¿Memorizar las tablas?

Otra entrada breve para responder a una pregunta surgida de este tuit (sigo con la idea de cerrar el curso con mis impresiones de la Escuela Miguel de Guzmán).

Es un tema muy interesante, sobre el que seguramente vuelva en el futuro, pero creo que puedo dar una primera respuesta rápida.

Creo que el punto clave es aclarar los dos posibles significados del término “memorizar” en el aprendizaje matemático. Uno puede estar hablando de “aprender de memoria” las tablas de multiplicar, como si fuera la lista de los reyes Godos, o los afluentes del Duero por la derecha. Esto es lo que pide el currículo LOMCE de Madrid donde, sin mencionar nada que tenga que ver con la idea de multiplicación, y en ¡1º de Primaria!, aparece un punto que dice “Memorizar las tablas del 0, el 1, el 2 y el 5”. Hay muchas barbaridades en el currículo de primaria de la LOMCE, pero creo que si tuviera que dar un primer premio esta sería mi elección.

Pero creo que también se puede usar el término memorizar refiriéndose al estado final de aprendizaje. Se puede trabajar la multiplicación, y uno de los resultados finales del proceso debería ser que el alumno sepa de memoria las tablas de multiplicar. No sé lo suficiente de psicología del aprendizaje (mejor dicho, no sé nada) para profundizar en las diferencias cognitivas, pero como matemático me parece claro que son enfoques distintos y que son el resultado de procesos de aprendizaje diferentes.

En el tema de las tablas de la suma es evidente que Aharoni está hablando de esta segunda forma de memorizar, porque se detiene a tratar el tema de cómo sumar dos números de una cifra, y del problema de pasar “la frontera del 10”, en el ejercicio de calcular la suma 8+5. Esta es una etapa crucial del aprendizaje de la suma. Los niños que aprenden/descubren técnicas de cálculo flexible, de descomposición numérica, y que piensan en 5=2+3 para concluir que 8+5 = 10 + 3 = 13, son niños que van en la buena dirección en el camino del aprendizaje de las matemáticas. Por el contrario, los niños que hacen esta cuenta basada en memorizar (en el primer sentido) las tablas de la suma, o simplemente contando, están avanzando en una dirección con peores resultados de aprendizaje.

En el tema de la multiplicación la cosa queda menos clara, me parece que por el problema del significado del signo “x” en la multiplicación, del “veces” o “multiplicado por” del que ya hemos hablado aquí. Me resulta muy significativo que un buen matemático (en el sentido de investigador en matemáticas) con amplia experiencia en aulas de primaria, se mueva en este tema de forma insegura. Está claro que es un tema que no tenemos resuelto. Mi impresión es que si adoptamos el término “veces”, el significado de la multiplicación queda mucho más claro, y el aprendizaje de las tablas de multiplicar puede estar basado en la comprensión. Sobre este tema espero poder dar algo más de información durante el próximo curso. En los libros de 2º de Primaria de Polygon ya aparecen las tablas (el 2, el 3, el 4, el 5 y el 10), y estarán presentes en algunas de nuestras aulas este próximo curso.

Por último, sobre el libro de Aharoni. Lo tenía un poco aparcado, pero este tema me ha hecho revisarlo, y coincido con @danicapoblog en que sería muy positivo tener el libro accesible en castellano, como ayuda para esas familias, me parece que cada día más numerosas, que son conscientes de los problemas en el aprendizaje matemático de sus hijos, pero que no terminan de entender cuál es el problema de fondo, o que no tienen las herramientas para luchar contra él. Me apunto el tema para septiembre.

 

¿Por qué decimos multiplicado por?

Ayer caí en la cuenta, al escribir esta frase en unas notas sobre división de fracciones: “dividir por 1/2 es lo mismo que multiplicar por 2”. Y como al escribir esta entrada, sobre las ventajas de usar “veces” en lugar de “multiplicado por”, terminaba diciendo que no veía ninguna razón para el uso del “multiplicado por”, salvo la fuerza de la costumbre, a riesgo de resultar pesado quiero volver sobre el tema para aclarar que “multiplicado por” refleja el hecho de que la multiplicación es la operación inversa de la división, y que en ambos casos el operador actúa por la derecha.

Eso sí, creo que se trata simplemente del “gol del honor” (y en tiempo de descuento). La terminología “veces” me parece más indicada para introducir la multiplicación, y creo que lo adecuado sería añadir en algún momento (seguramente al principio de la secundaria) que “3 veces 4” se dice también “4 multiplicado por 3” (que resulta ser igual a “4 dividido por 1/3”).

 

Por resumir …

Creo que el debate causado por el tema “veces vs multiplicado por” ha sido muy interesante (gracias a todos por los comentarios) y que merece la pena una última entrada resumen (con la promesa de no volver a escribir sobre este tema en una temporada, es cierto que empieza a resultar machacón).

