Proporcionalidad inversa

Se trata sin duda de uno de los conceptos mas escurridizos de la aritmética elemental. Cuando pregunto por el tema en clase al principio, los alumnos solo saben contestarme eso de “cuando una disminuye, la otra aumenta”. Pero si les pido detalles y les pregunto, por ejemplo, si el precio de un producto y su demanda son magnitudes inversamente proporcionales, ya que la demanda crece cuando el precio disminuye, entonces el silencio es total …

El primer problema que les planteo es el siguiente:

Un grupo de amigos hacen una excursión por el desierto y llevan reservas de agua para 12 días. Sin embargo, hace mas calor de lo normal, y beben el 50% mas de lo previsto. ¿Cuándo se les termina el agua?

Inmediatamente surge la respuesta de “6 días”. Pero entonces les planteo: bien, y si hubieran bebido el doble de lo previsto, ¿cuánto les habría durado el agua? Creo que es el momento del curso en el que el conflicto cognitivo es mas evidente en las miradas de la mayoría de los alumnos. Una vez que se dan cuenta de que 6 no puede ser la respuesta correcta, la siguiente propuesta suele ser 9, por aquello de “la mitad de la mitad” (está claro que nuestro cerebro es lineal). Hay que esperar unos minutos mas para que algún alumno dé con la respuesta correcta, normalmente con un argumento del tipo: “como beben el 50% mas, consumen en un día el agua que tenían previsto beber en 1,5 días. Por tanto, a los 8 días terminan el agua”.  Una de las cosas que mas me gustan de este ejemplo es que, al evitar darles una cantidad concreta, suelo conseguir que ni siquiera intenten recurrir a la regla de tres.

Reconozco que no es un tema sencillo, pero me parece simplemente terrible la forma en que es tratado en los textos que conozco. Y los problemas mas habituales, con pintores y demás, por supuesto enfocados a su resolución con la correspondiente regla de tres. Me parece que sería mucho mas útil centrar el estudio en las magnitudes físicas, que están estudiando en la asignatura correspondiente, y que además son mucho mas realistas que los ejemplos usuales: la velocidad y el tiempo en un movimiento rectilíneo uniforme, y la presión y el volumen de un gas a temperatura constante. Creo que desde el lado de la física las cosas no funcionan mucho mejor, a juzgar por las caras que observo al enunciar la Ley de Boyle-Mariotte en términos de proporcionalidad inversa. No he hecho una búsqueda exhaustiva, pero en el texto de 4º que tengo en casa lo que dice es que V y 1/P son magnitudes proporcionales. Vamos, el error habitual: tirar por el camino mas “sencillo” … que no lleva a ningún sitio. La proporcionalidad inversa es seguramente el concepto de las matemáticas básicas donde la interdisciplinariedad debería jugar un papel mas importante, por evidente y útil.

Mi objetivo final en este tema es que mis alumnos entiendan que si en un movimiento uniforme la velocidad aumenta el 20%, el tiempo de viaje no disminuye el 20% (los resultados en este punto, discretos, sigo dándole vueltas a cómo hacerlo mas comprensible).

Termino con dos problemas que me gustan especialmente. El primero, uno de esos problemas que aparecen en libros de aritmética clásica, y con los que nuestros alumnos encuentran bastantes dificultades, ya que se trata de razonar, y no de operar:

Una nave sale de Nápoles hacia Barcelona y hace su viaje en 30 días. Otra sale de Barcelona hacia Nápoles y hace el viaje en 20 días.
¿En qué punto del trayecto se encuentran? (Se supone, claro, que las dos naves van por la misma ruta y que cada una de ellas mantiene durante todo el viaje la misma velocidad).

Y el segundo, de cosecha propia, pensado para convencerles de que hay alternativas mejores que la regla de tres compuesta:

Una ciudad medieval dispone de provisiones para 6 meses. Justo antes de ser sitiados por un ejército enemigo, la cuarta parte de su población huye, y al verse sitiados deciden reducir la ración diaria a 2/3 de la prevista. ¿Cuánto tiempo les durarán las provisiones?

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¿Un currículo viejuno?

Como le leí a @lolamenting un día de vacaciones, ¡qué pereza pensar en hablar sobre el nuevo currículo de secundaria! Y la verdad es que la pereza me vence, no lo he mirado con la calma suficiente para hablar de él en detalle. Pero creo que sí me atrevo a afirmar que, salvo las cuestiones formales de dejar para las comunidades el trabajo de organizar los contenidos de 1º y 2º de ESO, y adelantar un año la división entre matemáticas “A” y “B”, no hay demasiadas novedades, y el nuevo currículo tiene los mismos problemas de fondo que el anterior (y que todos los que he visto desde el de la LOGSE): demasiado extenso, repetitivo y con muchos contenidos de pertinencia cuestionable.

