Los algoritmos (2) La multiplicación y la división

Antes de seguir con el repaso a los algoritmos, me parece imprescindible mencionar un artículo que descubrí gracias a este tweet de @jjcanido:

Se trata de un artículo de Stuart Plunkett, del año ¡1979! No lo conocía, y me ha parecido una de las exposiciones más claras y convincentes que conozco sobre la obsolescencia de los algoritmos tradicionales, y la conveniencia de otro tipo de algoritmos que favorezcan la comprensión.

Una de las cosas que lo hace interesante es que se atreve con algo que muchas veces echo en falta en este tipo de propuestas, y es concretar qué tipo de cálculos habría que hacer de qué manera. Lo resume en esta tabla:

algoritmos-plunkett

La columna Red corresponde a los “hechos básicos”, que deben estar (a partir de cierta edad, claro) accesibles en memoria para facilitar cálculos más avanzados. La columna Orange corresponde a cálculos que se reducen a un solo paso que usa los hechos de la columna anterior. Para estos cálculos, los algoritmos tradicionales son absolutamente inapropiados. La columna Yellow corresponde a cálculos para los que las técnicas “mentales” son idóneas. Plunkett afirma que cualquier persona podría hacerlos mentalmente, si lo necesitara (me temo que aquí Plunkett es optimista, o las cosas han empeorado bastante, seguramente por culpa de la enseñanza de la aritmética en la escuela). Están también perfectamente al alcance de un alumno de la segunda mitad de primaria, con el trabajo adecuado. Los cálculos de la columna Green se podrían hacer mentalmente, pero poca gente lo necesitará. Por último, para los cálculos de la columna Blue sería absurdo recurrir a las técnicas del cálculo mental, igual de absurdo que recurrir al lápiz y al papel si tenemos a mano una calculadora (el énfasis es mío)

Creo que merecería la pena tratar de difundir artículos como este entre la comunidad de docentes. En particular, entre los maestros de educación primaria. Si algún lector tiene contactos con alguna revista para ese sector que pudiera estar interesada, o conoce una versión en castellano de este trabajo, le agradecería que se pusiera en contacto conmigo, por ejemplo a través de los comentarios.

Actualización (24/09/2017). Juan Emilio García me ha hecho llegar esta traducción del artículo. ¡Muchas gracias!

Después de estos párrafos iniciales puede parecer un poco absurdo volver al repaso de los algoritmos tradicionales. Sin embargo, vistos los progresos de estos últimos 40 años, creo que merece la pena tratar de dar pequeños pasos en la dirección de hacer la “aritmética del lápiz y papel” un poco más “pensada”.

La multiplicación:

La propiedad clave que permite multiplicar números grandes a partir de las tablas de multiplicar es la propiedad distributiva. Por tanto, si nuestro objetivo es elegir un algoritmo que ayude a la comprensión, el objetivo debe ser considerar algoritmos en los que sea sencillo ver cómo aplicamos la propiedad distributiva.

Antes de tratar de formalizar ningún tipo de algoritmo para la multiplicación, debería estar claro que 7 \times 25 = 7 \times (20+5) = 7 \times 20 + 7 \times 5, es decir que “7 veces 25 son 7 veces 20 más 7 veces 5”. Creo que en este punto el uso de “veces” en lugar de “multiplicado por” supone una gran ventaja. Representaciones gráficas como las de la figura ayudan a entender el significado de la propiedad distributiva. La versión de la derecha, sin las unidades representadas explícitamente, supone un paso más en el nivel de abstracción.

Una vez entendida la propiedad distributiva, escribir este cálculo en el formato que se muestra a la izquierda en la figura me parece inmediato. Es verdad que, si queremos (o nos obligan a) tratar multiplicadores de más de una cifra, habría que pasar a la escritura tradicional, de la derecha. multiplicacion-1-cifra

La escritura de la multiplicación con multiplicadores de más de una cifra es uno de los puntos más problemáticos si queremos insistir en una escritura de los algoritmos que ayude a la comprensión. Quizá lo mejor sería escribir que 37 veces 25 son 30 veces 25 más 7 veces 25, y a partir de ahí hacer los cálculos correspondientes. Evidentemente, estoy hablando de cómo escribir los algoritmos cuando se están aprendiendo. Si es necesario o no llegar a una escritura refinada al final del proceso, o si esto no merece la pena, es algo que se escapa del objetivo de esta entrada. Lo que sí tengo claro es que, incluso en la escritura tradicional del algoritmo, no deberíamos dejar el hueco de las unidades al multiplicar por las decenas, sino poner el número que ocupa ese lugar, que es el cero, claro. Es uno de esos detalles donde los usos y costumbres presentes en nuestras aulas (y en nuestros libros de texto) chocan de manera para mi incomprensible con la didáctica.

