Los algoritmos tradicionales – La división

El propósito de esta entrada es continuar con la reflexión del comentario de David Barba a mi entrada anterior. Creo que han quedado planteados varios temas muy interesantes. Decía David en su comentario:

¿cuál és el algoritmo estándar el que hacemos en nuestro país, o el que incorpora las restas parciales escritas en el papel como en la mayoría de países del mundo y que és mucho más transparente (por menos comprimido) que “el nuesto”?

Coincido plenamente. Entre esos dos algoritmos, el “extendido” me parece mucho mejor. Supongo que está claro de qué estamos hablando. Por si acaso, he puesto un ejemplo en la figura. En la razón de la preferencia, también coincidencia total: al ser más explícito, es más fácil entender qué se está haciendo, y no olvidarlo con el tiempo.

algoritmos-division

Creo que merece la pena añadir varios comentarios:

  • no conozco estudios al respecto, pero mi impresión es que el “usual” sigue siendo el de uso generalizado. Ya tengo en la agenda el tema para las próximas prácticas. Si consigo que 100 alumnos se interesen por el algoritmo de la división que se usa en el colegio al que van de prácticas, creo que la muestra empezará a tener algún valor. De momento, sólo comentarios parciales. En la mayoría de los casos, ni se contempla la posibilidad del extendido. Simplemente, siempre se ha usado el otro. En algún caso, aún reconociendo que el algoritmo extendido era más adecuado para empezar, la maestra me comentó que había dejado de empezar con él, porque luego a los chicos les costaba pasar al otro.
  • las anécdotas tienen el valor que tienen, pero esta me parece significativa: hace unos años, mi hija mayor llegó a casa diciendo: “papá, no he entendido lo que hemos hecho hoy en el cole”, y allí tenía, delante de mí, una división con divisor de 2 cifras. Por supuesto, no recordaba cómo se hacían, y también por supuesto no podía permitirme decírselo a mi hija de 8-9 años. A esa edad, que un padre matemático confiese tal cosa no habría sido muy indicado … Total, que me lancé a intentar dividir, y lo que me salió fue exactamente el algoritmo extendido. La división estaba bien, y mientras respiraba con alivio, escuché: “No, en el cole no lo hacemos así”. Y bueno, tras empezar a escuchar qué tipo de cosas hacían en el cole, se activó la conexión neuronal correspondiente, y recordé el algoritmo “usual”. No creo haber estudiado en mi EGB ese algoritmo extendido. Creo que fue lo que me salió simplemente porque es lo natural. Este fue uno de mis momentos ¡ajá! sobre educación matemática, y fue quizá donde empecé a descubrir la importancia de que los algoritmos sean “transparentes”, como dice David. Personalmente, a mi me gusta el término “significativos”, porque creo que concuerda muy bien con el significado de este término en teoría del aprendizaje.
  • como dice David, el algoritmo extendido es el usado en la mayoría de los países, con excepción quizá de algunos hispanoamericanos. Estaría encantado de recibir información de nuestros lectores hispanoamericanos. Creo que la pregunta surge de forma natural: ¿por qué, en esto también, Spain is different? Me parece una pregunta muy interesante. Hace unos años leí que en otros países el algoritmo de la división (el extendido) no podía dar el paso necesario para coincidir con el nuestro, por culpa del algoritmo de la resta; es verdad que si en el algoritmo de la resta las llevadas se hacen en el minuendo (lo cual es, por otra parte, lo natural), es más complicado pasar al algoritmo “comprimido” de la división. Pero claro, esto no hace más que cambiar la pregunta: ¿por qué el algoritmo de la resta que usamos en España es diferente al utilizado en la mayoría de los países? Mi hipótesis es que la flecha va justo en sentido contrario: precisamente para poder comprimir el algoritmo de la división, nuestro algoritmo de la resta tradicional toma nota de las llevadas en el sustraendo. Como digo, es sólo una hipótesis. Si algún lector conoce alguna investigación en “historia de la educación matemática” que trate este problema, estaría encantado de leer sobre el tema.

Tenía claro que el comentario de David tenía que contestarlo en una entrda, pero parece que van a ser dos. El tema que planteaba sobre cómo construir los algoritmos lo trataré en la próxima entrada, me parece clave. Termino hoy con su última observación:

¡Será porque escuelas que quieren tener prestigio de “buenas” adelantan los contenidos en matemáticas un curso y esto marca línea?

Totalmente de acuerdo, creo que ese es el origen de la mayoría de los problemas. Nos gustan las apariencias. Ya comenté en la entrada sobre la educación infantil ese fenómeno: los colegios que, para darse nivel, adelantan la suma (el algoritmo tradicional, la suma en columnas) al final del ciclo de infantil. En general, el sistema presiona en dirección a la cantidad, no a la calidad. Pensemos en dos niños que vienen del colegio: uno con 30 cuentas y 10 fichas, y otro que nos dice que estuvieron casi toda la clase pensando. ¿Cómo reaccionaríamos?

