La sorprendente aritmética elemental

Alguna vez he escrito sobre la importancia de presentar alguna demostración a los alumnos ya en la ESO, lo importante que es que lo que se quiere demostrar no sea “evidente” y lo complicado que es que al mismo tiempo la demostración sea suficientemente sencilla. Fuera de la geometría, no hay tantos ejemplos, y quiero compartir uno que he visto hoy a cuenta del número 24, desde @desmatematicos2 (vía @tocamates). La propiedad dice: si p es un número primo mayor que 3, entonces p^2 - 1 es múltiplo de 24. ¿No resulta realmente sorprendente? Pero de la sorpresa pasé a la maravilla cuando me di cuenta de lo sencillo que es demostrarlo, basta con escribir p^2 - 1 = (p+1)(p-1) y analizar los divisores de los factores.

Ya sé que es muy posible que a la gran mayoría de un aula estándar de 2º-3º de ESO le resulte indiferente, pero apostaría a que si nos acostumbráramos a dedicarle algún rato perdido a cosas de este estilo habría algún alumno en el que podríamos despertar algo parecido a la curiosidad por las matemáticas. No todo son matemáticas realistas y aplicaciones, la simple belleza también juega su papel.

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10 pensamientos en “La sorprendente aritmética elemental

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  2. Hola Pedro (y al resto claro) Aqui hay una sesión en la que suelo disfrutar muchísimo con los alumnos incluso con los de 1º de la ESO)
    Como las nuevas calculadoras incluyen la escritura periódica, como DEMOSTRAR que cero como nueve periodo y uno son el mismo número?
    Creo que es un bonito e interesante ejercicio que deberíamos realizar con los alumnos
    NaCl U2 Yo!

    • Cierto, Goyo: excelente ejercicio. Yo también lo planteo en magisterio, y también me lo paso muy bien (y creo que a una parte de los alumnos les engancha). Pero hay un matiz: los “argumentos convincentes” tienen su papel en el aprendizaje. Es más, yo diría que son fundamentales. Pero una demostración es otra cosa. Creo que sí se puede demostrar la propiedad enunciada en la entrada, pero no veo claro que se pueda ilustrar el qué es una demostración con esta propiedad que mencionas. En cuanto aparece el infinito, las cosas se ponen mucho más resbaladizas …

  3. Muy interesante, Pedro. Encontrar resultados con este tipo de demostraciones no es fácil, voy a intentar hacer una lista para usar en clase. Este lo pondré este año en 3º seguro 🙂

  4. Acabo de hacer una pequeña recopilación de cosas que recuerdo haber tratado en clase. Sería fantástico fabricar una lista más completa:

    -Que el cuadrado de un par es par y al revés.
    -Que raíz de 2 es irracional.
    -Las diagonales de un rombo son perpendiculares.
    -Que hay infinitos primos.
    -Teorema de Pitágoras.
    -Que 6^n acaba en 6.
    -Que a partir del arco de una circunferencia podemos hallar el centro de esta.

    • Me parece una buena idea, y acabo de ver tu entrada al respecto. Pero mi lista de tareas antes del nuevo curso ya es demasiado larga … A lo que sí me comprometo es a ir haciendo esa lista cada vez que me encuentre una durante el curso, creo que tengo varias más. Y tener mi contribución lista para el final (que en mi caso es finales de noviembre para el caso de la aritmética).

      • Hola a todos. Me parece fantástico, Lola, que hagas ese tipo de cosas en 3° de la ESO. Cuando hablo de esto con mis colegas consideran que son cosas demasiado difíciles o que es salirse del programa, lo que lleva también a los alumnos a preguntar lo de si esto entra en examen, etc. A mí también me parece importantísimo que aprendan a apreciar la belleza de las matemáticas y a disfrutar de ellas, pero he observado que suelen quedarse muy sorprendidos cuando les pregunto si esto o lo otro no les parece “bonito”. Yo creo que para los que somos matemáticos es algo obvio, pero me temo que para muchos profesores por desgracia es mero frikismo.
        Por cierto, ¿sigue en pie lo de aquella lista de problemas interesantes que se iban a poner en pro común?

  5. La comunidad en procomún fue creada hace más de 4 meses:
    https://procomun.educalab.es/es/comunidades/mas-problemas-menos-cuentas
    Gracias por mencionarla, yo la había olvidado por completo…
    Sobre las demostraciones en España, lo más parecido que se ve en el curriculum deben de ser las identidades trigonométricas. Es curioso ver que en los USA sucede algo semejante, pero con las “two-column proofs” de geometría sintética (hay que recordar que su sistema de cursos es totalmente distinto al nuestro):
    http://www.withoutgeometry.com/2013/11/proof-doesnt-begin-with-geometry.html y su continuación en http://www.withoutgeometry.com/2013/11/proof-doesnt-begin-with-geometry-life.html, http://mathwithbaddrawings.com/2013/10/16/two-column-proofs-that-two-column-proofs-are-terrible/

    • Sobre la comunidad en Procomún: en efecto, existe, aunque me temo que no hemos conseguido darle actividad. Y no puedo comprometerme a que esto cambie, empiezo a estar en demasiados frentes …
      Y sobre las demostraciones: muy de acuerdo con los dos enlaces que has puesto, JJ. No soy ningún fan de las “two column proofs”, me parece que priman el formalismo sobre el argumento. Y me parece fundamental adaptar el nivel de formalismo, o de lenguaje matemático, al nivel de los alumnos. Haber abusado de ello puede ser una de las causas de la situación actual.
      Y por eso me gusta tanto el ejemplo de los múltiplos de 24: se puede hacer una demostración, en la que hay que razonar “de verdad”, sin ningún tipo de formalismo ni maquinaria.

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