En la siguiente figura se muestra la tabla que usan los algoritmos ABN para calcular 285 \times 84. No me parece que ayude a la comprensión. Como ocurre muchas veces con los procedimientos que llevan a tablas, creo que más bien promueve la mecanización sin reflexión.

abn-multiplicacion

Por último, le llega el turno a la división. Sobre el algoritmo tradicional, quiero insistir una vez más en lo poco conveniente que me parece dejar de escribir las restas y calcularlas mentalmente. Es un detalle que hace que el algoritmo sea más difícil de ejecutar, más complicado de entender, y que lo desconecta de variantes como la división de polinomios en secundaria. Por lo que voy averiguando parece que en el pasado lo usual en nuestro país era aprender primero poniendo las restas, para eliminarlas más adelante. Poco a poco, ese momento de eliminar las restas parece haberse ido adelantando, y en muchas ocasiones los alumnos aprenden directamente el algoritmo de la división restando mentalmente. Me parece un ejemplo perfecto donde se aplica esta cita de Donald Knuth “Premature optimization is the root of all evil (or at least most of it) in programming” que enunció pensando en la programación, pero que me parece perfectamente trasladable al aprendizaje de las matemáticas. En la figura vemos un ejemplo tomado de un libro de texto de 3º de Primaria.

En este tema solo nos siguen algunos países hispanoamericanos. Si revisamos vídeos de alumnos haciendo divisiones en Gran Bretaña, Francia, o Alemania, podemos ver que hay variaciones en cómo organizan los cálculos, pero que tienen una cosa en común: escriben las restas.

abn-division

No me convence la forma de organizar los cálculos de la división ABN (en la imagen de la derecha se puede ver un ejemplo), pero la idea sí es natural, y explicando el pasado septiembre el algoritmo ABN en magisterio se me ocurrió que un buen algoritmo para la división sería la mezcla del tradicional y la idea de los ABN que muestro en la siguiente figura. Es un algoritmo donde se trabaja la descomposición de los números, y que cada niño puede aplicar adaptándolo a su nivel de cálculo. Naturalmente, la idea no es nueva, y posteriormente descubrí que aparece en la literatura como “división de Brousseau”, y Cecilia Calvo y David Barba hablaron de él en un número reciente de la revista SUMA (que no he podido localizar en una búsqueda rápida. Cierro con una pequeña petición para los editores de la revista: sería muy útil que los índices estuvieran accesibles online).

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Cumpleaños y resumen

A punto de cumplir 5 años este blog acaba de llegar a las 200.000 visitas (¡muchas gracias a todos los lectores!).

Estos meses el blog ha estado completamente abandonado, por “culpa” de algunos proyectos de los que espero poder hablar pronto. Mientras tanto, creo que es buen momento para echar la vista atrás y una buena forma de hacerlo es repasar las 10 entradas más visitadas desde el comienzo del blog. Debo aclarar que en las estadísticas de wordpress casi la mitad de los accesos son a la página de inicio, que aparece en la dirección masideas-menoscuentas.com, y que en el caso de este blog es simplemente la última entrada publicada. Los accesos que se muestran son por tanto los que se hacen directamente al enlace de la entrada en cuestión. Si tenemos en cuenta los accesos totales desde su publicación, estas son las diez entradas más visitadas:

  1. El número de dos cifras (01/10/2012).  13 686 visitas.
  2. Los algoritmos tradicionales – La división  (24/05/2013) 7 677 visitas.
  3. El área lateral del cono  (24/06/2014) 7 214 visitas.
  4. La multiplicación (31/08/2013) 7 046 visitas.
  5. La división: una operación con dos significados (18/10/2013) 6 824 visitas.
  6. Libro de 1º de Primaria  (04/09/2014) 5 224 visitas.
  7. Los libros de Singapur (I) (23/03/2013) 5 116 visitas.
  8. Las tablas de multiplicar (25/08/2012) 4 052 visitas.
  9. La regla de tres  (13/09/2012) 3 466 visitas.
  10. Los algoritmos (1) – La suma y la resta (26/11/2016) 3 159 visitas.

