Los algoritmos (2) La multiplicación y la división

Antes de seguir con el repaso a los algoritmos, me parece imprescindible mencionar un artículo que descubrí gracias a este tweet de @jjcanido:

Se trata de un artículo de Stuart Plunkett, del año ¡1979! No lo conocía, y me ha parecido una de las exposiciones más claras y convincentes que conozco sobre la obsolescencia de los algoritmos tradicionales, y la conveniencia de otro tipo de algoritmos que favorezcan la comprensión.

Una de las cosas que lo hace interesante es que se atreve con algo que muchas veces echo en falta en este tipo de propuestas, y es concretar qué tipo de cálculos habría que hacer de qué manera. Lo resume en esta tabla:

algoritmos-plunkett

La columna Red corresponde a los “hechos básicos”, que deben estar (a partir de cierta edad, claro) accesibles en memoria para facilitar cálculos más avanzados. La columna Orange corresponde a cálculos que se reducen a un solo paso que usa los hechos de la columna anterior. Para estos cálculos, los algoritmos tradicionales son absolutamente inapropiados. La columna Yellow corresponde a cálculos para los que las técnicas “mentales” son idóneas. Plunkett afirma que cualquier persona podría hacerlos mentalmente, si lo necesitara (me temo que aquí Plunkett es optimista, o las cosas han empeorado bastante, seguramente por culpa de la enseñanza de la aritmética en la escuela). Están también perfectamente al alcance de un alumno de la segunda mitad de primaria, con el trabajo adecuado. Los cálculos de la columna Green se podrían hacer mentalmente, pero poca gente lo necesitará. Por último, para los cálculos de la columna Blue sería absurdo recurrir a las técnicas del cálculo mental, igual de absurdo que recurrir al lápiz y al papel si tenemos a mano una calculadora (el énfasis es mío)

Creo que merecería la pena tratar de difundir artículos como este entre la comunidad de docentes. En particular, entre los maestros de educación primaria. Si algún lector tiene contactos con alguna revista para ese sector que pudiera estar interesada, o conoce una versión en castellano de este trabajo, le agradecería que se pusiera en contacto conmigo, por ejemplo a través de los comentarios.

Después de estos párrafos iniciales puede parecer un poco absurdo volver al repaso de los algoritmos tradicionales. Sin embargo, vistos los progresos de estos últimos 40 años, creo que merece la pena tratar de dar pequeños pasos en la dirección de hacer la “aritmética del lápiz y papel” un poco más “pensada”.

La multiplicación:

La propiedad clave que permite multiplicar números grandes a partir de las tablas de multiplicar es la propiedad distributiva. Por tanto, si nuestro objetivo es elegir un algoritmo que ayude a la comprensión, el objetivo debe ser considerar algoritmos en los que sea sencillo ver cómo aplicamos la propiedad distributiva.

Antes de tratar de formalizar ningún tipo de algoritmo para la multiplicación, debería estar claro que 7 \times 25 = 7 \times (20+5) = 7 \times 20 + 7 \times 5, es decir que “7 veces 25 son 7 veces 20 más 7 veces 5”. Creo que en este punto el uso de “veces” en lugar de “multiplicado por” supone una gran ventaja. Representaciones gráficas como las de la figura ayudan a entender el significado de la propiedad distributiva. La versión de la derecha, sin las unidades representadas explícitamente, supone un paso más en el nivel de abstracción.

Una vez entendida la propiedad distributiva, escribir este cálculo en el formato que se muestra a la izquierda en la figura me parece inmediato. Es verdad que, si queremos (o nos obligan a) tratar multiplicadores de más de una cifra, habría que pasar a la escritura tradicional, de la derecha. multiplicacion-1-cifra

La escritura de la multiplicación con multiplicadores de más de una cifra es uno de los puntos más problemáticos si queremos insistir en una escritura de los algoritmos que ayude a la comprensión. Quizá lo mejor sería escribir que 37 veces 25 son 30 veces 25 más 7 veces 25, y a partir de ahí hacer los cálculos correspondientes. Evidentemente, estoy hablando de cómo escribir los algoritmos cuando se están aprendiendo. Si es necesario o no llegar a una escritura refinada al final del proceso, o si esto no merece la pena, es algo que se escapa del objetivo de esta entrada. Lo que sí tengo claro es que, incluso en la escritura tradicional del algoritmo, no deberíamos dejar el hueco de las unidades al multiplicar por las decenas, sino poner el número que ocupa ese lugar, que es el cero, claro. Es uno de esos detalles donde los usos y costumbres presentes en nuestras aulas (y en nuestros libros de texto) chocan de manera para mi incomprensible con la didáctica.