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14 pensamientos en “Los algoritmos tradicionales – La división

  1. Como anécdota, en mis tiempos de EGB dábamos el método extendido. Pero hoy en día, cuando en 3º de la ESO (o 4º, depende) introduces la división de polinomios e intentas hacer ver que el algoritmo es esencialmente el mismo (en realidad más sencillo gracias a que nunca “se lleva” en la resta), en primer lugar tienes que mostrarles qué están haciendo en el método “usual”. Así que supongo que el método “usual” debe de ser generalizado, lo que no sé es desde qué momento comenzó a serlo.
    Sobre la transparencia de los algoritmos.. mi voto va hacia el algoritmo de la raíz cuadrada (con mención especial a la Regla de Ruffini). ¿Es cierto que en tiempos de la ley Moyano también se hacían raíces cúbicas mediante el algoritmo análogo?

    • Completamente de acuerdo: la división de polinomios es otra razón en favor de la versión extendida para la división de enteros. De hecho, es un argumento que he visto en otros países para defender la permanencia del algoritmo de la división en primaria.

      Quiero pensar que el algoritmo de la raíz cuadrada está desapareciendo. Y sobre Ruffini, completamente de acuerdo. Cuando daba clases en primer curso de ingeniería, detectaba bastante confusión alrededor de los temas dividir polinomios, factorizar, calcular raíces. Desde mi punto de vista, Ruffini es en buena parte responsable de esa falta de claridad conceptual. Muchos alumnos no se quedan con la idea de que están dividiendo polinomios. Y no nos puede extrañar, es realmente esotérico!
      Y sobre la raíz cúbica: no conozco los detalles, pero sí me han contado, digamos gente que estudio antes del plan de la EGB (digamos que llegaron a la universidad alrededor de 1975) que vieron el algoritmo de la raíz cúbica.
      Muchas gracias por el comentario. Interesante, como siempre.

      • Un algoritmo para calcular la raiz cuadrada – y que tambien se puede emplear para raices cubicas etc – es el de busquedas en conjuntos ordenados y se basa en que si z > y entonces
        z x z > y x y .
        Para calcular la raiz de 100 se toman los numeros 100 y 1 .
        100 1 x 1 luego la raiz de 100 se encuentra entre 100 y 1 en el intervalo (1,100).Tomamos el punto medio de los 2 extremos
        (100 + 1) / 2 . que redondeamos a 50 . 50 x50 >100 luego la raiz cuadrada de 100 se encuentra en el inervalo (1,50) . Supongamos que en un momento del calculo se tiene
        que la raiz cuadrada de 100 se encuentra en el intervalo (x,y)
        se toma z=(x +y) /2 el punto medio del intervalo . Ahora si z * z >100 se busca la raiz en el intervalo (x , z) y si z * z < 100 se busca la raiz en el inervalo (z , y) y se repite el proceso hasta que se obtenga la precision deseada.
        El algoritmo es basicamente el mismo que usamos para buscar palabras en un diccionario o mas en general para buscar en conjuntos ordenados y es un algoritmo muy importante en informatica motivo por el que creo que resultaria util enseñarlo

      • El punto es: ¿es algo que hay que *enseñar*? Yo creo que es algo que el niño debe *descubrir*, una vez se le ha presentado la raíz cuadrada y se le plantea un problema donde tenga que aproximar la raíz cuadrada de un número.

    • Este comentario me despertó un recuerdo de mi bachillerato. La cantilena del algoritmo de la división de polinomios decía: + por – es -, y para restar +. Le cambiábamos el signo, pero no recuerdo que entendiéramos qué estábamos haciendo.

  2. Algunos comentarios cortos
    1. Creo que en los paises sudamericanos se utiliza el algoritmo extendido
    2. El profesorado de secundaria estará contentísimo porqué les facilita el camino en la división de polinomios.
    3. En este momento ¿en cuantos paises europeos el algoritmo estàndar de la división por dos cifras forma parte de los contenidos de Primaria?. Me refiero a su presentación como instrumento actual, no como parte de una historia de les algorimos culturalmente muy interesante.
    4. Yo me examine aún con los programas de la Ley Moyano (finales del XVIII, la ley no yo) y la prueba básica era una división por dos cifras. ¿Continua siendo tan importante?