El debate de darle sentido a la expresión 2 \times 3 se puede tener en el terreno puramente matemático, o en el de la educación matemática. Me voy a centrar en el segundo, porque me parece mucho más importante.

Las dos opciones más extendidas para interpretar 2 \times 3 son “dos multiplicado por tres”, es decir, 2 \times 3 = 2+2+2 y “dos veces tres”, es decir, 2 \times 3 = 3 +3. Es verdad que hay otras propuestas, tendentes a unificar las dos posibilidades, como leer 2 \times 3 en el orden “dos tres veces” o “tres veces dos”, pero me parecen artificiales, también chocan con el orden natural del lenguaje, y quizá podrían ser una buena opción si en algún lugar estuviera escrito el hecho inamovible de que 2 \times 3 tiene que ser “dos multiplicado por tres”. Pero es que no es así, si echamos un vistazo al resto del mundo es fácil darse cuenta de que existen las dos opciones.

En inglés casi siempre dicen “two times three”, aunque es verdad que esa expresión la interpretan en algunos lugares como “2+2+2” y en otros como “3+3” (este hecho me ha llamado mucho la atención desde que lo descubrí). En la reforma del Common Core de EEUU han optado por unificar lenguaje usual y sentido matemático, y seguro que esto es lo que ha dado lugar a la confusión del alumno que ha hecho saltar toda esta polémica.

En Alemania (y presumo que en los países de influencia germana) también usan el “veces”, y lo interpretan según el lenguaje usual:

multiplicacion-alemania

4veces3-Singapur

 

 

En Singapur también es este el convenio y creo que en Asia en general es la alternativa mayoritaria.

 

 

 

 

Una vez comprobado que se puede elegir, estas son las ventajas que le veo a la opción “veces” (en el orden natural, es decir, 2×3=3+3):

  1. (y más importante), se entiende mejor. Un niño de 4-5 años que se está iniciando en los números y en el lenguaje está en condiciones de interpretar la expresión “dos veces tres”. Por el contrario, la expresión “tres multiplicado por dos” resulta muy abstracta para los niños de 7-8 años, y lo que ocurre muchas veces es que aprenden de memoria las tablas de multiplicar y son justo las tablas las que le dan sentido a las expresiones como “siete multiplicado por ocho”. Eso es poner el proceso de aprendizaje completamente al revés, y las dificultades en la resolución de problemas son inevitables.
  2. la propiedad distributiva (en uno de los dos órdenes) es completamente natural: es inmediato que 12 veces 7 es 10 veces 7 mas 2 veces 7. Esto lo he visto en acción en “niños de verdad”.
  3. encaja mejor con el lenguaje natural en expresiones como “el doble de 6”, que se escribiría directamente 2×6=6+6. Si somos coherentes con el “multiplicado por”, el doble de 6 debe escribirse 6 \times 2 lo que resulta un tanto peculiar, ¿no?
  4. en el álgebra, en expresiones como 2x, el multiplicador se pone a la izquierda. Un error sorprendentemente común en los primeros cursos de secundaria es encontrar alumnos que escriben x + x = x^2. Me pregunto si una de las razones de que ocurra esto es no tener del todo asumida la multiplicación, y el sentido de “dos veces x“.
  5. con las fracciones pasa algo parecido, en expresiones como “3/4 de algo”. Aquí no habría que recurrir a eso de “la fracción como operador” que se hace en secundaria, cuando lo que realmente se está haciendo es escribir el multiplicador en primer lugar.
  6. Y, hablando de operadores, en la multiplicación el operador es el multiplicador, y los operadores van casi siempre a la izquierda (es cierto que hay operadores que actúan por la derecha, pero son pocos, y propios de matemáticas mucho más avanzadas).

He pensado en ventajas del “tres por dos”, pero no se me ocurre ninguna, salvo naturalmente la dificultad del cambio. Me interesa de verdad escuchar alguna otra.

por … ¿por qué?

Visto que el tema de la multiplicación salta a los medios de masas (muchas gracias por la mención, Joséangel), me lanzo a escribir una entrada rápida con mis últimas reflexiones sobre el tema. El término “por” es una abreviatura de “multiplicado por” y cuando escribimos “3 x 5”, con la lectura usual en España, debemos leer “3 multipliciado por 5”: 3 es el multiplicando, 5 el multiplicador. Por tanto, 3 x 5 es una abreviatura de  3 + 3 + 3 + 3 + 3. El problema es que esta interpretación no es nada intuitiva para el alumno que se está iniciando en la multiplicación, y creo que este problema está en la base de muchas dificultades de aprendizaje. Para liarlo más, como los adultos tenemos asumida la propiedad conmutativa, no siempre somos coherentes. Por ejemplo, si queremos calcular el doble de 6, casi todos escribiremos 2 x 6, cuando según la lectura “por” el doble de 6 debería escribirse 6 + 6, es decir, 6 x 2.