Me siento tentado de calificarlo directamente de “currículo viejuno” al descubrir que vuelve a incluir el tema de “Repartos directa e inversamente proporcionales”. No estaban en el currículo anterior, y no recuerdo haberlos visto en ninguno, aunque no he conseguido localizar ahora el primero de la LOGSE. Entiéndaseme bien, el problema

Dos amigos, Luis y Carmen, reciben por un trabajo 475 euros. ¿Cómo deben repartirse el dinero si por cada dos horas que trabajó Luis, Carmen trabajó 3 horas?

me parece perfecto para trabajarlo, por ejemplo, en 1º-2º de ESO, para profundizar en el aprendizaje de la proporcionalidad. Yo lo planteo en magisterio, y a muchos alumnos les resulta difícil, sobre todo si se les pide que lo resuelvan con técnicas aritméticas, sin recurrir al álgebra. Pero ver en el currículo la mención explícita a repartos proporcionales remite inevitablemente a otra concepción del aprendizaje de las matemáticas, una concepción que seguramente incluye un recuadro en el libro de texto que diga algo así como

Para repartir una cantidad X de forma proporcional a p, qr  se calcula p+q+r y  …

Los alumnos medianamente interesados se lo aprenden, lo entrenan con algún ejemplo, y reproducen disciplinadamente en el examen un ejemplo análogo. Por alguna razón recuerdo bien estos problemas en mis últimos cursos de EGB, allá por finales de los 70. Tras todo ello, el impacto de estos problemas en el aprendizaje matemático (de los alumnos que los trabajan) me parece muy cercano a cero. Pero lo que ya me parece rizar el rizo son los problemas de repartos inversamente proporcionales. ¿A algún lector se le ocurre un contexto, sea de la vida cotidiana, o de la ciencia o tecnología mas avanzadas, donde aparezca una situación de reparto inversamente proporcional?

¿1/8 de cada vaso, o 1/8 del total?

Stop teaching calculating, start learning math! Si tuviera que rebautizar este blog, en inglés, me parecería un título perfecto. Creo que es suficiente razón para que no pueda dejar de recomendar una conferencia de Conrad Wolfram (el de Wolfram Alpha) con ese título. Me parece que lo justo es referenciarla a través del blog de Belén Palop, la amiga que me la recomendó. Suscribo todo lo que dice, aunque es verdad que quedan muchas cosas en el aire: a qué se refiere exactamente con “unos pocos cálculos básicos que sí habría que aprender” y, sobre todo, cómo habría que diseñar esas “nuevas matemáticas”. Porque no es evidente, en absoluto, cómo introducir los conceptos y los problemas para que la capacidad de cálculo que tenemos a nuestra disposición ayude a la comprensión, y ayude a “aprender matemáticas”.

Pero de lo que quería hablar hoy es de proporcionalidad. Creo que esta semana he dado un paso más en la comprensión de las dificultades de aprendizaje de la proporcionalidad y creo (espero) haber llegado al fondo, al menos en lo que respecta al tema que quiero tratar. Todo surgió a raíz de este problema (recuerdo que doy clase en magisterio, todos mis alumnos son mayores de edad):

Si preparamos una sangría con la siguiente receta: 2 medidas de zumo, 1 medida de ginebra (con 2/5 de alcohol) y
5 medidas de vino (con 1/8 de alcohol), ¿cuál será la proporción de alcohol en la bebida resultante? Da el resultado como
fracción irreducible.

Es un problema que, con alguna variante, llevo proponiendo desde que empecé en magisterio, en el curso 2010-2011. Unos alumnos sabían hacerlo, otros no, pero no había llegado a entender dónde empezaban las dificultades de estos últimos. ¿Que por qué este año ha sido distinto? Bueno, creo en cierto sentido el proceso es incremental: una vez entendida una dificultad, estás en mejores condiciones para detectar la que puede haber por debajo de la anterior. Pero también es cierto que cada año soy más consciente de la importancia de dedicar el tiempo necesario a un problema donde aparecen dificultades, que es mucho más efectivo hacer la mitad de problemas, pero aprovecharlos al máximo. Y, por último, cada año me esfuerzo más en crear el ambiente necesario para que se atrevan a preguntar, por “tonta” que parezca la duda. El caso es que ante la pregunta ¿está claro el enunciado? una alumna preguntó: pero el alcohol del vino, ¿es 1/8 en cada vaso, o 1/8 de los cinco vasos? Mi reacción fue explicarlo como algo “evidente”, que era un problema sólo para esa alumna. Pero enseguida me di cuenta de que las cosas no marchaban, y cuando les pregunté la mitad de la clase reconoció que no veía nada claro que las dos alternativas fueran exactamente la misma. Evidentemente quedó claro que había una falta de comprensión muy profunda, que había que solucionar, y tras un par de intentos que funcionaron a medias, el que realmente convenció a la audiencia fue el de la figura, con la pregunta: si tengo una pared con cinco ladrillos, y pinto 1/8 de cada ladrillo, ¿qué proporción de la pared he pintado? (Una vez más, la geometría al rescate).