Las cosas cambian un poco si nos fijamos en las visitas durante el último año, pero creo que sorprendentemente poco  Este es el resultado en ese caso:

  1. El número de dos cifras 6 137 visitas.
  2. El área lateral del cono 5 397 visitas.
  3. Los algoritmos (1) – La suma y la resta 3 159 visitas.
  4. La división: una operación con dos significados 2 959 visitas.
  5. Los algoritmos tradicionales – La división 2 914 visitas.
  6. Libro de 1º de Primaria 2 005 visitas.
  7. La multiplicación 1 365 visitas.
  8. Los libros de Singapur (I) 745 visitas.
  9. Una anécdota sobre innovación educativa 733 visitas.
  10. La regla de tres 585 visitas.

Por si no consigo resucitar el blog antes de las vacaciones, cierro esta breve entrada deseando a todos los lectores un feliz descanso veraniego.

El vértice de las parábolas

El propósito de esta entrada es explicarme un poco mejor a cuenta del debate que tuvimos hace unos días, sobre el dibujo de parábolas, y que empezó con este tweet de @JosePolLezcano:

Me parece que el enfoque más extendido en nuestro país lo que pretende es llegar a un listado de instrucciones del tipo: 1) encuentro el vértice, 2) puntos de corte con los ejes, etc.

De alguna manera, el cómo encontrar el vértice me parece menos importante que resaltar que la idea que subyace a esta forma de proceder es algo así como: que al menos sepan dibujar la parábola, aunque no hayan entendido nada. Y el argumento que ya he oído bastantes veces es “que aprendan a hacerlo ahora, ya lo entenderán más adelante”.

Bueno, estoy convencido de que este razonamiento está en la raíz de nuestro problema con la enseñanza de las matemáticas. Claro que algunos alumnos sí lo entienden más adelante. Hay gente que, a pesar de haber recibido una enseñanza “tradicional” consigue darle sentido a las cosas, atar cabos, y desarrollar interés por las matemáticas. Pero hay otros muchos alumnos que no consiguen entender casi nada, que se ven cada vez más obligados a reducirlo todo al aprendizaje memorístico, y que engrosan la legión del desinterés, el rechazo, y el fracaso con las matemáticas.

Una prueba evidente de que este enfoque no funciona es que cuando en una clase de 1º de Ingeniería de Telecomunicación(1) les pedía dibujar y = 1 - x^2, una parte significativa de los alumnos se encontraban con dificultades. No recordaban el procedimiento, ni nunca entendieron cómo dibujar parábolas “sencillas”.

Antes de exponer algunas líneas alternativas que me parecen más adecuadas, una aclaración preventiva. Por supuesto que soy consciente de que cambiar el enfoque en un aula es complicado, y que las dificultades pueden venir de muchas direcciones. Lo que necesitaríamos es que el sistema se moviera en esa dirección. Pero un requisito previo para ello sería que una clara mayoría de los profesores sean conscientes del problema, y a veces dudo de que esto sea así.

Para empezar, la actividad del blog de Don Steward que aparece en el tweet inicial me parece más interesante que empezar a dibujar parábolas con el “método general”. Después podríamos seguir tratando parábolas como y= (x-2)^2y= 1 - x^2, y= (x+1)^2-2, y= 2(x-3)^2+1

Llegados a este punto, el paso siguiente me parece claro: tratar el caso general agrupando cuadrados, y reduciéndolo a uno de estos.

