La sorprendente aritmética elemental

Alguna vez he escrito sobre la importancia de presentar alguna demostración a los alumnos ya en la ESO, lo importante que es que lo que se quiere demostrar no sea “evidente” y lo complicado que es que al mismo tiempo la demostración sea suficientemente sencilla. Fuera de la geometría, no hay tantos ejemplos, y quiero compartir uno que he visto hoy a cuenta del número 24, desde @desmatematicos2 (vía @tocamates). La propiedad dice: si p es un número primo mayor que 3, entonces p^2 - 1 es múltiplo de 24. ¿No resulta realmente sorprendente? Pero de la sorpresa pasé a la maravilla cuando me di cuenta de lo sencillo que es demostrarlo, basta con escribir p^2 - 1 = (p+1)(p-1) y analizar los divisores de los factores.

Ya sé que es muy posible que a la gran mayoría de un aula estándar de 2º-3º de ESO le resulte indiferente, pero apostaría a que si nos acostumbráramos a dedicarle algún rato perdido a cosas de este estilo habría algún alumno en el que podríamos despertar algo parecido a la curiosidad por las matemáticas. No todo son matemáticas realistas y aplicaciones, la simple belleza también juega su papel.

Las calculadoras “modernas”

El otro día me llegó (vía @tocamates) un tuit de @JosePolLezcano que enlazaba una calculadora que imita la aritmética del lápiz y papel: y (un ejemplo, en la imagen). Además de suma, resta, multiplicación y división, tiene también el algoritmo de la raíz cuadrada, y la factorización (con la rayita y todo).

calculadora-Alicia

No me pude resistir al impulso de contestar que no me parecía buena idea, y a continuación tuvimos un breve e interesante debate, que concluyó con mi compromiso de escribir una entrada sobre el tema. Aquí está.

Se trata de reflexionar sobre el tipo de calculadora; sobre el tema de los algoritmos tradicionales de la aritmética ya he escrito, por ejemplo aquí. Supongamos por tanto que hemos decidido que el alumno debe aprender a hacer divisiones como la del ejemplo (o un poco mas cortas, este detalle no me parece relevante para esta discusión). Desde mi punto de vista, la pregunta clave es: ¿ayuda una calculadora como esta en el aprendizaje (es decir, en la mecanización) del algoritmo? Me parece que no: desde luego, lo más cómodo para el alumno, y para el profesor, es una calculadora que diga que donde puse un 7 debería haber un 8, pero no me parece que eso aporte nada al aprendizaje (ni siquiera al de la rutina). Puestos a corregir la división con ayuda de una calculadora (lo que no me parece mala idea), creo que sería mucho más adecuado aprovechar esta situación para mostrar al alumno que lo que está haciendo en el primer paso es dividir 869 entre 325, que el cociente es 2 y el resto 219. La inmensa mayoría de los alumnos no son conscientes de esto, ¡nadie se lo dice!

Por supuesto que la calculadora “moderna” es más cómoda, pero debería estar claro que lo más cómodo no siempre es lo más formativo …

¿”veces” o “multiplicado por”?

Desde que escribí esta entrada sobre la multiplicación me quedé con la intriga de por qué en muchos países de habla inglesa 3\times 4 se lee “three times four” y sin embargo la forma más extendida de las tablas de multiplicar parece ser esta.

Hace unos días, de visita en un colegio, tuve la ocasión de participar en una conversación bastante curiosa sobre el tema. El colegio imparte matemáticas en inglés, y tienen un encargado de las matemáticas de primaria británico. Nos estábamos entendiendo perfectamente, la visión que tenemos de en qué deben consistir las matemáticas de primaria es bastante coincidente. Le estaba mostrando algunos ejemplos de mi libro de 1º, y sus comentarios eran positivos. Sin embargo, al llegar a la página de la figura cambió su gesto, y musitó un inconfundible “I don’t like that“. Así que nos enredamos en un animado debate sobre cómo escribir “three times four” o, equivalentemente, cómo interpretar 3 \times 4.

times-multiplied-by

Resulta que a pesar de leer la expresión 3 \times 4 como “three times four”, la interpretaba como 3 + 3 + 3 + 3, es decir, igual que leyendo “tres multiplicado por cuatro” y con el cuatro, por tanto, de multiplicador. Cuando le pregunté por el tema, y si no era cierto que “three times four” tiene en inglés un significado muy claro, su respuesta fue que sí, pero que en matemáticas se interpretaba de la otra forma.

Creo que no se ha estudiado lo suficiente este tema, y el hecho de que “3 veces 4” sea igual a “4 veces 3” no quiere decir que una interpretación diferente a la del lenguaje usual no cause problemas. O que, ya en nuestro país, el “3 por 4”, que no tiene significado para el niño que empieza el estudio de la multiplicación, sea el enfoque mas conveniente.

Estoy convencido de que el uso de “veces” tiene muchas ventajas. Además de lo obvio, que “3 veces 4” tiene, de entrada, un significado claro sobre el que se puede trabajar, dos ejemplos muy concretos sobre dificultades relacionadas con el “multiplicado por”:

  1.  el “doble de 6” es, evidentemente, 6 + 6. En los libros se introduce como 2 \times 6. Ningún problema si esto lo leemos como “2 veces 6”. Pero nada encaja si esto lo hemos introducido como “2 multiplicado por 6”, que debería ser 2+2+2+2+2+2.
  2. cuando llegan las fracciones, uno de los puntos fundamentales es dar sentido a la expresión 3/4 \times 20, interpretándola como “3/4 de 20”. Para ello, muchos libros recurren a un apartado donde presentan “la fracción como operador”. Sin embargo, el papel del 3/4 en esta expresión es exactamente el mismo que el del 2 en el apartado anterior. Pensemos en lo natural que sería pasar de “dos veces seis”, escrito como 2 \times 6 a “media vez seis”, escrito como 1/2 \times 6.

Las tareas rutinarias, Polya dixit …

Una minientrada de vuelta a la actividad. Una de las tareas que me han tenido colapsado este mes de junio ha sido los trabajos fin de grado y máster. Ahora mismo empiezo a leer el último trabajo fin de máster, y comienza con una cita de Polya que conocía, pero que tenía olvidada. Me parece de total actualidad:

Un profesor de matemáticas tiene una gran oportunidad. Si dedica su tiempo a ejercitar a los alumnos en operaciones rutinarias, matará en  ellos el interés, impedirá su desarrollo intelectual y acabará desaprovechando su oportunidad. Pero si, por el contrario, pone a prueba la curiosidad de sus alumnos planteándoles problemas adecuados a sus conocimientos, y les ayuda a resolverlos por medio de preguntas estimulantes, podrá despertarles el gusto por el pensamiento independiente y proporcionarles ciertos recursos para ello.

George Polya (1945)

Dos rápidos comentarios:

  1. Nos hace mucha falta pensar en ello, no lo estamos haciendo bien: “el 90% de la población no sabe pensar“.
  2. Por supuesto que no es fácil cambiar la actitud de los alumnos, lo sé de sobras.