilla. Pero es la tarea.

traslation-6

Es tentador clasificar las reclamaciones sobre las notas como quejas sin fundamento, como una demanda frívola y oportunista que cualquier juez sensato rechazaría de plano.

Sin embargo, para algunos estudiantes no se trata de la nota en sí misma. Se trata de la falta de conexión: la sensación de que el esfuerzo que han dedicado ha sido mucho mayor que la calificación subjetiva que les he asignado.

Cuando eso ocurre, es necesario canalizar mejor el esfuerzo del alumno. Es cierto que a veces un poco de esfuerzo puede no dar frutos. Pero el esfuerzo bien dirigido, casi por definición, lleva al éxito – y parte de mi trabajo como profesor debe ser dirigir ese esfuerzo.

 

A vueltas con los libros de texto

Como cada comienzo de curso, hemos asistido al cruce de argumentos habitual sobre el tema de los libros de texto, su excesivo coste, el buen o mal uso que se hace en las aulas, hasta he llegado a ver que el libro de texto, como concepto en sí mismo, no porque sea de mala calidad, es en parte responsable del fracaso escolar

Como llevo un tiempo sin escribir sobre el tema, creo que es hora de volver a tratarlo. Me gustaría centrarme en los aspectos puramente educativos, y para tratar de evitar que un posible debate se desvíe por otros caminos, voy a empezar con una serie de comentarios preventivos.

  • Sí, desde hace unos meses estoy involucrado en un proyecto editorial. No, esa no es la causa de que defienda, con los matices que sea, las ventajas de unos buenos libros de texto. La flecha de la causalidad va en dirección contraria: como siempre he pensado que un buen libro de texto es una buena herramienta, tanto para el profesor como para el alumno, cuando ha surgido la ocasión no he dudado en involucrarme en un proyecto que trata de llevar mejores textos de matemáticas a nuestras aulas.
  • Muchas de las quejas que se escuchan sobre el excesivo coste de los libros de texto en España pueden estar bastante justificadas. Pero eso puede tener que ver con el excesivo número de asignaturas que hay en todos nuestros niveles educativos (bueno, ahí la universidad es una excepción, creo que reducir el número de asignaturas en los grados fue lo más positivo de la “reforma Bolonia” de hace unos años).
  • Desde luego, el coste de los libros de texto no debería ser una barrera para el acceso a la educación de los niños de familias en situaciones económicas difíciles. Y me parece perfectamente defendible que los libros de texto los deberíamos pagar entre todos, vía impuestos, y no las familias. Pero es una decisión política, que se debe tomar en los foros correspondientes.
  • Un lugar común es que a las editoriales no les interesa la educación, que “solo quieren ganar dinero”. Bueno, eso es bastante cierto, ya lo pensaba y nada de lo que he visto últimamente me ha hecho cambiar de opinión. Pero eso no pasa solo con las editoriales y la educación, sino con casi todo en la sociedad en que vivimos, empezando por ejemplo con temas igual de importantes, como la alimentación o la sanidad. Si estamos tranquilos con respecto a lo que comeremos mañana (al menos, los que tenemos la suerte de disfrutar de una situación económica desahogada) no es porque tengamos alrededor entes solidarios que se preocupen de nuestras necesidades, sino porque confiamos en el afán de lucro del panadero, el supermercado, o el restaurador que ponen a nuestra disposición lo necesario, a cambio, claro, de un pago. El tema de la sanidad tiene todavía más aristas, como el papel de los laboratorios farmacéuticos en algunos de los escándalos que han surgido últimamente, el problema de la distribución de medicamentos en los países menos desarrollados, o la falta de investigación en el desarrollo de nuevos antibióticos, por las pocas perspectivas de rendimiento económico que tiene. Creo que los gobiernos deberían tener un papel mucho más activo en este tema, y corregir muchas de las prácticas que vemos. Lo que no me parece una alternativa es recomendar a los ambulatorios que cultiven sus propias cepas de penicilina. En resumen: no creo que sea ningún problema que las editoriales quieran ganar dinero. Creo que el problema es que en España lo consigan con productos tan mediocres.
  • Seguiré usando el término “libro de texto”, aunque es evidente que estamos en un proceso de cambio, y que no está nada claro qué tipo de materiales veremos en nuestras aulas dentro de 10 años, creo que falta mucho por aprender sobre las implicaciones cognitivas de distintas opciones, y hay datos como éste, como mínimo, dan que pensar.

Paso ya al debate estrictamente educativo.