    • Gracias por el comentario.
      1- Creo que hacen muy bien en no seguir aquí el ejemplo de “la madre patria”.
      2- Completamente de acuerdo. De hecho, en el primer comentario ya hay un profe de secundaria que hace ver la dificultad que le supone explicar la división de polinomios a chicos que han visto el algoritmo comprimido para la división de enteros.
      3 – Muy buena pregunta. Me lo apunto, a ver si algún alumno se atreve para un trabajo fin de grado. Creo que hasta se podría lanzar en plan kamikaze, y pregutar a colegios variados de diferentes países.
      4 – Claramente, no. Igual puedes contestar a una pregunta de JJ. ¿Te enseñaron el algoritmo de la raíz cúbica? Yo, desde luego, hice bastantes raíces cuadradas.

  3. Interesante conversación. Deciros que estoy realizando mi trabajo de Fin de Máster en Profesora de Secundaria Obligatoria . Mi tema trata de la comparación entre algoritmos de multiplicación y división de polinomios basados en las leyes de potencias (que es el método tradicional) y algoritmos basados en ábacos numéricos.
    Éste último no es nada conocido, pero pienso que tiene sus ventajas. Pocos libros de texto contienen este método, de hecho, yo solo tengo localizados dos (uno de ellos “Polinomios y poliedros” Matemáticas 4º de Bachiller de Agustí-Vila de la ed. Vicens Vives) y deciros que me es de gran dificultad encontrar información de ellos. Después de ponerlo en práctica con alumnos de 1º de Bachiller, me di cuenta de que es un método que gusta a los alumnos, porque su algoritmos no es difícil, y además, minimizaron errores de cálculo. No se porqué no se se enseña en el colegio. Mi conclusión es que nos aferramos a los métodos tradicionales, por el simple hecho de ser los de toda la vida.

    • Muchas gracias por el comentario.
      Empezando por el final: desde luego, mi conclusión es también que nos aferramos a los algoritmos tradicionales porque son los de toda la vida.
      Ahora bien: ¿hace falta un algoritmo para multiplicar polinomios? Quiero decir: si uno tiene que sistematizar la multiplicación de dos polinomios, uno de grado 4 y otro de grado 3 (por ejemplo), sí veo la necesidad de un algoritmo concreto, y habría que empezar la discusión (no conozco el de los ábacos que mencionas). Ahora bien, ¿tiene sentido invertir tiempo en esas operaciones? ¿Se hacen en algún sitio fuera de algunas aulas de secundaria, donde el profesor tiene inclinación por ese tipo de cálculos?
      Si de lo que se trata es de multiplicar con soltura, digamos dos polinomos de grado 2, entonces dominar la propiedad distributiva debería ser suficiente. Si un alumno no hace cálculos de este tamaño con facilidad, no creo que necesite un algoritmo, lo que creo que necesita es comprender adecuadamente la propiedad distributiva. Y al revés: hacer esos cálculos (más pequeños al principio) “sin algoritmo”, sino “pensando”, es la mejor vía para asimilar del todo la distributiva.
      Creo que para la división se aplican los mismos comentarios. Si se ha entendido la división de enteros (en su versión natural, o extendida), la división de polinomios no debería ser problemática.

  4. Supongo que por método tradicional se refiere a “esa cosa” que a menudo se le enseña a los niños y que supone llevar cuenta de las llevadas del producto a la vez que se controlan las llevadas de la resta. Soy uno de los afortunados que nunca hemos sufrido semejante maltrato. Un buen día mi maestra, viendo que la mecánica de la división por una cifra la tenía dominada, me cogió a salto de mata y me contó que con divisores de dos cifras se hacía igual. Yo me lo creí y terminé haciendo un algoritmo extendido en versión reducida (si las restas o los productos -normalmente lo segundo- se complicaban hacía una anotación al margen). Y así, mientras mi maestra se afanaba en instruir a mis compañeros menos aventajados, me iban cayendo divisores más y más grandes para “mantenerme entretenido”. No fue hasta muchos años más tarde que me enteré que el resto del mundo hacía “esa otra cosa” de la que tengo el peor de los conceptos y que nunca he practicado.

    Al mayor de mis hijos le enseñé a dividir yo y me importó un higo lo que pudieran pensar en el colegio. ¿Y qué ocurrió? Ocurrió que llegado el momento en el colegio intentaron persuadirlo para utilizar el “algoritmo rápido” y no consiguieron desmontarlo. Su maestra se rindió rápidamente; después de todo las cuentas las iba sacando correctamente y el niño, fiel al criterio de su padre, no daba el brazo a torcer.

    En mis aulas de secundaria ocurre lo mismo: nunca he conseguido persuadir a un alumno de que abandonara el algoritmo tradicional que tantos problemas le acarrea para utilizar el extendido. La moraleja es clara: hay que pensarse bien lo que se enseña que luego es imposible deshacer lo andado.