Unos comentarios finales:

  1. Es verdad que si el objetivo de la unidad es que el alumno aprenda a dibujar el caso general, este enfoque necesita más tiempo, de eso no hay duda.
  2. El tratamiento que propongo aparece en los libros de texto. El problema, claro, es que no da tiempo a todo, y si hay que elegir, la inercia y esa tendencia a tratar el caso general hacen que casi siempre se opte por el enfoque “tradicional”.
  3. Creo que la alternativa a la que se enfrenta el docente en la realidad es: dispongo de N horas para el tema, y quiero que mis alumnos lleguen a hacer ciertas cosas en el examen de la semana que viene. Por mucho que nos diseñen el siguiente examen, por poco que podamos intervenir, muchas veces es suficiente reducir la complejidad técnica de los ejercicios, para que sean tratables sin los “métodos generales”.
  4. Si nos paramos a pensarlo, lo realmente importante no es qué van a saber hacer los alumnos en el examen siguiente, sino qué van a recordar un año después. Creo que si pensáramos esto más a menudo, muchas decisiones serían diferentes. Y sí, si en algún sitio hubiera dos grupos de alumnos A y B, similares, y en los que se pudieran hacer los dos tratamientos un curso dado, y ver un año después qué recuerda cada grupo de alumnos, me parece que tendríamos un estudio muy interesante.

Adenda: pocas horas después de publicar la entrada he visto los ejercicios de la prueba externa de 4º de la ESO de Madrid (¡gracias, @lolamenting!). Curiosamente, 2 de las 20 preguntas son sobre parábolas. Creo que merece la pena completar la entrada con ellas. Creo que sería muy interesante ver cómo las han contestado los alumnos.

parabola-1

parabola-2


(1) Sí, es verdad, Ingeniería de Telecomunicación ya no es lo que era, y en una universidad “normal”, como la de Alcalá, hay alumnos de todo tipo, la nota de entrada es 5, o poco más. Pero son alumnos que han cursado, al menos la inmensa mayoría, Matemáticas II.

¿En qué manos estamos/hemos estado?

Esta mañana he escuchado una muestra clara de anumerismo en boca de una persona que mandó mucho, y durante muchos años, en nuestro país. Han entrevistado a Felipe González, en la cadena ser, y hablando del desarrollo de Andalucía, ha repetido por dos veces el siguiente argumento: si una cantidad es mucho más pequeña que otra, aunque crezca más, no alcanzará a la mayor, porque la mayor crece sobre una base que ya es mucho mayor …

Lo siento, no puedo conceder el beneficio de la confusión, porque lo dice dos veces, de forma muy “didáctica”. Minutos 8’40” y 17’20” de este audio.

Ya sé que no tiene formación matemática pero, ¿nadie de los que tuvo alrededor todos los años en el gobierno le pudo explicar que si algo vale la mitad que otra cantidad, la pequeña crece el 2,5% anual, y la mayor crece el 1,5% anual, se igualan al cabo de (aproximadamente) 70 años?

 

Los matemáticos y los profesores de matemáticas

Esta mañana leí una entrada muy interesante, y muy valiente, en el blog de @lolamenting: Cuando la clase de mates la da un matemático. No voy a repetir sus argumentos, solo recomendar su lectura, subrayando una vez más que, como ya se dice en la entrada, no se puede generalizar, hay no matemáticos que son estupendos docentes de matemáticas, y matemáticos que no lo son. En particular, matemáticos que no consiguen bajar de un nivel de abstracción excesivo para la edad de sus alumnos.

A raíz de mi tweet sobre la entrada surgió un hilo que me parece interesante, en particular sobre el sistema de oposiciones.

No es fácil conseguir la información sobre los distintos sistemas de oposiciones que funcionan ahora en España. Quizá sea mucho pedir, pero creo que sería interesante que los lectores que conozcan alguno envíen esa información vía un comentario, especificando si la prueba de matemáticas tiene examen de problemas, si lo ha tenido durante estos últimos años, y una impresión de su nivel de dificultad.

La prueba que conozco algo es la de Madrid, ha tenido fase de problemas, excepto en un par de convocatorias en los 90. Los problemas me parecen excesivamente difíciles. Son un filtro, claro, lo que no está claro es que filtren del todo bien. Estoy convencido de que hay que examinar sobre conocimientos matemáticos, desde luego, pero habría que hacerlo con una prueba que realmente evaluara la comprensión de esos conocimientos. No es fácil hacerlo en una oposición, por eso me gusta tanto la prueba de Massachussets, que creo que consigue hacerlo con un examen tipo test. Aquí está el ejemplo que tienen de muestra en su página web para el nivel de profesor de High School, el equivalente a nuestros últimos 4 años de enseñanza preuniversitaria. Y aquí la página con la información general sobre el sistema de acreditación.