  • El primer argumento que se suele escuchar es que “un buen profesor no necesita un libro de texto”. Eso es cierto, sin duda. Un buen docente (o, mejor, un equipo bien cohesionado) bien formado y trabajador puede hacer un trabajo estupendo sin libros de texto. Lo sé, conozco ejemplos. La pregunta importante es si esa práctica es generalizable a todo el sistema escolar. No es fácil conseguir datos fiables de esto, pero las informaciones que me llegan es que, en los países donde parece que las cosas funcionan razonablemente bien, uno de los factores que ayudan son unos buenos libros de texto. Si algún lector conoce algún país donde parezca que los resultados educativos son buenos, y que ha decidido prescindir de los libros de texto, me encantaría explorar el caso.
  • El problema es cuando se le da la vuelta a la afirmación anterior, cometiendo la falacia más común, la de dar la vuelta a una implicación que solo funciona en un sentido, y se afirma, o se transmite, que los profesores que usan libros de texto es porque no son tan buenos, o tan trabajadores, o les falta iniciativa. Y creo que esta visión se ha extendido bastante, en particular en nuestros centros de formación de maestros. La visión mayoritaria es que un buen maestro elabora sus propios materiales, y en lugar de prepararles para elegir buenos textos y usarlos bien se les prepara para que elaboren unidades didácticas. Aquí la universidad está a la cabeza, porque la ANECA, el organismo que rige la carrera profesional de los profesores universitarios (hay que ser evaluado por ella cada vez que queremos progresar), decidió hace años “dar puntos” a los profesores que elaboran sus propios materiales. Puestas así las cosas, cuando el profesor X tiene que impartir el curso próximo una asignatura como Cálculo para Ingenieros, tiene dos opciones:
      • recurrir a uno de los 3 ó 4 manuales estándar de la asignatura, que son los usados en las mejores universidades del mundo. Además de que no recibirá ninguno de esos puntos si opta por esto, tendrá que luchar contra lo poco acostumbrados que estarán sus alumnos a usar un libro de texto. La mayoría habrán recurrido a ellos solo para hacer algún trabajo, y para hacer los ejercicios K y L de la página J.
      • elaborar sus propios apuntes. En este caso, los alumnos estarán más contentos, y el profesor recibirá esos puntitos de la ANECA. Por supuesto, nadie comprobará si esos apuntes son buenos, malos o regulares. Esta situación me temo que va a peor, porque se está trasladando al procedimiento de evaluación de la docencia que están implementando cada vez más universidades, presionadas por la superioridad en ese sentido.

    Aunque cada vez es más complicado saber qué se hace en cada sitio (una consecuencia creo que desafortunada del desarrollo de los entornos de ayuda al aprendizaje virtual), no es difícil imaginar hacia dónde se deslizan las cosas con la actual estructura de incentivos …

  • Lo que me resulta más llamativo es que esta situación de una mayoría de estudiantes nada acostumbrados a usar con criterio libros de texto convive con el énfasis que se pone en la importancia del “aprender a aprender”. Es verdad que en estos tiempos cualquiera que quiera aprender algo tiene a su disposición materiales estupendos, pero me parece difícil que alguien que está aprendiendo tenga el criterio para elegir algunos de entre los más adecuados. Ya sé que hay experiencias realmente sorprendentes sobre lo que se puede conseguir en esta dirección, lo que no conozco es comparativas con lo que habrían conseguido esos niños con buenos libros de texto y buenos maestros a su alrededor.
  • Una imagen que escuché en una presentación de Marshall Cavendish, que no había oído, y que me ha gustado mucho, es esta analogía con la música: el libro de texto es la partitura, y el profesor es el intérprete. Me encanta el jazz, y por supuesto que valoro la música improvisada, pero también soy consciente de lo que aporta un buen intérprete a cualquier partitura, por muy escrita que ya esté. En el aula, un docente no tiene por qué limitarse a seguir mecánicamente el libro de texto, como a veces se critica. Cuando un niño dice “no lo entiendo”, o hace una pregunta interesante, o hace algo mal, la reacción del profesor para conducir la situación, localizar la dificultad de aprendizaje, o buscar un enfoque alternativo que solucione el problema, es lo que diferencia al docente excelente del bueno, o del menos bueno.
  • En resumen, a la afirmación del principio de “un buen profesor no necesita un libro de texto” (que como dije suscribo) contrapondría esta otra, que también me parece cierta: “un buen libro de texto es una excelente herramienta para cualquier profesor (y para los alumnos)”.

Los currículos en espiral

A raíz de este artículo publicado en El Español el pasado domingo, del vídeo donde se habla de la repetición de contenidos en España, y de su mención a cómo estudian las fracciones en Singapur, me han hecho algunas preguntas interesantes, y he pensado que la mejor forma de tratar de contestarlas podría ser rescatar una de las entradas en la cola de borradores, la dedicada al tema de los currículos en espiral.