En la siguiente figura se muestra la tabla que usan los algoritmos ABN para calcular 285 \times 84. No me parece que ayude a la comprensión. Como ocurre muchas veces con los procedimientos que llevan a tablas, creo que más bien promueve la mecanización sin reflexión.

abn-multiplicacion

Por último, le llega el turno a la división. Sobre el algoritmo tradicional, quiero insistir una vez más en lo poco conveniente que me parece dejar de escribir las restas y calcularlas mentalmente. Es un detalle que hace que el algoritmo sea más difícil de ejecutar, más complicado de entender, y que lo desconecta de variantes como la división de polinomios en secundaria. Por lo que voy averiguando parece que en el pasado lo usual en nuestro país era aprender primero poniendo las restas, para eliminarlas más adelante. Poco a poco, ese momento de eliminar las restas parece haberse ido adelantando, y en muchas ocasiones los alumnos aprenden directamente el algoritmo de la división restando mentalmente. Me parece un ejemplo perfecto donde se aplica esta cita de Donald Knuth “Premature optimization is the root of all evil (or at least most of it) in programming” que enunció pensando en la programación, pero que me parece perfectamente trasladable al aprendizaje de las matemáticas. En la figura vemos un ejemplo tomado de un libro de texto de 3º de Primaria.

En este tema solo nos siguen algunos países hispanoamericanos. Si revisamos vídeos de alumnos haciendo divisiones en Gran Bretaña, Francia, o Alemania, podemos ver que hay variaciones en cómo organizan los cálculos, pero que tienen una cosa en común: escriben las restas.

abn-division

No me convence la forma de organizar los cálculos de la división ABN (en la imagen de la derecha se puede ver un ejemplo), pero la idea sí es natural, y explicando el pasado septiembre el algoritmo ABN en magisterio se me ocurrió que un buen algoritmo para la división sería la mezcla del tradicional y la idea de los ABN que muestro en la siguiente figura. Es un algoritmo donde se trabaja la descomposición de los números, y que cada niño puede aplicar adaptándolo a su nivel de cálculo. Naturalmente, la idea no es nueva, y posteriormente descubrí que aparece en la literatura como “división de Brousseau”, y Cecilia Calvo y David Barba hablaron de él en un número reciente de la revista SUMA (que no he podido localizar en una búsqueda rápida. Cierro con una pequeña petición para los editores de la revista: sería muy útil que los índices estuvieran accesibles online).

Prueba final de primaria de Singapur (II)

Aquí está la segunda parte:

  1. Sara compró 1,2 kg de uvas. ¿Cuánto le costaron?parte2-p1
  2. María pagó 945 € por una mesa y 4 sillas. El precio de cada silla era \frac{2}{7} del precio de la mesa. ¿Cuánto pagó María por la mesa?
  3. Rosa compró 150 naranjas y 100 manzanas para sus vecinos. Repartió las naranjas por igual y le sobraron 17 naranjas. También repartió por igual las manzanas, y le sobraron 5 manzanas. ¿Cuántos vecinos tiene Rosa?
  4. En la figura, ABCD es un cuadrado, EBFG es un rectángulo y \angle EBC = 252^{\circ}. Calcula \angle ABFparte2-p4
  5. Un jugador dispone de cuatro intentos en la primera ronda de una competición. La tabla muestra la puntuación que obtiene Pablo en los tres primeros intentos.
    parte2-p5Pablo se clasifica para la siguiente ronda si la puntuación media de tres de sus cuatro intentos es al menos 25. ¿Qué puntuación debe obtener Pablo en su cuarto intento para clasificarse?(En el resto de problemas se pide explícitamente que se muestre el razonamiento)
  6. En la figura, CDEF es un paralelogramo. AFC y BFE son líneas rectas y |BA|=|BC|. \angle ABF = 30^{\circ}\angle DEF = 54^{\circ}.
    (a) Calcula \angle EFC.
    (b) Calcula \angle FBC.parte2-p6
  7. Al principio Ben tenía 90 € y Sandra tenía 48 €. Cada uno compró una camisa del mismo precio. La cantidad de dinero que le quedó a Ben y a Sandra está en la razón 4 : 1. ¿Cuánto les costó cada camisa?
  8. Luis tiene un trozo de cuerda de longitud 13 w cm. Con una parte de la cuerda construye un triángulo cuyos lados miden w cm, 3 w cm y 20 cm.
    a) Expresa la longitud del resto de la cuerda en términos de w, de la forma más sencilla posible.
    b) Luis usó el resto de la cuerda para construir un rectángulo de 2 w cm de largo.  Si w = 6, ¿cuál es la anchura del rectángulo?
  9. En un concierto el 55 % de las entradas se vendieron al precio inicial y el 40% de las entradas se vendieron a mitad de precio. Sobraron 20 entradas, que se regalaron. En total, se recaudaron 7200 €. ¿Cuál fue el precio de venta inicial de las entradas?
  10. Una tienda ofrecía 80 impresoras con un descuento del 25% durante una semana de rebajas. El gráfico muestra la cantidad de impresoras que quedaban sin vender al final de cada día.parte2-p10a) ¿Qué día se vendieron más impresoras?
    b) ¿Qué porcentaje de las 80 impresoras se vendieron durante los tres primeros días de rebajas?
    c) Durante las rebajas, el precio de venta rebajado de cada impresora fue 120 €. Cuando terminaron las rebajas, el resto de las impresoras se vendieron al precio anterior, sin descuento. ¿Cuál fue la cantidad total del dinero obtenida de la venta de las 80 impresoras?
  11.  En un colegio, el 70% de los miembros de la orquesta y el 60% de los miembros del coro son niñas. La orquesta y el coro tienen el mismo número de niños. La orquesta tiene 20 niñas más que el coro. ¿Cuántos miembros tiene la orquesta?
  12. A las 11:50 Carla empezó a montar en bicicleta y se movía a 25 km/h. Fue desde su casa al parque, que estaba a 10 km. Estuvo en el parque 1 h 50 min.
    a) ¿A qué hora se fue del parque?
    b) Cuando se fue del parque, volvió a casa por el mismo camino y tardó 40 minutos. ¿Cuál fue la velocidad media de su viaje de regreso, , en km/h?
  13. La figura muestra un triángulo rectángulo.
    parte2-p13a) Calcula el área del triángulo.
    b) Daniel quiere cortar un triángulo como el de la figura de una pieza rectangular de cartón de 60 cm de largo y 100 cm de ancho. ¿Cuántos triángulos podrá cortar, como máximo?
  14. La figura muestra un camino de 2 m de ancho en un jardín rectangular de 28 m de largo. El borde del camino está formado por cuadrantes de circunferencia con centro W, semicircunferencias con centro en Z y líneas rectas. Sabemos que |WX|=|YZ|.

    a) ¿Cuál es la anchura del rectángulo del jardín?

    b) Calcula el área del camino. Toma \pi = 3.14.
    parte2-p14

  15. Yolanda rellenó dos tipos de botellas, grandes y pequeñas, con la bebida que preparó. Llenó 3 botellas grandes y 5 botellas pequeñas con 7.2 l de bebida.
    parte2-p15Con el refresco que le sobraba le faltaban 0.5 l para rellenar otra botella grande, pero sí pudo rellenar una botella pequeña, tras lo que le sobraron 0.3 l de bebida.

    a) ¿Cuál es la diferencia entre la capacidad de las botellas grandes y las botellas pequeñas?

    b) ¿Cuántos litros de refresco preparó Yolanda?

  16. Paula y Jaime compraron macetas que tenían los precios que se muestran en la figura.
    parte2-p16a) Paula compró el mismo número de macetas grandes que de macetas pequeñas, y se gastó 175 $ más en las macetas grandes. ¿Cuántas macetas compró en total?

    b) Jaime se gastó la misma cantidad de dinero en macetas grandes que en macetas pequeñas. ¿Qué fracción de las macetas que compró eran grandes?

  17. Ana, Bea y Coral son tres amigas que tienen el mismo número de monedas. Ana y Bea tienen cada una combinación de monedas de 50 céntimos y monedas de 10 céntimos. Ana tenía 9 monedas de 10 céntimos y Bea tenía 15 monedas de 10 céntimos. Coral tenía solo monedas de 50 céntimos.

    a) ¿Qué amiga tenía más dinero y qué amiga tenía menos dinero?

    b) ¿Cuál es la diferencia en valor total de las monedas que tienen Ana y Bea?

    c) Bea usó todas sus monedas de 50 céntimos para comprar comida. Después de eso tenía 10 € menos que Carla. ¿Cuántas monedas de 50 céntimos tenía Carla?