un-octavoMe parece que hay pocas ideas más básicas que ésta en proporcionalidad, y en ese entido decía antes que creo haber “llegado al fondo”. También creo que merece la pena comentar que algunos de los alumnos que confesaron su falta de comprensión son de los “aplicados”, que no tienen ningún problema en seguir la parte más “estándar” de la asignatura, y que apostaría a que fueron alumnos más bien brillantes en secundaria.

Un último comentario: tras haber probado varias alternativas, creo que esta misma idea es la más efectiva para modelar este tipo de problemas. Una vez que los alumnos entienden que el problema de la sangría es exactamente el mismo que la pregunta de qué parte del rectángulo de la figura he pintado de azul, todo resulta sencillo. (Con lo que no hubo ningún problema fue con el “1/8 de 5/8”, esa dificultad fue obvia el primer año, y desde entonces le dedico el tiempo suficiente en la teoría).

un-octavo-modelo

Un problema “estilo Dan Meyer”

Hoy, una entrada cortita y desengrasante. Los últimos días de lluvia me han dejado este problema en el jardín:

Las lluvias de la última semana han llenado de agua 2/3 del cubo de la foto. ¿Cuánto ha llovido? (La altura de la botella es de 20 cm).

Parte del problema consiste en investigar cómo se miden las precipitaciones. Aquí tengo una duda: ¿cuánta gente “de la calle” sabe que las dos unidades que se utilizan usualmente son, en realidad, la misma?

Proporcionalidad y volumen

La falta de interdisciplinariedad es un problema del sistema educativo. Pero es que incluso dentro de las matemáticas, hay pocas actividades que combinen conceptos de distintas áreas: cuando se hace aritmética, a eso nos dedicamos, luego viene la geometría, o la representación de datos …

Por ejemplo, creo que se trabaja muy poco el tema de cómo cambia el volumen – o la masa – cuando un objeto cambia de dimensiones. No es sencillo desarrollar la intuición al respecto (creo que todos estamos de acuerdo en que hay algo de sorprendente en el resultado del problema de “la humanidad en fila” de la entrada anterior). Si se quiere comprobar cuál es el estado de la cuestión “en la calle”, no hay más que preguntar a una “persona normal”  sobre cómo cambia el peso de una naranja cuando su tamaño – medido por el calibre (el diámetro) – se duplica. Yo lo he hecho varias veces, y la respuesta ha oscilado entre “no lo sé” y “también se duplica, claro”. Cuando el interlocutor ha sido suficientemente paciente, por interesado o por simple aprecio personal, y me ha dejado la posibilidad de explicarle la respuesta, la reacción ha sido de sorpresa total, y además la actitud final suele ser un inconfundible “vale, las matemáticas dirán eso, pero no termino de creérmelo”.

Este tema se debería tratar al menos desde dos puntos de vista.

El primero, desde el punto de vista curricular, sería como ejercicio de adquisición y representación de datos. Al final del segundo ciclo de primaria, y desde luego en el tercero, se podría plantear la siguiente actividad a los niños. “Para mañana, tenéis que traerme los siguientes datos. Tamaño y peso de tres naranjas (o manzanas, u otra fruta de temporada de forma aproximadamente esférica) de vuestra casa: la más grande que encontréis, la más pequeña y una de tamaño medio“. Creo que una cantidad suficiente de casas dispondrían de básculas de cocina de una precisión suficiente. Obsérverse que no he dado detalles sobre cómo medir el tamaño de la fruta. Decidir qué hay que medir sería parte de la actividad, y continuaríamos en la clase del día siguiente con la puesta en común de las diferentes medidas, ventajas, inconvenientes, e investigando la relación entre ellas. Finalmente, representaríamos los datos y estudiaríamos qué conclusiones se pueden sacar de la gráfica correspondiente.