    • Completando el comentario de David, y terminando de precisar el lenguaje. Tenemos dos algoritmos tradicionales, o estándar, para la división. Para todos los algoritmos tradicionales me gusta el nombre de algoritmos basados en dígitos. No sé si la terminología se introdujo junto con los ABN, por contraposición, pero me parece muy buena, porque recoge muy bien su característica fundamental: la base de la aritmética tradicional de lápiz y papel son los dígitos.
      Tenemos entonces dos algoritmos estándar (basados en dígitos) para la división: el comprimido y el extendido. Lo frustrante del caso es que somos de los pocos países que usan el comprimido, y no logro averiguar el por qué. Entiendo que el paso a la aritmética basada en algoritmos naturales, y ligada a los problemas, es un gran salto, y entiendo que cueste, pero prescindir del algoritmo estándar comprimido para la división es un “detalle trivial”, que no necesita ningún gran cambio. Por lo que me dicen mis alumnos de magisterio, el comprimido es claramente mayoritario en nuestras aulas de primaria, y cuando pregunto a los maestros que lo usan el por qué de la preferencia, si saben contestarme algo es que “así practican cálculo mental”. Y esto me parece errar el tiro completamente: la gran virtud del cálculo mental es que ayuda a entender los procesos. En este caso, lo estamos usando justo para que el proceso se entienda peor!!
      Muchas gracias por vuestros comentarios.

  5. Compartamos vocabulario: a mi entender “tradicionalles” lo son los dos, ya que indica que es el que aprendiereon nuestras generaciones anteriores. Prefiero la denominación “algoritmo estàndard” (que abarca tanto el comprimido español como el extendido “resto del mundo?”) y que son los que trabajan con cifras.
    Cómo alternativa actual se estan aplicando de algoritmos flexibles, transparentes,basados en cantidades, etc. cómo los propuestos por el Instituto Frehudenthas a finales del siglo pasado como parte de una excelente propuesta global para la enseñanza de la Aritmètica.
    En España esta idea se asocia más a la expresión “Algoritmos ABN”, propouesta que, a mi entender, se queda a medio camino, ya que subtituye unos algoritmos por otros y no ataca el problema de raiz, ya que los algoritmos continuan siendo los contenidos estructuradores del currículum, ocupando la mayor parte del programa. Es un importante paso adelante… que opino, se queda a medio camino, pero que representa un paso adelante importante en la enseñanza de las mates como por ejemplo en lo referente a los relatos de las estrategias utilizadas, y propiedades aplicadas cosa que en los algoritmos estàndar es imposible: todos hacen la misma.

  6. Mi nombre es Marcos Marrero. Uno de tantos profes que trabaja con la metodología OAOA en las escuelas (si quieres saber algo más…te invito a buscar información).

    En mi opinión…ya todo el mundo sabe que hay que aprender a operar a través del cálculo mental, a aproximar/estimar a través del cálculo mental y a saber contextualizar las cantidades a operar.

    La división tradicional (corrían el año 1800 cuando ya se hacía)…esa de la ventanita…atrofia el cerebro de los niños..los hace dependientes 100% del papel toda su escolaridad (luego ya en la vida real, desarrollarán sus propias estrategias, que pena) y no ofrece estrategias personales, capacidad crítica de los resultados obtenidos. Ya nadie hace divisiones escritas en la vida real (excepto en las escuelas y su martirio). Todavía se sigue viendo como argumento de nivel,,las operaciones kilométricas (mientras más grande, más absurda es hacerla con lápiz y papel).

    Hay que erradicar ya los Algoritmos Tradicionales (ATOA) de las escuelas,,por otros que provoquen competencia y razonamiento matemático para favorecer el cálculo mental.

    No más divisiones así 45.656 : 45…..

    PD: usemos la cabeza y usemos la calculadora..

    YA ESTÁ BIEN DE AMARGAR A LOS NIÑOS CON COSAS ABSURDAS SÓLO PORQUE ES “LO DE SIEMPRE”

  7. Muchas gracias por tu comentario, Marcos. Sí, algo conozco de OAOA, conozco a Tony Martín, y tenemos mucho en común, por supuesto.
    Pero no puedo estar de acuerdo con lo que dices de “ya todo el mundo sabe …”.
    Por lo menos yo veo un mundo en el que se siguen haciendo las cuentas de siempre, y cuando en un curso de formación uso un aula de 5º o 6º lo normal es que me encuentre divisiones como las que dices, con la cajita correspondiente. Lo que a mi me parece es que ese es el mundo mayoritario, y los que pensamos otra cosa somos una inmensa minoría. Cómo hacer que nuestro mensaje llegue a ese otro mundo real, esa es la cuestión …

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