Los algoritmos tradicionales – La división

El propósito de esta entrada es continuar con la reflexión del comentario de David Barba a mi entrada anterior. Creo que han quedado planteados varios temas muy interesantes. Decía David en su comentario:

¿cuál és el algoritmo estándar el que hacemos en nuestro país, o el que incorpora las restas parciales escritas en el papel como en la mayoría de países del mundo y que és mucho más transparente (por menos comprimido) que “el nuesto”?

Coincido plenamente. Entre esos dos algoritmos, el “extendido” me parece mucho mejor. Supongo que está claro de qué estamos hablando. Por si acaso, he puesto un ejemplo en la figura. En la razón de la preferencia, también coincidencia total: al ser más explícito, es más fácil entender qué se está haciendo, y no olvidarlo con el tiempo.

algoritmos-division

Creo que merece la pena añadir varios comentarios:

  • no conozco estudios al respecto, pero mi impresión es que el “usual” sigue siendo el de uso generalizado. Ya tengo en la agenda el tema para las próximas prácticas. Si consigo que 100 alumnos se interesen por el algoritmo de la división que se usa en el colegio al que van de prácticas, creo que la muestra empezará a tener algún valor. De momento, sólo comentarios parciales. En la mayoría de los casos, ni se contempla la posibilidad del extendido. Simplemente, siempre se ha usado el otro. En algún caso, aún reconociendo que el algoritmo extendido era más adecuado para empezar, la maestra me comentó que había dejado de empezar con él, porque luego a los chicos les costaba pasar al otro.
  • las anécdotas tienen el valor que tienen, pero esta me parece significativa: hace unos años, mi hija mayor llegó a casa diciendo: “papá, no he entendido lo que hemos hecho hoy en el cole”, y allí tenía, delante de mí, una división con divisor de 2 cifras. Por supuesto, no recordaba cómo se hacían, y también por supuesto no podía permitirme decírselo a mi hija de 8-9 años. A esa edad, que un padre matemático confiese tal cosa no habría sido muy indicado … Total, que me lancé a intentar dividir, y lo que me salió fue exactamente el algoritmo extendido. La división estaba bien, y mientras respiraba con alivio, escuché: “No, en el cole no lo hacemos así”. Y bueno, tras empezar a escuchar qué tipo de cosas hacían en el cole, se activó la conexión neuronal correspondiente, y recordé el algoritmo “usual”. No creo haber estudiado en mi EGB ese algoritmo extendido. Creo que fue lo que me salió simplemente porque es lo natural. Este fue uno de mis momentos ¡ajá! sobre educación matemática, y fue quizá donde empecé a descubrir la importancia de que los algoritmos sean “transparentes”, como dice David. Personalmente, a mi me gusta el término “significativos”, porque creo que concuerda muy bien con el significado de este término en teoría del aprendizaje.
  • como dice David, el algoritmo extendido es el usado en la mayoría de los países, con excepción quizá de algunos hispanoamericanos. Estaría encantado de recibir información de nuestros lectores hispanoamericanos. Creo que la pregunta surge de forma natural: ¿por qué, en esto también, Spain is different? Me parece una pregunta muy interesante. Hace unos años leí que en otros países el algoritmo de la división (el extendido) no podía dar el paso necesario para coincidir con el nuestro, por culpa del algoritmo de la resta; es verdad que si en el algoritmo de la resta las llevadas se hacen en el minuendo (lo cual es, por otra parte, lo natural), es más complicado pasar al algoritmo “comprimido” de la división. Pero claro, esto no hace más que cambiar la pregunta: ¿por qué el algoritmo de la resta que usamos en España es diferente al utilizado en la mayoría de los países? Mi hipótesis es que la flecha va justo en sentido contrario: precisamente para poder comprimir el algoritmo de la división, nuestro algoritmo de la resta tradicional toma nota de las llevadas en el sustraendo. Como digo, es sólo una hipótesis. Si algún lector conoce alguna investigación en “historia de la educación matemática” que trate este problema, estaría encantado de leer sobre el tema.

Tenía claro que el comentario de David tenía que contestarlo en una entrda, pero parece que van a ser dos. El tema que planteaba sobre cómo construir los algoritmos lo trataré en la próxima entrada, me parece clave. Termino hoy con su última observación:

¡Será porque escuelas que quieren tener prestigio de “buenas” adelantan los contenidos en matemáticas un curso y esto marca línea?

Totalmente de acuerdo, creo que ese es el origen de la mayoría de los problemas. Nos gustan las apariencias. Ya comenté en la entrada sobre la educación infantil ese fenómeno: los colegios que, para darse nivel, adelantan la suma (el algoritmo tradicional, la suma en columnas) al final del ciclo de infantil. En general, el sistema presiona en dirección a la cantidad, no a la calidad. Pensemos en dos niños que vienen del colegio: uno con 30 cuentas y 10 fichas, y otro que nos dice que estuvieron casi toda la clase pensando. ¿Cómo reaccionaríamos?