El siguiente enfoque es posible al final del tercer ciclo, y en la enseñanza secundaria, cuando ya se ha hecho un estudio más formal del volumen. Además de la pregunta original sobre la duplicación de la esfera, se podrían tratar cuestiones como esta: ¿cómo cambia el volumen de un cilindro si el radio de la base aumenta un 10% y la altura disminuye un 10%? (Dependiendo del curso, por supuesto, la pregunta se podría hacer de esta forma, o con unos datos concretos para radio y altura).

La creatividad es otro de los aspectos en general poco cuidados (una entrada sobre creatividad y  matemáticas está en la lista),  y creo que todos deberíamos estar atentos para proponer, siempre que fuera posible, una actividad que no tenga “una solución”, sino varias. Relacionada con estos temas, se me ocurre la siguiente: diseña tres vasos cilíndricos de volumen 1/3 l, y estudia la relación entre sus dimensiones. Si el tiempo lo permite, se podrían construir en cartulina y comentar las ventajas e inconvenientes de los distintos diseños.

Ejercicios y problemas

La última entrada me dejó un sabor agridulce, no sé si me expliqué bien. Pero no voy a cometer el error de volver sobre el tema. Prefiero escribir sobre matemáticas, que creo que es lo que se me da un poco mejor.

No voy a entrar en profundas disquisiciones de qué es un ejercicio y qué es un problema. Para lo que quiero decir es suficiente esta idea:

  • un ejercicio es una tarea rutinaria, que se puede resolver limitándose a reproducir o imitar técnicas o procedimientos ya vistos.
  • un problema es una tarea que requiere, para su resolución, de algún tipo de actividad creativa:  bien porque es necesario adaptar una técnica conocida, bien porque hace falta combinar de una forma nueva algunos hechos conocidos.

Para un buen aprendizaje matemático es imprescidible hacer cierta cantidad de ejercicios. Creo que en eso estaremos todos de acuerdo. Pero también hace falta que los alumnos se enfrenten de forma regular al reto que supone la resolución de problemas, y creo que este aspecto no se está trabajando lo suficiente. Salvo honrosas excepciones, los estudiantes atraviesan nuestro sistema educativo sin enfrentarse a la resolución de problemas. Creo que esto lo pueden corroborar todos los profesores de primer curso de universidad, que ante la propuesta de un problema sólo encuentran, en buena parte de la clase, la reacción casi automática “no sé hacerlo”.  Vencer ese horror al “papel en blanco” es tanto más difícil cuanto más tarde se intente y, como en tantos otros aspectos, cuanto antes empecemos mejor. La buena noticia es que es relativamente sencillo proponer auténticos problemas en los primeros cursos de la enseñanza primaria. Es suficiente con proponer problemas de suma o resta, o de reparto, antes de haber introducido los algoritmos correspondientes, tal y como se hace, por ejemplo, en Holanda, según comentaba en una de mis primeras entradas.

Para un niño de 6 años al que se le acaba de introducir en la notación posicional, con el número de dos cifras, la pregunta: “Tengo 36 cromos, y los quiero repartir por igual entre mis dos amigos. ¿Cuántos cromos debo dar a cada uno?” reúne, claramente, todos los requisitos de un buen problema.

Una de las tareas más difíciles, y más importantes, de un buen docente, es ser capaz de proporcionar algún tipo de ayuda a un alumno que está intentando resolver un problema, sin desvelarle más de lo necesario.

No es sencillo proponer un buen problema: no debe ser ni muy sencillo ni muy difícil, lo ideal es que tenga alguna relación con el entorno o que interpele de alguna forma al alumno, o que presente un resultado llamativo. Por ello, una buena colección de problemas es un auténtico tesoro. Me ofrezco desde aquí a arrancar un repositorio de “buenos problemas”, para todos los niveles del sistema educativo, y que podrían ser votados por los usuarios.

Y para romper el hielo, aquí va el primero, mi favorito desde que lo descubrí (siento omitir la cita, pero he olvidado donde lo vi, hasta he olvidado cuál era exactamente la versión del problema que vi). Yo diría que es adecuado para el final de la primaria o el principio de la secundaria.

  • Supongamos que la humanidad se pone en fila india. ¿Cuántas veces daría la vuelta a la tierra esa fila india?

