Visto que el tema de la multiplicación salta a los medios de masas (muchas gracias por la mención, Joséangel), me lanzo a escribir una entrada rápida con mis últimas reflexiones sobre el tema. El término «por» es una abreviatura de «multiplicado por» y cuando escribimos «3 x 5», con la lectura usual en España, debemos leer «3 multipliciado por 5»: 3 es el multiplicando, 5 el multiplicador. Por tanto, 3 x 5 es una abreviatura de  3 + 3 + 3 + 3 + 3. El problema es que esta interpretación no es nada intuitiva para el alumno que se está iniciando en la multiplicación, y creo que este problema está en la base de muchas dificultades de aprendizaje. Para liarlo más, como los adultos tenemos asumida la propiedad conmutativa, no siempre somos coherentes. Por ejemplo, si queremos calcular el doble de 6, casi todos escribiremos 2 x 6, cuando según la lectura «por» el doble de 6 debería escribirse 6 + 6, es decir, 6 x 2.

No creo que valga el argumento de que «es lo mismo», porque desde luego que el resultado es el mismo, pero los significados de y de son distintos, y comprender por qué el resultado es el mismo es una parte importante de la comprensión de la operación de la multiplicación.

Creo que todo son ventajas al sustituir el término «por» por el término «veces», como hacen en la mayoría de los países. El niño entiende sin ninguna dificultad el significado de la expresión, y creo que el aprendizaje es mucho más natural. Sólo haría falta vencer una poderosísima fuerza que rige el sistema educativo: la fuerza de la inercia.

Y si algún día cambiamos, desde luego que habría que ser más comprensivos que el maestro del ejercicio que ha sacado el tema a debate. Sobre los problemas causados por un cambio en alguna metodología que chocan con lo que las familias recuerdan de su educación básica habrá que escribir en alguna ocasión.

Desde que escribí esta entrada sobre la multiplicación me quedé con la intriga de por qué en muchos países de habla inglesa se lee «three times four» y sin embargo la forma más extendida de las tablas de multiplicar parece ser esta.

Hace unos días, de visita en un colegio, tuve la ocasión de participar en una conversación bastante curiosa sobre el tema. El colegio imparte matemáticas en inglés, y tienen un encargado de las matemáticas de primaria británico. Nos estábamos entendiendo perfectamente, la visión que tenemos de en qué deben consistir las matemáticas de primaria es bastante coincidente. Le estaba mostrando algunos ejemplos de mi libro de 1º, y sus comentarios eran positivos. Sin embargo, al llegar a la página de la figura cambió su gesto, y musitó un inconfundible «I don’t like that«. Así que nos enredamos en un animado debate sobre cómo escribir «three times four» o, equivalentemente, cómo interpretar .

Resulta que a pesar de leer la expresión como «three times four», la interpretaba como , es decir, igual que leyendo «tres multiplicado por cuatro» y con el cuatro, por tanto, de multiplicador. Cuando le pregunté por el tema, y si no era cierto que «three times four» tiene en inglés un significado muy claro, su respuesta fue que sí, pero que en matemáticas se interpretaba de la otra forma.

Creo que no se ha estudiado lo suficiente este tema, y el hecho de que «3 veces 4» sea igual a «4 veces 3» no quiere decir que una interpretación diferente a la del lenguaje usual no cause problemas. O que, ya en nuestro país, el «3 por 4», que no tiene significado para el niño que empieza el estudio de la multiplicación, sea el enfoque mas conveniente.

Estoy convencido de que el uso de «veces» tiene muchas ventajas. Además de lo obvio, que «3 veces 4» tiene, de entrada, un significado claro sobre el que se puede trabajar, dos ejemplos muy concretos sobre dificultades relacionadas con el «multiplicado por»:

1.  el «doble de 6» es, evidentemente, . En los libros se introduce como . Ningún problema si esto lo leemos como «2 veces 6». Pero nada encaja si esto lo hemos introducido como «2 multiplicado por 6», que debería ser .
2. cuando llegan las fracciones, uno de los puntos fundamentales es dar sentido a la expresión , interpretándola como «3/4 de 20». Para ello, muchos libros recurren a un apartado donde presentan «la fracción como operador». Sin embargo, el papel del 3/4 en esta expresión es exactamente el mismo que el del 2 en el apartado anterior. Pensemos en lo natural que sería pasar de «dos veces seis», escrito como a «media vez seis», escrito como .