No es perfecto, claro, pero creo que evalúa bastante bien el conocimiento real de las matemáticas del nivel adecuado. Y no es el único examen, por supuesto que en la prueba hay que pasar otro tipo de test, y evaluar otro tipo de competencias.

Una nota final: esta prueba de acreditación la debe pasar cualquier persona que quiera dar clase en Massachussets en este nivel educativo, independientemente de la titularidad del centro. Lo mismo ocurre en Francia, como nos contó Irene Ferrando este pasado diciembre en este seminario. Cuando uno se para a pensarlo, resulta llamativo que en nuestro país se pueda dar clase y recibir un sueldo financiado con dinero público sin haber acreditado ante ninguna instancia pública que se tiene la formación adecuada. Claro que es todavía más llamativo que haya docentes dando formación religiosa financiada con fondos públicos. Está claro: Spain is different …

Prueba final de primaria de Singapur (II)

Aquí está la segunda parte:

  1. Sara compró 1,2 kg de uvas. ¿Cuánto le costaron?parte2-p1
  2. María pagó 945 € por una mesa y 4 sillas. El precio de cada silla era \frac{2}{7} del precio de la mesa. ¿Cuánto pagó María por la mesa?
  3. Rosa compró 150 naranjas y 100 manzanas para sus vecinos. Repartió las naranjas por igual y le sobraron 17 naranjas. También repartió por igual las manzanas, y le sobraron 5 manzanas. ¿Cuántos vecinos tiene Rosa?
  4. En la figura, ABCD es un cuadrado, EBFG es un rectángulo y \angle EBC = 252^{\circ}. Calcula \angle ABFparte2-p4
  5. Un jugador dispone de cuatro intentos en la primera ronda de una competición. La tabla muestra la puntuación que obtiene Pablo en los tres primeros intentos.
    parte2-p5Pablo se clasifica para la siguiente ronda si la puntuación media de tres de sus cuatro intentos es al menos 25. ¿Qué puntuación debe obtener Pablo en su cuarto intento para clasificarse?(En el resto de problemas se pide explícitamente que se muestre el razonamiento)
  6. En la figura, CDEF es un paralelogramo. AFC y BFE son líneas rectas y |BA|=|BC|. \angle ABF = 30^{\circ}\angle DEF = 54^{\circ}.
    (a) Calcula \angle EFC.
    (b) Calcula \angle FBC.parte2-p6
  7. Al principio Ben tenía 90 € y Sandra tenía 48 €. Cada uno compró una camisa del mismo precio. La cantidad de dinero que le quedó a Ben y a Sandra está en la razón 4 : 1. ¿Cuánto les costó cada camisa?
  8. Luis tiene un trozo de cuerda de longitud 13 w cm. Con una parte de la cuerda construye un triángulo cuyos lados miden w cm, 3 w cm y 20 cm.
    a) Expresa la longitud del resto de la cuerda en términos de w, de la forma más sencilla posible.
    b) Luis usó el resto de la cuerda para construir un rectángulo de 2 w cm de largo.  Si w = 6, ¿cuál es la anchura del rectángulo?
  9. En un concierto el 55 % de las entradas se vendieron al precio inicial y el 40% de las entradas se vendieron a mitad de precio. Sobraron 20 entradas, que se regalaron. En total, se recaudaron 7200 €. ¿Cuál fue el precio de venta inicial de las entradas?
  10. Una tienda ofrecía 80 impresoras con un descuento del 25% durante una semana de rebajas. El gráfico muestra la cantidad de impresoras que quedaban sin vender al final de cada día.parte2-p10a) ¿Qué día se vendieron más impresoras?
    b) ¿Qué porcentaje de las 80 impresoras se vendieron durante los tres primeros días de rebajas?
    c) Durante las rebajas, el precio de venta rebajado de cada impresora fue 120 €. Cuando terminaron las rebajas, el resto de las impresoras se vendieron al precio anterior, sin descuento. ¿Cuál fue la cantidad total del dinero obtenida de la venta de las 80 impresoras?
  11.  En un colegio, el 70% de los miembros de la orquesta y el 60% de los miembros del coro son niñas. La orquesta y el coro tienen el mismo número de niños. La orquesta tiene 20 niñas más que el coro. ¿Cuántos miembros tiene la orquesta?
  12. A las 11:50 Carla empezó a montar en bicicleta y se movía a 25 km/h. Fue desde su casa al parque, que estaba a 10 km. Estuvo en el parque 1 h 50 min.
    a) ¿A qué hora se fue del parque?
    b) Cuando se fue del parque, volvió a casa por el mismo camino y tardó 40 minutos. ¿Cuál fue la velocidad media de su viaje de regreso, , en km/h?
  13. La figura muestra un triángulo rectángulo.
    parte2-p13a) Calcula el área del triángulo.
    b) Daniel quiere cortar un triángulo como el de la figura de una pieza rectangular de cartón de 60 cm de largo y 100 cm de ancho. ¿Cuántos triángulos podrá cortar, como máximo?
  14. La figura muestra un camino de 2 m de ancho en un jardín rectangular de 28 m de largo. El borde del camino está formado por cuadrantes de circunferencia con centro W, semicircunferencias con centro en Z y líneas rectas. Sabemos que |WX|=|YZ|.