Nuestros currículos, ya desde la LOGSE, están diseñados en espiral. Pero si nos fijamos en los currículos de Singapur, también dicen que su diseño es en espiral. Lo que sigue es un extracto de la introducción al currículo de matemáticas de primaria de 2007.

Care has been taken to ensure that there is continuity from the primary to the secondary levels. Using a spiral design of the curriculum, each topic is revisited and introduced in increasing depth from one level to the next. This enables students to consolidate the concepts and skills learned and then further develop them.

El 2013 cambiaron el currículo de primaria, y este curso llegan a 4º (van a curso por año, no como aquí …). Siguen mencionando el diseño en espiral, como puede comprobarse en esta página, donde también se puede ver la estructura general de las diferentes etapas educativas. Una aclaración preventiva: no tengo datos de cuántos alumnos cursan esas matemáticas fundamentales de 5º y 6º de primaria, ni estoy defendiendo esa separación tan temprana. Tampoco tengo datos de cómo funcionan esas pasarelas que aparecen en etapas posteriores de la estructura. Esos aspectos organizativos son relevantes, pero no me parece un tema estrictamente curricular. En todo caso, cuando se piense en ello merece la pena tener en la cabeza cuál es la alternativa que usamos en España, y que es la que parece que peor funciona: la repetición de curso.

Volviendo al diseño en espiral, puede ser un poco exagerado decir que en España estudian en todos los cursos lo mismo, pero me parece claro que hay demasiada repetición. Se introducen las fracciones en 3º, y en 4º de primaria ya suman fracciones (lo cual no me parece malo en sí mismo), pero algo falla, porque siguen repitiendo la suma en 5º y en 6º, y como cualquier profesor de primeros cursos de ESO podrá corroborar, sigue siendo necesario trabajarla en 1º y 2º de secundaria, y sigue siendo fuente de errores durante toda la etapa. Algo parecido pasa con la multiplicación y la división (empezando en este caso en 5º). Esto no es solo un problema de los alumnos con más problemas de aprendizaje. Ya sé que es solo una anécdota, pero me parece significativa: el otro día una compañera de departamento que imparte la asignatura de Probabilidad y Procesos Estocásticos en 2º de Ingeniería de Telecomunicación, me contaba que en un problema aparecía la suma de una serie, y que el obstáculo para una cantidad significativa de sus alumnos había sido darse cuenta de que \frac{1}{3^x}=\bigl(\frac{1}{3}\bigr)^x. El problema me parece claro: en ningún momento se le dedica a cada cosa el tiempo suficiente para poder lograr un auténtico aprendizaje comprensivo, que es el único que permite que ese conocimiento siga allí cuando los alumnos vuelven de las vacaciones de verano.

En Singapur, por el contrario, no repiten los conceptos. Introducen el concepto de fracción, y comparan, suman y restan fracciones con el mismo denominador en 2º, en 3º tratan los mismos temas pero con el caso de denominadores distintos (eso sí, manteniendo los números del tamaño adecuado para que el alumno entienda lo que está haciendo), en 4º las fracciones impropias, la fracción de un conjunto, y los números mixtos (esto último me parece que sobra, se podría decir eso de “nadie es perfecto”), en 5º tienen dos temas, tratan la multiplicación y la división de una fracción entre un entero, y por último en 6º aparecen fracciones como divisores, y hacen un pequeño repaso. Por si algún lector quiere algún detalle más, aquí he reunido los índices de los temas de fracciones de los textos de Marshall Cavendish. No es el currículo oficial, pero el lector que compare estos índices con el currículo enlazado anteriormente comprobará que la precisión del currículo deja poco margen para los contenidos (no voy a entrar aquí en si esto es bueno o malo, seguramente es posible en un país pequeño, uniforme y centralizado como Singapur, mucho más complicado en España, pero ese es otro tema). Por supuesto en los conceptos y procedimientos tratados en cursos anteriores aparecen en actividades y problemas de cursos posteriores, pero creo que eso es completamente distinto a estudiarlos de nuevo. En cuanto a secundaria, en 1º aparecen cuatro páginas de repaso, eso es todo.

Un último documento: los índices de los libros de primaria. Creo que son suficientes si algún lector quiere hacerse una idea de cómo tratan otros temas.

Y un comentario final: decir que un currículo está diseñado en espiral no es decir gran cosa. El diablo está en los detalles, y un calificativo como ése se puede aplicar a realidades muy diferentes.