Las tablas de multiplicar son quizá uno de los primeros escollos en el aprendizaje de las matemáticas. Con ellas, muchos niños descubren lo aburridas que pueden ser, y para algunos niños son una pesadilla durante años. Quizá el lector esté esperando, dado el título del blog, que cuestione la necesidad de aprender las tablas de multiplicar. No va a ser así. Para que quede claro: opino que el aprendizaje de las tablas de multiplicar debe  ser uno de los objetivos irrenunciables de la formación básica en matemáticas. ¿Por qué? Pues porque sin tablas de multiplicar no es posible el cálculo mental, ni la estimación, ni el desarrollo del sentido numérico (sobre estos temas hablaremos en próximas entradas, por supuesto). Otro tema muy distinto es cómo y cuándo deben enseñarse las tablas de multiplicar. Adaptando el título del blog a este tema concreto, lo resumiría diciendo: más reflexión, menos cantilena.

Para plantear un buen enfoque metodológico de la enseñanza de las tablas, hay que primero revisar cómo se debe introducir la multiplicación. La multiplicación en primaria no es más que una herramienta para hacer más rápido sumas repetidas: el sentido de es «cuatro veces siete», es decir, . Y es fundamental que el niño asimile suficientemente esta idea antes de empezar con ningún tipo de aprendizaje memorístico. Por ejemplo, se pueden hacer «problemas de multiplicar» antes de «saber multiplicar».

Un detalle importante es la «propiedad conmutativa», o que «el orden de los factores no altera el producto». Desde luego, no se trata de que el alumno «se lo crea» como una «verdad revelada». Por otra parte, si uno se para a pensarlo un momento, el hecho de que si tenemos en una mesa 7 bolsas con 4 caramelos cada una, y en otra mesa 4 bolsas con 7 caramelos cada una, en las dos mesas hay los mismos caramelos, no es en absoluto evidente. Como en muchas otras situaciones, la geometría viene en nuestra ayuda.  Con el rectángulo de la figura a la vista, es sencillo darse cuenta de porqué . Por supuesto, también se puden usar otros ejemplos, como huevos en una huevera, árboles en una plantación regular, soldados en un desfile, etc.

Una vez entendido el concepto de la multiplicación, y utilizado suficientemente en ejercicios, juegos, y en la resolución de problemas, se puede empezar con la parte memorística de aprender las tablas de multiplicar. La verdad es que no existe un consenso sobre cuál es la mezcla óptima entre aprendizaje rutinario y memorístico (algo de ello es imprescindible en este tema concreto) y otro tipo de actividades que incluyan más reflexión. Pero sí me atrevo a plantear los siguientes puntos:

• el cero no debería aparecer en las tablas de multipicar. Si el niño ha asimilado que es «4 veces 7», no tiene ningún sentido plantearse cuánto es «cero veces 5» o «7 veces cero». Por supuesto, en algún momento hay que darle sentido a multiplicar por cero, pero hacerlo cuando se están aprendiendo las tablas y terminando de asimilar el sentido de la operación sólo puede confundir al niño.
• en el aprendizaje de las tablas no se debe olvidar el sentido de la multiplicación. Para ello, sería conveniente que la palabra «veces» no desaparezca, y decir algunas veces las tablas utilizándola, en lugar de la palabra «por». Y aquí llegamos a un detalle crucial. Repase el lector en voz alta la tabla del 4 (o cualquier otra, evidentemente), pero utilizando la palabra «veces» en lugar de «por». Algo no encaja, ¿verdad? La idea de la tabla del 4 es ir añadiendo 4 unidades cada vez, y eso no se corresponde con «4 veces 1», «4 veces 2», «4 veces 3», etc. Pero así es como se aprende en España:
  
  La conclusión es clara: la tabla del 4 debería aprenderse así:
  
  No conozco ningún estudio sobre este tema (espero sacar adelante uno este próximo curso), pero creo que este simple detalle podría tener un impacto significativo en el proceso de aprendizaje de las tablas de multiplicar.
• las tablas no tienen por qué aprenderse en orden consecutivo: 2, 3, 4, 5, … Sería mucho mejor empezar por las más fáciles: 2, 5, 9, 4, 3, y dejar para el final las más problemáticas. Si cuando se está aprendiendo la tabla del 6 ya se conocen esas cinco, y se domina la propiedad conmutativa, buena parte del trabajo ya está hecho.
• hay multitud de recursos para «practicar jugando», y desde luego es muy conveniente utilizarlos. También hay observaciones matemáticas sencillas, que combinan multiplicación y reflexión. Por ejemplo, se pueden practicar los cuadrados perfectos antes de dominar las tablas. Una vez que se dominan, se puede estudiar un día en clase la siguiente observación: si tomamos un cuadrado perfecto, por ejemplo , el producto de los números anterior y siguiente a 5 es una unidad menor que . Los niños pueden comprobar que esto es cierto para cualquier número, no sólo para el 5, practicando las tablas, y hasta quizá consigamos que alguno de nuestros alumnos encuentre este hecho «interesante». Además, les podemos enseñar la razón de por qué esto es siempre así, por supuesto sin tener que recurrir al álgebra. En la figura tenemos una «demostración sin palabras» de esta propiedad.