    a) ¿Cuál es la anchura del rectángulo del jardín?

    b) Calcula el área del camino. Toma \pi = 3.14.
    parte2-p14

  15. Yolanda rellenó dos tipos de botellas, grandes y pequeñas, con la bebida que preparó. Llenó 3 botellas grandes y 5 botellas pequeñas con 7.2 l de bebida.
    parte2-p15Con el refresco que le sobraba le faltaban 0.5 l para rellenar otra botella grande, pero sí pudo rellenar una botella pequeña, tras lo que le sobraron 0.3 l de bebida.

    a) ¿Cuál es la diferencia entre la capacidad de las botellas grandes y las botellas pequeñas?

    b) ¿Cuántos litros de refresco preparó Yolanda?

  16. Paula y Jaime compraron macetas que tenían los precios que se muestran en la figura.
    parte2-p16a) Paula compró el mismo número de macetas grandes que de macetas pequeñas, y se gastó 175 $ más en las macetas grandes. ¿Cuántas macetas compró en total?

    b) Jaime se gastó la misma cantidad de dinero en macetas grandes que en macetas pequeñas. ¿Qué fracción de las macetas que compró eran grandes?

  17. Ana, Bea y Coral son tres amigas que tienen el mismo número de monedas. Ana y Bea tienen cada una combinación de monedas de 50 céntimos y monedas de 10 céntimos. Ana tenía 9 monedas de 10 céntimos y Bea tenía 15 monedas de 10 céntimos. Coral tenía solo monedas de 50 céntimos.

    a) ¿Qué amiga tenía más dinero y qué amiga tenía menos dinero?

    b) ¿Cuál es la diferencia en valor total de las monedas que tienen Ana y Bea?

    c) Bea usó todas sus monedas de 50 céntimos para comprar comida. Después de eso tenía 10 € menos que Carla. ¿Cuántas monedas de 50 céntimos tenía Carla?

  18. Isabel usa palillos para hacer figuras que siguen un patrón. Las cuatro primeras se muestran a continuación.
    parte2-p18aa) En la tabla se muestra el número de palillos necesarios para hacer cada figura. Completa la tabla para la figura 5 y la figura 6.
    parte2-p18bb) ¿Cuál es la diferencia en el número de palillos necesarios para hacer la figura 9 y la figura 11?

    c) ¿Cuántos palillos necesitaría para hacer la figura 30?