No, no he olvidado ningún dato. Parte del problema es que piensen qué datos necesitan, que aprendan a hacer aproximaciones y que hagan suposiciones razonables (como la distancia entre las personas de la fila). Por supuesto, esto obliga a que el problema se resuelva en una sala con algún ordenador, o a que se proponga en la parte final de la clase, se trabaje la parte de ¿qué datos necesito? y se resuelva al día siguiente con los datos obtenidos en casa. El problema tiene dos partes más:

  • Ahora supongamos que toda la humanidad viene a la Comunidad de Madrid -vivo en Madrid, pero este dato es fácilmente generalizable 🙂 -. ¿Cabríamos? ¿Cuánto espacio le tocaría a cada persona?

Y por último (puede ser un poco siniestro, lo sé, pero el resultado merece la pena):

  • El doctor No dispone de un terreno en forma de cuadrado de 1 km de lado, y en él quiere hacer una fosa común donde enterrar a toda la humanidad. ¿De qué profundidad debe hacer la fosa?
    Una alternativa más poética, pero quizá más difícil de entender por un alumno: ¿cuál es el volumen de la humanidad?

Una petición: si alguien se anima a llevar al aula este problema, o cualquier propuesta que aparezca en estas páginas, estaré encantado de recibir algo de feedback, bien con un simple comentario, o con más detalle en mi correo electrónico, que se puede encontrar aquí.

Una última cosa por hoy: en este enlace dejo una copia de las tareas del tema “El área del triángulo”, del curso correspondiente a 5º de Primaria, de unos  textos que he descubierto hace poco. Creo que tiene un diseño estupendo, con una gradación perfecta, empezando por sencillos ejercicios, y avanzando de forma gradual, para terminar en auténticos problemas. Compararlo con todos los textos españoles que han caído en mis manos me ha dado bastante en qué pensar.

La regla de tres

Cuando termina 3º de Primaria, un niño está perfectamente capacitado para resolver un problema como éste:

“Si 3 billetes de tren cuestan 15 euros, ¿cuánto cuestan 5 billetes iguales?”

Sin embargo, cuando en 5º estudia proporcionalidad, le enseñan una nueva “receta” para resolver este tipo de problemas, la regla de tres, que se representa, quizá con alguna ligera variación, así:

¿Y cuál es el problema? La regla de tres es un algoritmo sencillo y eficiente para resolver problemas de proporcionalidad, pensará más de un lector. Y esto es cierto, sin duda. Pero tiene un inconveniente, que creo que es común a muchos de los algoritmos tradicionales, y es que “esconde”, o al menos no muestra de forma clara, el concepto subyacente: la idea de proporcionalidad. Y esto hace que, aunque haya sido introducida de manera adecuada (y, por desgracia, demasiadas veces esto no es así), tras haberla aplicado de forma rutinaria en multitud de ocasiones, es muy fácil que muchos alumnos olviden las ideas que la justifican, y la apliquen de forma mecánida. Las posibles consecuencias son obvias: se olvida poco tiempo después de haberla estudiado, se aplica de manera inadecuada a situaciones no proporcionales, se confunde proporcionalidad directa e inversa, no se sabe aplicar a situaciones cotidianas …

¿Hay alternativas? Por supuesto. De hecho, parece que en este punto también, Spain is different. Sin haber hecho un estudio exhaustivo, sólo he encontrado la técnica de la regla de tres en España y algunos países hispanoamericanos. Asia y el mundo anglosajón utilizan enfoques diferentes. Si algún lector conoce algún estudio, geográfico o histórico, sobre la regla de tres, estaría encantado de recibir alguna información al respecto.

El enfoque alternativo más obvio es el del niño de 3º del principio del post. Si 3 billetes cuestan 15 euros, cada billete cuesta 5 euros, y por tanto 5 billetes costarán 25 euros. Esta técnica se suele conocer con el nombre de reducción a la unidad. Su gran ventaja es que no se basa en ninguna nueva técnica, sino simplemente en aplicar ideas ya conocidas a nuevas situaciones. Es, claramente, la adecuada si perseguimos un aprendizaje significativo. Y una vez dominada resuelve otros temas, como los cambios de unidades. En lugar de intentar que los niños memoricen la lista de las unidades Km, Hm, dam, m, etc, y que hay que añadir un cero por cada posición que nos movemos a la derecha, y quitarlo cuando nos movemos a la izquierda (¿o era al revés?), nos podríamos limitar a aprender, por ejemplo, que 1 km son 1000 m. A partir de ahí, todo debería estar claro.

Una herramienta interesante para la proporcionalidad son los diagramas de barras, utilizados en la enseñanza en Singapur (Singapur es, desde hace 20 años, uno de los países líderes en las pruebas de referencia sobre competencia matemática de los estudiantes – PISA, TIMSS). Hablaré sobre ella en un próximo post.