Cálculo de primitivas (II)

A raíz de la entrada de ayer intercambié con @lolamenting una serie de mensajes que me han tenido pensando un rato. La conversación acabó con esta pregunta suya,

¿en 2° Bach Ciencias debemos ceñirnos a los contenidos de la PAU o preparar para una ingeniería?

a la que solo contesté que la respuesta requería un post. Aquí está.

Mi primera tentación fue responder que las dos cosas son, obviamente, lo mismo, pero luego me quedé pensando hasta qué punto eso es verdad y, sobre todo, por qué no está claro que sean lo mismo (porque sigo pensando que las dos cosas son, al menos muy aproximadamente, equivalentes). Henos aquí, una vez mas, ante un grave problema de comunicación entre niveles educativos, en este caso entre bachillerato y universidad.

Esta falta de comunicación es en sí mismo un gran problema, y creo que una de las causas principales es la poca claridad de nuestra legislación curricular. En la figura siguiente se puede ver lo que dice el currículo de la LOMCE sobre el cálculo de primitivas. Veremos qué dicen los currículos autonómicos, aunque me sorprendería que fuera diferente. Compararlo con la segunda parte de la figura, en la que muestro lo que dice al respecto el currículo de las “H2 Mathematics” de Singapur (el resaltado en “given” es mío): curriculos-integralesLas matemáticas H2 son las que me parecen mas equiparables a nuestras Matemáticas II, y de verdad que recomiendo un vistazo a su currículo. Creo que cualquier profesor que tiene que impartir ese currículo ve bastante claro qué tiene que hacer, y cualquier profesor que tiene enfrente a alumnos que han superado con éxito la asignatura correspondiente se hace una idea bastante clara de qué puede esperar de ellos.

Por contra, nuestra legislación curricular rebosa de logomaquia competencial (ojo: no estoy criticando el fondo de las competencias, sino la verborrea competencial que inunda nuestros decretos educativos) y descuida los detalles mas técnicos, pero imprescindibles para que el currículo sea eso, un currículo.

En este aspecto particular en la universidad no estamos mucho mejor, desde la reforma que trajo los planes de estudio de los grados, conocida como “planes de  Bolonia”. Sobre lo que ha pasado en la universidad, recomiendo este artículo de Pello Salaburu, ex-rector de la Universidad del País Vasco. Es de octubre de 2011, pero no ha perdido un ápice de actualidad.

Volviendo a la pregunta original, lo que realmente tenemos que contestar es: ¿dónde empieza el estudio de la integración en 1º de Ingeniería? ¿Qué se da por ya sabido? No es una pregunta fácil de contestar. He echado un vistazo a algunas escuelas de ingeniería, pero la proliferación de aulas virtuales y demás espacios cerrados de aprendizaje ha hecho que los materiales de las asignaturas no sean accesibles desde el exterior, así que lo que voy a decir está basado simplemente en la información sobre lugares que conozco. Si algún lector tiene mas información, sería estupendo que la compartiera.

Mi impresión es que lo que necesita un alumno sobre integrales para abordar una ingeniería es saber unas pocas cosas muy básicas, pero tenerlas bien claras. Y por cosas muy básicas me refiero a saber que la integral es lineal, que la integral del producto no es el producto de las integrales, integrales básicas como \int e^{3x} \, dx y $\int x \cos x^2\, dx$, y ejemplos sencillos de integración por partes como $\int x e^{2x} \, dx$.

Y el problema mas extendido es que, al ver en 2º de Bachillerato bastante mas de lo que el tiempo disponible aconsejaría, el aprendizaje que se produce es superficial: los alumnos aplicados hacen las cosas en el examen, claro que sí, y en la PAU, pero llega el verano y en septiembre muchos de ellos tienen que volver a empezar casi desde cero. Vamos, uno de los problemas de fondo de nuestro sistema escolar (también en la universidad): ver mas de lo que los alumnos pueden realmente aprender.