No creo que valga el argumento de que “es lo mismo”, porque desde luego que el resultado es el mismo, pero los significados de 6 \times 2 y de 2 \times 6 son distintos, y comprender por qué el resultado es el mismo es una parte importante de la comprensión de la operación de la multiplicación.

Creo que todo son ventajas al sustituir el término “por” por el término “veces”, como hacen en la mayoría de los países. El niño entiende sin ninguna dificultad el significado de la expresión, y creo que el aprendizaje es mucho más natural. Sólo haría falta vencer una poderosísima fuerza que rige el sistema educativo: la fuerza de la inercia.

Y si algún día cambiamos, desde luego que habría que ser más comprensivos que el maestro del ejercicio que ha sacado el tema a debate. Sobre los problemas causados por un cambio en alguna metodología que chocan con lo que las familias recuerdan de su educación básica habrá que escribir en alguna ocasión.

 

¿”veces” o “multiplicado por”?

Desde que escribí esta entrada sobre la multiplicación me quedé con la intriga de por qué en muchos países de habla inglesa 3\times 4 se lee “three times four” y sin embargo la forma más extendida de las tablas de multiplicar parece ser esta.

Hace unos días, de visita en un colegio, tuve la ocasión de participar en una conversación bastante curiosa sobre el tema. El colegio imparte matemáticas en inglés, y tienen un encargado de las matemáticas de primaria británico. Nos estábamos entendiendo perfectamente, la visión que tenemos de en qué deben consistir las matemáticas de primaria es bastante coincidente. Le estaba mostrando algunos ejemplos de mi libro de 1º, y sus comentarios eran positivos. Sin embargo, al llegar a la página de la figura cambió su gesto, y musitó un inconfundible “I don’t like that“. Así que nos enredamos en un animado debate sobre cómo escribir “three times four” o, equivalentemente, cómo interpretar 3 \times 4.

times-multiplied-by

Resulta que a pesar de leer la expresión 3 \times 4 como “three times four”, la interpretaba como 3 + 3 + 3 + 3, es decir, igual que leyendo “tres multiplicado por cuatro” y con el cuatro, por tanto, de multiplicador. Cuando le pregunté por el tema, y si no era cierto que “three times four” tiene en inglés un significado muy claro, su respuesta fue que sí, pero que en matemáticas se interpretaba de la otra forma.

Creo que no se ha estudiado lo suficiente este tema, y el hecho de que “3 veces 4” sea igual a “4 veces 3” no quiere decir que una interpretación diferente a la del lenguaje usual no cause problemas. O que, ya en nuestro país, el “3 por 4”, que no tiene significado para el niño que empieza el estudio de la multiplicación, sea el enfoque mas conveniente.

Estoy convencido de que el uso de “veces” tiene muchas ventajas. Además de lo obvio, que “3 veces 4” tiene, de entrada, un significado claro sobre el que se puede trabajar, dos ejemplos muy concretos sobre dificultades relacionadas con el “multiplicado por”:

  1.  el “doble de 6” es, evidentemente, 6 + 6. En los libros se introduce como 2 \times 6. Ningún problema si esto lo leemos como “2 veces 6”. Pero nada encaja si esto lo hemos introducido como “2 multiplicado por 6”, que debería ser 2+2+2+2+2+2.
  2. cuando llegan las fracciones, uno de los puntos fundamentales es dar sentido a la expresión 3/4 \times 20, interpretándola como “3/4 de 20”. Para ello, muchos libros recurren a un apartado donde presentan “la fracción como operador”. Sin embargo, el papel del 3/4 en esta expresión es exactamente el mismo que el del 2 en el apartado anterior. Pensemos en lo natural que sería pasar de “dos veces seis”, escrito como 2 \times 6 a “media vez seis”, escrito como 1/2 \times 6.

Las tablas de multiplicar

Las tablas de multiplicar son quizá uno de los primeros escollos en el aprendizaje de las matemáticas. Con ellas, muchos niños descubren lo aburridas que pueden ser, y para algunos niños son una pesadilla durante años. Quizá el lector esté esperando, dado el título del blog, que cuestione la necesidad de aprender las tablas de multiplicar. No va a ser así. Para que quede claro: opino que el aprendizaje de las tablas de multiplicar debe  ser uno de los objetivos irrenunciables de la formación básica en matemáticas. ¿Por qué? Pues porque sin tablas de multiplicar no es posible el cálculo mental, ni la estimación, ni el desarrollo del sentido numérico (sobre estos temas hablaremos en próximas entradas, por supuesto). Otro tema muy distinto es cómo y cuándo deben enseñarse las tablas de multiplicar. Adaptando el título del blog a este tema concreto, lo resumiría diciendo: más reflexión, menos cantilena.