Desde luego, da bastante que pensar … Recuerdo que el tiempo para esta parte es 1 h 40 min. Y ese esa es mi principal crítica. Me parece que la presión de tiempo en esta prueba es, vista desde aquí, enorme. Son 18 preguntas, varias de ellas auténticos problemas para ese nivel, algunas con varios apartados, y el tiempo es menos de 6 minutos por pregunta …

Sobre la diferencia de nivel con una prueba como esta de Cataluña, o ésta del INEE, mejor no hablar …

Aparte de la presencia de la geometría deductiva, de la que ya he hablado, un detalle que me parece muy interesante es la profundidad con la que tratan la aritmética, con problemas como el 15. Aquí son inimaginables antes de llegar al álgebra, y creo que es un error. Como ya he comentado alguna vez, me parece que tratar problemas como estos sin herramientas algebraicas es muy importante para profundizar en la comprensión de la aritmética, y para desarrollar estrategias de resolución de problemas.  La herramienta que aquí echamos de menos para resolver estos problemas es su famoso modelo de barras. Me parece que estas representaciones con barras de cantidades desconocidas son una buena estrategia para pasar después a representarlas con la x del álgebra, y para ayudar a entender que esa famosa x tiene un significado detrás.

Una prueba final de primaria de Singapur

El objetivo de esta entrada no es iniciar un debate sobre las pruebas externas, sino enseñar un ejemplo que he conseguido hace poco de una prueba final de Primaria de Singapur para mostrar qué matemáticas (y con qué nivel de profundidad) hacen en esa etapa educativa. Empecemos con la prueba, al final algunos breves comentarios.

Hoy voy a mostrar la primera parte de la prueba. Son 15 preguntas tipo test y otras 15 preguntas de respuesta corta. Espero que la calidad de las imágenes sea suficiente.

  1. Redondea 31 804 al millar más cercano.
    (a) 30 000       (b) 31 000     (c) 31 900     (d) 32 000
  2. La figura tiene 6 ángulos. ¿Cuántos son mayores que un ángulo recto?parte1-p2
  3. En la figura PQ y RS son rectas. ¿Cuál de las afirmaciones es cierta?
  4. parte1-p3Calcula el valor de 2g-4+2g si g=6.
    (a) 18     (b) 38     (c) 46     (d) 62
  5. Un ortoedro de altura 10 cm tiene una base cuadrada de lado 3 cm. ¿Cuál es su volumen?
  6. parte1-p5¿Cuál dirías que es el peso total aproximado de 8 monedas de 1 euro?
    parte1-p6
  7. ¿Cuál de los siguientes es el desarrollo de un cubo? (aquí, una pequeña imagen de un cubo)
    parte1-p7
  8. Tai estuvo en el colegio desde las 7 am hasta las 4 pm. ¿Cuántas horas estuvo en el colegio?
    (a) 7     (b) 9     (c) 10     (d) 11
  9. La figura muestra la posición de una bandera en el campo ABCD. ¿Qué vértice del campo está al sureste de la bandera?
    parte1-p9
    Usa esta información para las preguntas 10 y 11. El diagrama muestra los diferentes tipos de bocadillos en un mostrador. 1/5 de los bocadillos son de atún y ¼ de los bocadillos son de queso o de huevo. Había 3 veces más bocadillos de queso que de huevo.
    parte1-p10
  10. ¿Qué fracción de los bocadillos son de pollo?
    (a)  \frac{1}{2}     (b)  \frac{3}{4}     (c)  \frac{9}{20}     (d)  \frac{11}{20}
  11. ¿Qué fracción de los bocadillos son de huevo?
    (a)  \frac{1}{12}     (b)  \frac{1}{16}     (c)  \frac{1}{3}     (d)  \frac{1}{4}
  12. Ordena estas distancias de menor a mayor:
    parte1-p12
  13. La figura 1 es un trapecio de perímetro 36 cm. La figura 2 está formada por 4 de esos trapecios. El perímetro de la figura 2 es 96 cm.
    parte1-p13¿Cuánto mide el lado AB del trapecio?
    (a) 15 cm     (b) 12 cm     (c) 3 cm     (d) 6 cm
  14. Al dividir un número entre 30 el resto es 8. ¿Cuánto hay que sumarle al número para que sea múltiplo de 6?
    (a) 6       (b) 2       (c) 5        (d) 4
  15. Ling y Juni hicieron tarjetas durante dos días. El sábado Ling hizo 19 tarjetas más que Juni. El domingo, Ling hizo 20 tarjetas, y Juni hizo 15. Al acabar los dos días, Ling hizo 3/5 del total de las arjetas. ¿Cuántas tarjetas hizo Juni?
    (a) 24       (b) 26       (c) 48        (d) 78
  16. Calcula 8020 \div 5.
  17. Calcula la media de 9 y 14.
  18. En la figura ABC es una línea recta. Calcula \angle k.
    parte1-p18
  19. La figura está formada por 3 cuadrados. Uno de los cuadrados está dividido en 4 triángulos iguales. ¿Qué fracción de la figura está sombreada?
    parte1-p19Usa la siguiente figura para las preguntas 20 y 21. La figura muestra un mapa con 5 calles.
    parte1-p20
  20. Nombra dos calles que sean paralelas.
  21. Nombra dos calles que sean perpendiculares.
  22. ¿Cuál será el precio del reloj después de añadirle el 7% de IVA?
    parte1-p22
  23. ¿Cuánta agua (en ml) hay en el vaso?
    parte1-p23
    Usa la siguiente figura para las preguntas 24 y 25. Hemos dibujado un semicírculo.
    parte1-p24
  24. Mide y escribe la longitud del radio.
  25. Elige un punto C dentro del recuadro y dibuja dos segmentos AC y BC para formar un triángulo ABC tal que |AB| = |AC|.
  26. El siguiente diagrama de barras muestra el número de hijos en las familias de un bloque de apartamentos. 1/3 de las familias tienen 1 hijo. Dibuja la barra que muestra esas familias en el diagrama.
    parte1-p26
  27. La siguiente tabla muestra el precio de unos trabajos de limpieza.
    3 primeras horas: 80 €
    Cada hora adicional: 20 €.
    La Sra Menon pagó a la empresa 200 €. ¿Cuántas horas duró la limpieza?
  28. Sam dibujó estas figuras. A es una circunferencia, B un triángulo equilátero, C un  paralelogramo, D un rombo y E un trapecio.
    parte1-p28
    Nombra las figuras que tienen al menos una recta de simetría.
  29. Una bolsa contiene pajitas de tres colores distintos. 1/4 de las pajitas son azules. La razón del número de pajitas rojas y el número de verdes es 2:3. ¿Cuál es la razón del número de pajitas azules y el número de pajitas verdes?
  30. Meng quiere construir una escalera  con cubos de 1 cm.
    parte1-p30Las figuras muestran la construcción de 2 cm, luego 3 cm y luego 4 cm.Si continúa de esta forma, ¿cuál será la altura de la escalera formada por 140 cubos?