 

Cálculo de primitivas en la PAU

Mirando los libros de 2º de Bachillerato veo integrales como las que yo proponía hace ya unos cuantos años en 1º de Ingeniería de Telecomunicación. Y he visto también listados de problemas de PAU que ganarían mucho si en cada problema figurara la fecha en la que se planteó. Por si sirve de ayuda, y para intentar evitar ese “vamos a hacer estas integrales, que las preguntan en la PAU”, aquí están las integrales que han aparecido en la PAU de Madrid, desde el año 2010 hasta el  2014.

  • Junio 2010, opción B.
    Calcular el área de la región limitada por las funciones y = 9-x^2 e y=2x+1
  • Septiembre 2010, opción A.
    a) \int_{14}^{16} (x-15)^8 \,dx.  b) \int_9^{11} (x-10)^{19} (x-9)\,dx
  • Junio 2011, opción A.
    \int_{1}^{3} x \sqrt{4+5x^2} \,dx.
  • Septiembre 2011, opción A.
    \int_{0}^{1} \frac{x}{1+3x^2}\,dx.
  • Junio 2012, opción A.
    a) \int_0^{\pi} e^{2x}\cos x \,dx.  b) \int_0^{\pi/2} \frac{\sin 2x}{1+ \cos^2 2x}.
  • Septiembre 2012, opción B.
    Calcular \int_{0}^{\pi} x^2 \sin x \,dx.
  • Junio 2013, opción A.
    a) \int \frac{x-3}{x^2+9}\,dx.  b) \int_1^2 \frac{3-x^2+x^4}{x^3}\,dx.
  • Septiembre 2013, opción B.
    \int_0^{\pi/2} 2 \cos^2 x \,dx.
  • Junio 2014, opción A.
    Área de la región acotada limitada por el eje OX y la función x^4 + 4 x^3.
  • Septiembre 2014, opción A.
    \int_0^1 \bigl( \frac{1}{x+1} + \frac{x}{x+4}\bigr) \,dx.
  • Septiembre 2014, opción B.
    \int_1^{\ln 5} (x e^x + 3)\,dx

¿Andando o en autobús?

Parece que la comparación entre ir andando como equivalente al cálculo mental e ir en coche o autobús como equivalente al uso de la calculadora está haciendo fortuna en las últimas semanas.

Primero fue esta carta al director de El País de  Ricardo Moreno Castillo (el autor de “Panfleto antipedagógico”):

La utilidad de las calculadoras es indudable, como lo es la de los coches, pero no se ha de olvidar que así como el caminar sigue siendo un saludable ejercicio, también lo sigue siendo el cálculo mental. A mi juicio, las calculadoras no deben de ser usadas antes de los 14 años.

Hace unos días, un tuit de @notemates

Operar sin calculadora para ejercitar la mente es como ir al cole sin bus, andando para hacer ejercicio.

Las analogías suelen tener su peligro, pero creo que esta no es del todo mala. Sin embargo, si queremos que nos sirva para progresar en el debate creo que hace falta algo más de informacion.

Imaginemos que nos encontramos con una pareja de amigos debatiendo cómo ira su hijo al cole durante el curso próximo: “yo creo que es mejor que vaya en autobús”, dice él. “Pues yo creo que es mejor que vaya andando”, responde ella. Falta algo, ¿verdad? Si no conocemos la edad del niño y, sobre todo, a qué distancia está el colegio, es difícil hacerse una idea del sentido de la conversación.

Pues creo que lo mismo pasa con el debate sobre el cálculo mental y las calculadoras. Si la cuenta que hay que hacer es 12+9, que es el equivalente a que el colegio esté a dos manzanas en un barrio bien urbanizado, está claro que la cuenta se debería hacer de cabeza, sin mayor esfuerzo. Por el contrario, si el colegio estuviera a 10 km, que yo lo consideraría equivalente a tener que calcular 39876 \times 829, supongo que todos asumimos que el niño usará, en ambos casos, una tecnología propia del siglo XXI.

En resumen: creo que si queremos progresar en el debate no queda mas remedio que concretar qué nos parece adecuado para ser abordado con técnicas de cálculo mental/natural, qué cálculos creemos destinados a la calculadora, y si quedan cálculos en algún terreno intermedio.