  18. Isabel usa palillos para hacer figuras que siguen un patrón. Las cuatro primeras se muestran a continuación.
    parte2-p18aa) En la tabla se muestra el número de palillos necesarios para hacer cada figura. Completa la tabla para la figura 5 y la figura 6.
    parte2-p18bb) ¿Cuál es la diferencia en el número de palillos necesarios para hacer la figura 9 y la figura 11?

    c) ¿Cuántos palillos necesitaría para hacer la figura 30?

Desde luego, da bastante que pensar … Recuerdo que el tiempo para esta parte es 1 h 40 min. Y ese esa es mi principal crítica. Me parece que la presión de tiempo en esta prueba es, vista desde aquí, enorme. Son 18 preguntas, varias de ellas auténticos problemas para ese nivel, algunas con varios apartados, y el tiempo es menos de 6 minutos por pregunta …

Sobre la diferencia de nivel con una prueba como esta de Cataluña, o ésta del INEE, mejor no hablar …

Aparte de la presencia de la geometría deductiva, de la que ya he hablado, un detalle que me parece muy interesante es la profundidad con la que tratan la aritmética, con problemas como el 15. Aquí son inimaginables antes de llegar al álgebra, y creo que es un error. Como ya he comentado alguna vez, me parece que tratar problemas como estos sin herramientas algebraicas es muy importante para profundizar en la comprensión de la aritmética, y para desarrollar estrategias de resolución de problemas.  La herramienta que aquí echamos de menos para resolver estos problemas es su famoso modelo de barras. Me parece que estas representaciones con barras de cantidades desconocidas son una buena estrategia para pasar después a representarlas con la x del álgebra, y para ayudar a entender que esa famosa x tiene un significado detrás.

Una prueba final de primaria de Singapur

El objetivo de esta entrada no es iniciar un debate sobre las pruebas externas, sino enseñar un ejemplo que he conseguido hace poco de una prueba final de Primaria de Singapur para mostrar qué matemáticas (y con qué nivel de profundidad) hacen en esa etapa educativa. Empecemos con la prueba, al final algunos breves comentarios.

Hoy voy a mostrar la primera parte de la prueba. Son 15 preguntas tipo test y otras 15 preguntas de respuesta corta. Espero que la calidad de las imágenes sea suficiente.