Como decía al principio, esto es solo la primera parte. La prueba tiene una segunda parte, que dura el doble, que se puede describir como “de problemas” y en la que se puede usar calculadora. En esta imagen está la descripción global de la prueba. instrucciones

Espero publicar pronto una segunda parte de esta entrada con esos problemas. De momento, aquí está el pdf para los lectores impacientes.

Unos primeros comentarios:

  1. Reitero que no se trata de debatir sobre la idea de las pruebas externas, ni mucho menos sobre la conveniencia de seleccionar estudiantes al final de primaria, como hacen en Singapur.
  2. Sobre el fondo de la prueba, me gusta lo que transmite de cuáles son las matemáticas importantes en primaria. Está claro que el nivel en varios temas es completamente distinto al que vemos por aquí. La gran pregunta es hasta dónde se puede llegar usando mejor todo el tiempo que en España usamos para hacer largas divisiones (y otros temas, importantes, pero que en Singapur consideran poco apropiados para Primaria, como divisibilidad -mcm y mcd-, y potencias).
  3. La extensión de la prueba también es sorprendente, desde luego. 30 preguntas en 50 minutos es correr mucho. Es verdad que hay preguntas cortas, pero hay otras que requieren reflexión. Supongo que esto refleja lo que seguro que nos parece a la mayoría excesiva inclinación por los exámenes que tienen allí.
  4. Pero yendo al fondo, creo que la prueba es equilibrada y bien diseñada. Dejando al margen los temas ya mencionados, creo que dedicar tiempo a preparar una prueba como esta (el famoso “teach to the test”) no es tan malo.