Los algoritmos tradicionales de la aritmética

No es mi intención convertir este blog en un foro de anuncios, pero esta ocasión es singular: la semana del 8 al 12 de julio, en la Universidad de Alcalá, tenemos la 2ª edición del curso de verano del que este blog tomó el nombre: Matemáticas de primaria: + ideas, – cuentas. Se puede encontrar más información en este enlace. El anuncio no está especialmente bien organizado. Los cursos están organizados por código: el 48.01.

Y ya puestos a anunciar, he añadido en la zona de la derecha un enlace a un buzón de sugerencias.

Mi propósito en esta entrada es continuar con la reflexión sobre el papel de los algoritmos tradicionales de la aritmética en la enseñanza de las matemáticas elementales, un tema que ya empecé a tratar en esta entrada. Dando por sentado que no tiene mucho sentido el estudio mecánico de los algoritmos tradicionales y su aprendizaje rutinario, quiero reflexionar hoy sobre posibles alternativas. Una “corriente” sostiene que lo que hay que hacer es explicar los algoritmos tradicionales, pero de manera que se entiendan: para las sumas y restas en columnas se trabaja el tema de las llevadas, después se explica porqué funciona el algoritmo tradicional de la multiplicación, y finalmente la división. Ron Aharoni, en su libro “Aritmética para madres y padres”, del que ya he hablado en este blog, da una razón digna de tener en cuenta: debemos confiar en la sabiduría de las generaciones que nos han precedido. Los algoritmos tradicionales de la aritmética han sido depurados a lo largo de cientos de años, y por tanto, no deben estar tan mal … Creo que este argumento pasa por alto un detalle muy importante: el diseño de un algoritmo debe tener en cuenta el fin para el que se está diseñando. Los algoritmos tradicionales de la aritmética se desarrollaron con un objetivo muy concreto: poder calcular de forma eficiente y fiable con números grandes. Por supuesto, esto tuvo perfecto sentido: durante cientos de años, ese conocimiento del cálculo era de una indudable utilidad en la vida cotidiana, y en muchos casos una competencia profesional altamente valorada. También por supuesto, hace ya años que estas dos cosas han dejado de ser ciertas …

¿Cuáles deberían ser los requerimientos de un buen algoritmo de aritmética elemental en el siglo XXI? Desde mi punto de vista, estos dos:

  1. que haga posible el cálculo rápido con números “no grandes”.
  2. que ayude a desarrollar el sentido numérico.

Creo que el punto 1 es irrenunciable: todos los niños deberían terminar la educación primaria calculando con soltura el resultado de operaciones como 37 + 48, 17 \times 12 ó 88 : 7. Y deberían hacerlo, además, con la suficiente fluidez para que no les mereciera la pena alargar el brazo y recurrir a su teléfono móvil o a su calculadora.

El punto 2 también me parece esencial: entender la notación posicional, comparar órdenes de magnitud, estimar resultados de operaciones, en definitiva, desarrollar lo que se suele conocer como sentido numérico, debería ser otro ingrediente esencial de la formación matemática elemental.

Seguramente hasta este punto el acuerdo es bastante general, pero entonces llegamos a la pregunta clave: los algoritmos tradicionales, ¿cumplen estos requerimientos? Desde mi punto de vista, claramente no. No se diseñaron pensando en el punto 1: para este tipo de operaciones, las estrategias del cálculo mental son muy superiores. Y tampoco me parecen adecuados para el punto 2. Es verdad que, como dice Aharoni, si un alumno entiende el algoritmo de la “división larga” (la división con divisor de dos o más cifras) entonces ha comprendido realmente la notación posicional y el sistema numérico. Pero, ¿qué precio estaríamos pagando por ello? Por un lado, esa tarea requiere de mucho tiempo, que podría haberse dedicado a otros temas. Por otro lado, creo que durante el proceso habríamos perdido a un número considerable de alumnos. Es posible que los algoritmos tradicionales, debidamente explicados, sí pueden cubrir el punto 2, pero no se diseñaron para ello y creo que hay alternativas mucho mejores.

¿Y cuál sería la mejor alternativa? Bueno, no tengo todavía una respuesta clara a esta pregunta. Sigo leyendo y pensando sobre el tema, y me parece que debería ser una de las preguntas cruciales de la didáctica de las matemáticas en la actualidad. Veo esencialmente dos alternativas:

  1. presentar unos algoritmos distintos, que cumplan estos requerimientos. Los algoritmos ABN, por ejemplo, pueden ser un buen punto de partida.
  2. recurrir a estrategias del tipo del cálculo mental, que en general cada alumno va descubriendo, lo que no excluye por supuesto que haya una fase de refinamiento y puesta en común.

Una crítica común a la opción 2 es que los cálculos a los que se llegaría serían muy limitados. Bueno, habría que ver de qué son capaces unos chicos que le dedicaran tiempo, durante toda la primaria, a este tipo de estrategias, creo que nos sorprenderían. En cualquier caso, un alumno que terminara 6º de primaria haciendo de cabeza y con facilidad operaciones como las mencionadas anteriormente (37 + 48,   17 \times 12 ó 88 : 7), y que tuviera que recurrir a la calculadora para operaciones más complicadas, estaría en mucha mejor situación que los alumnos que creo que todos vemos en la ESO, que recurren a la calculadora para operaciones como  17 \times 1/2.