  1. Redondea 31 804 al millar más cercano.
    (a) 30 000       (b) 31 000     (c) 31 900     (d) 32 000
  2. La figura tiene 6 ángulos. ¿Cuántos son mayores que un ángulo recto?parte1-p2
  3. En la figura PQ y RS son rectas. ¿Cuál de las afirmaciones es cierta?
  4. parte1-p3Calcula el valor de 2g-4+2g si g=6.
    (a) 18     (b) 38     (c) 46     (d) 62
  5. Un ortoedro de altura 10 cm tiene una base cuadrada de lado 3 cm. ¿Cuál es su volumen?
  6. parte1-p5¿Cuál dirías que es el peso total aproximado de 8 monedas de 1 euro?
    parte1-p6
  7. ¿Cuál de los siguientes es el desarrollo de un cubo? (aquí, una pequeña imagen de un cubo)
    parte1-p7
  8. Tai estuvo en el colegio desde las 7 am hasta las 4 pm. ¿Cuántas horas estuvo en el colegio?
    (a) 7     (b) 9     (c) 10     (d) 11
  9. La figura muestra la posición de una bandera en el campo ABCD. ¿Qué vértice del campo está al sureste de la bandera?
    parte1-p9
    Usa esta información para las preguntas 10 y 11. El diagrama muestra los diferentes tipos de bocadillos en un mostrador. 1/5 de los bocadillos son de atún y ¼ de los bocadillos son de queso o de huevo. Había 3 veces más bocadillos de queso que de huevo.
    parte1-p10
  10. ¿Qué fracción de los bocadillos son de pollo?
    (a)  \frac{1}{2}     (b)  \frac{3}{4}     (c)  \frac{9}{20}     (d)  \frac{11}{20}
  11. ¿Qué fracción de los bocadillos son de huevo?
    (a)  \frac{1}{12}     (b)  \frac{1}{16}     (c)  \frac{1}{3}     (d)  \frac{1}{4}
  12. Ordena estas distancias de menor a mayor:
    parte1-p12
  13. La figura 1 es un trapecio de perímetro 36 cm. La figura 2 está formada por 4 de esos trapecios. El perímetro de la figura 2 es 96 cm.
    parte1-p13¿Cuánto mide el lado AB del trapecio?
    (a) 15 cm     (b) 12 cm     (c) 3 cm     (d) 6 cm
  14. Al dividir un número entre 30 el resto es 8. ¿Cuánto hay que sumarle al número para que sea múltiplo de 6?
    (a) 6       (b) 2       (c) 5        (d) 4
  15. Ling y Juni hicieron tarjetas durante dos días. El sábado Ling hizo 19 tarjetas más que Juni. El domingo, Ling hizo 20 tarjetas, y Juni hizo 15. Al acabar los dos días, Ling hizo 3/5 del total de las arjetas. ¿Cuántas tarjetas hizo Juni?
    (a) 24       (b) 26       (c) 48        (d) 78
  16. Calcula 8020 \div 5.
  17. Calcula la media de 9 y 14.
  18. En la figura ABC es una línea recta. Calcula \angle k.
    parte1-p18
  19. La figura está formada por 3 cuadrados. Uno de los cuadrados está dividido en 4 triángulos iguales. ¿Qué fracción de la figura está sombreada?
    parte1-p19Usa la siguiente figura para las preguntas 20 y 21. La figura muestra un mapa con 5 calles.
    parte1-p20
  20. Nombra dos calles que sean paralelas.
  21. Nombra dos calles que sean perpendiculares.
  22. ¿Cuál será el precio del reloj después de añadirle el 7% de IVA?
    parte1-p22
  23. ¿Cuánta agua (en ml) hay en el vaso?
    parte1-p23
    Usa la siguiente figura para las preguntas 24 y 25. Hemos dibujado un semicírculo.
    parte1-p24
  24. Mide y escribe la longitud del radio.
  25. Elige un punto C dentro del recuadro y dibuja dos segmentos AC y BC para formar un triángulo ABC tal que |AB| = |AC|.
  26. El siguiente diagrama de barras muestra el número de hijos en las familias de un bloque de apartamentos. 1/3 de las familias tienen 1 hijo. Dibuja la barra que muestra esas familias en el diagrama.
    parte1-p26
  27. La siguiente tabla muestra el precio de unos trabajos de limpieza.
    3 primeras horas: 80 €
    Cada hora adicional: 20 €.
    La Sra Menon pagó a la empresa 200 €. ¿Cuántas horas duró la limpieza?
  28. Sam dibujó estas figuras. A es una circunferencia, B un triángulo equilátero, C un  paralelogramo, D un rombo y E un trapecio.
    parte1-p28
    Nombra las figuras que tienen al menos una recta de simetría.
  29. Una bolsa contiene pajitas de tres colores distintos. 1/4 de las pajitas son azules. La razón del número de pajitas rojas y el número de verdes es 2:3. ¿Cuál es la razón del número de pajitas azules y el número de pajitas verdes?
  30. Meng quiere construir una escalera  con cubos de 1 cm.
    parte1-p30Las figuras muestran la construcción de 2 cm, luego 3 cm y luego 4 cm.Si continúa de esta forma, ¿cuál será la altura de la escalera formada por 140 cubos?

Como decía al principio, esto es solo la primera parte. La prueba tiene una segunda parte, que dura el doble, que se puede describir como “de problemas” y en la que se puede usar calculadora. En esta imagen está la descripción global de la prueba. instrucciones

Espero publicar pronto una segunda parte de esta entrada con esos problemas. De momento, aquí está el pdf para los lectores impacientes.

Unos primeros comentarios:

  1. Reitero que no se trata de debatir sobre la idea de las pruebas externas, ni mucho menos sobre la conveniencia de seleccionar estudiantes al final de primaria, como hacen en Singapur.
  2. Sobre el fondo de la prueba, me gusta lo que transmite de cuáles son las matemáticas importantes en primaria. Está claro que el nivel en varios temas es completamente distinto al que vemos por aquí. La gran pregunta es hasta dónde se puede llegar usando mejor todo el tiempo que en España usamos para hacer largas divisiones (y otros temas, importantes, pero que en Singapur consideran poco apropiados para Primaria, como divisibilidad -mcm y mcd-, y potencias).
  3. La extensión de la prueba también es sorprendente, desde luego. 30 preguntas en 50 minutos es correr mucho. Es verdad que hay preguntas cortas, pero hay otras que requieren reflexión. Supongo que esto refleja lo que seguro que nos parece a la mayoría excesiva inclinación por los exámenes que tienen allí.
  4. Pero yendo al fondo, creo que la prueba es equilibrada y bien diseñada. Dejando al margen los temas ya mencionados, creo que dedicar tiempo a preparar una prueba como esta (el famoso “teach to the test”) no es tan malo.