Para plantear un buen enfoque metodológico de la enseñanza de las tablas, hay que primero revisar cómo se debe introducir la multiplicación. La multiplicación en primaria no es más que una herramienta para hacer más rápido sumas repetidas: el sentido de 4 \times 7 es “cuatro veces siete”, es decir, 7+7+7+7 . Y es fundamental que el niño asimile suficientemente esta idea antes de empezar con ningún tipo de aprendizaje memorístico. Por ejemplo, se pueden hacer “problemas de multiplicar” antes de “saber multiplicar”.

Un detalle importante es la “propiedad conmutativa”, o que “el orden de los factores no altera el producto”. Desde luego, no se trata de que el alumno “se lo crea” como una “verdad revelada”. Por otra parte, si uno se para a pensarlo un momento, el hecho de que si tenemos en una mesa 7 bolsas con 4 caramelos cada una, y en otra mesa 4 bolsas con 7 caramelos cada una, en las dos mesas hay los mismos caramelos, no es en absoluto evidente. Como en muchas otras situaciones, la geometría viene en nuestra ayuda.  Con el rectángulo de la figura a la vista, es sencillo darse cuenta de porqué 4 \times 7 = 7 \times 4 . Por supuesto, también se puden usar otros ejemplos, como huevos en una huevera, árboles en una plantación regular, soldados en un desfile, etc.

Una vez entendido el concepto de la multiplicación, y utilizado suficientemente en ejercicios, juegos, y en la resolución de problemas, se puede empezar con la parte memorística de aprender las tablas de multiplicar. La verdad es que no existe un consenso sobre cuál es la mezcla óptima entre aprendizaje rutinario y memorístico (algo de ello es imprescindible en este tema concreto) y otro tipo de actividades que incluyan más reflexión. Pero sí me atrevo a plantear los siguientes puntos:

  • el cero no debería aparecer en las tablas de multipicar. Si el niño ha asimilado que 4 \times 7 es “4 veces 7”, no tiene ningún sentido plantearse cuánto es “cero veces 5” o “7 veces cero”. Por supuesto, en algún momento hay que darle sentido a multiplicar por cero, pero hacerlo cuando se están aprendiendo las tablas y terminando de asimilar el sentido de la operación sólo puede confundir al niño.
  • en el aprendizaje de las tablas no se debe olvidar el sentido de la multiplicación. Para ello, sería conveniente que la palabra “veces” no desaparezca, y decir algunas veces las tablas utilizándola, en lugar de la palabra “por”. Y aquí llegamos a un detalle crucial. Repase el lector en voz alta la tabla del 4 (o cualquier otra, evidentemente), pero utilizando la palabra “veces” en lugar de “por”. Algo no encaja, ¿verdad? La idea de la tabla del 4 es ir añadiendo 4 unidades cada vez, y eso no se corresponde con “4 veces 1”, “4 veces 2”, “4 veces 3”, etc. Pero así es como se aprende en España:
     4 \times 1 = 4, \, 4 \times 2 = 8, \,4 \times 3 = 12, \ldots
    La conclusión es clara: la tabla del 4 debería aprenderse así:
     1 \times 4 = 4, \, 2 \times 4 = 8, \,3 \times 4 = 12, \ldots
    No conozco ningún estudio sobre este tema (espero sacar adelante uno este próximo curso), pero creo que este simple detalle podría tener un impacto significativo en el proceso de aprendizaje de las tablas de multiplicar.
  • las tablas no tienen por qué aprenderse en orden consecutivo: 2, 3, 4, 5, … Sería mucho mejor empezar por las más fáciles: 2, 5, 9, 4, 3, y dejar para el final las más problemáticas. Si cuando se está aprendiendo la tabla del 6 ya se conocen esas cinco, y se domina la propiedad conmutativa, buena parte del trabajo ya está hecho.
  • hay multitud de recursos para “practicar jugando”, y desde luego es muy conveniente utilizarlos. También hay observaciones matemáticas sencillas, que combinan multiplicación y reflexión. Por ejemplo, se pueden practicar los cuadrados perfectos antes de dominar las tablas. Una vez que se dominan, se puede estudiar un día en clase la siguiente observación: si tomamos un cuadrado perfecto, por ejemplo  5 \times 5 = 25, el producto de los números anterior y siguiente a 5 es una unidad menor que  5 \times 5. Los niños pueden comprobar que esto es cierto para cualquier número, no sólo para el 5, practicando las tablas, y hasta quizá consigamos que alguno de nuestros alumnos encuentre este hecho “interesante”. Además, les podemos enseñar la razón de por qué esto es siempre así, por supuesto sin tener que recurrir al álgebra. En la figura tenemos una “demostración sin palabras” de esta propiedad.