Los algoritmos (0) – Sumas y restas “pasando el 10”

Como primera entrada de este  nuevo año (¡Feliz 2017 a todos los lectores!) quiero corregir un error que cometí con la primera entrada de esta serie, en la que hablaba directamente de los algoritmos de la suma y la resta, remedando así (de manera involuntaria) la misma equivocación que está muy presente en nuestras aulas: empezar con los algoritmos de la suma y la resta cuando el niño todavía no ha adquirido la soltura suficiente con la aritmética “pasando el 10”, que será una herramienta fundamental en las sumas y restas. Con aritmética “pasando el 10” me refiero a la suma de dos números de una cifra, y a las restas correspondientes, que son los cálculos básicos que aparecen en los algoritmos tradicionales de la suma y la resta.

No se trata, desde luego, de aprenderse de memoria las tablas de la suma, como algunas veces he visto. Pero si al empezar con los reagrupamientos (las llevadas) el alumno tiene que recurrir al conteo para cálculos como 8+7 o 15 - 6, estamos avanzando sobre terreno movedizo: al calcular, el alumno no podrá centrarse en comprender los reagrupamientos, y muchas veces esto terminará en problemas de aprendizaje.

¿Qué hacer, entonces? Me temo que no hay soluciones mágicas, y que la única alternativa es dedicar el tiempo suficiente a la aritmética de los números hasta el 20, con todo tipo de actividades y problemas. Para tratar de ayudar, aquí dejo el capítulo correspondiente del libro de 1º de primaria que sigue siendo accesible aquí.

Otra actividad muy útil, sobre todo por lo que ayuda a comprender la relación entre suma y resta, son los diagramas como los de la figura. No aparecen lo suficiente en los materiales anteriores.

number-bonds-20

Sobre los deberes

Si pudiera proponer una sola cosa, me conformaría con esta: que cada aula tuviera un calendario donde figuraran las tareas que tiene que hacer cada alumno, con la fecha correspondiente (idealmente, con una estimación del profesor de cuánto tiempo requiere la tarea en cuestión). Ese calendario debería ser conocido, al menos, por las familias y los profesores del aula. ¿Por qué no totalmente público?

Creo que con esa medida el problema podría desaparecer. Si no fuera así, al menos tendríamos datos un poco más sólidos para debatir.

TIMSS 2015 – leve mejoría

El pasado día 29 se publicaron los primeros resultados del estudio TIMSS 2015. Aunque la puntuación obtenida por España apunta a una leve mejoría, las reacciones que he visto en la mayoría de los medios de comunicación me parecen excesivas. Sobre esa carrera que hemos observado entre nuestros políticos para atribuirse los méritos, no tengo nada mejor que decir que recomendar la lectura de esta serie de tuits de @lucas_gortazar (a cuento de los resultados de PISA que salen el 6 de diciembre, pero exactamente lo mismo se puede decir sobre TIMSS):

Algunas breves observaciones sobre los resultados de TIMSS 2015.

A diferencia de PISA, la escala de puntuación de TIMSS no se obtiene de una media, sino que es una escala absoluta. El nivel se mantiene (o se trata de mantener) constante mediante una serie de preguntas que se repiten en cada estudio. Desde ese punto de vista, los 505 puntos obtenidos por España en esta oleada son una mejora respecto de los 482 del estudio TIMSS 2011. Sin embargo, hay al menos dos razones para reprimir el entusiasmo:

  • Si calculamos la media de los resultados de los países occidentales que han participado en los dos estudios, nos encontramos con un resultado de 519 para TIMSS 2011 y  529 para TIMSS 2015. Eso puede querer decir que ha habido una pequeña mejora general, o que la prueba ha sido ligeramente más fácil. Creo que todos los docentes somos conscientes de lo difícil que es mantener el nivel de dificultad de un examen.
  • En la siguiente figura trato de contextualizar los resultados de España. Para ello, me he olvidado de los países asiáticos, que juegan en otra liga, y he representado los resultados de los países de Europa occidental (junto con EEUU y Rusia). Creo que salta a la vista que no hay demasiados motivos para el entusiasmo. (Un entusiasmo que sí me permitiría sentir si fuera noruego, o polaco).

timss-2011-2015

Los algoritmos (1) – La suma y la resta

Este curso he repensado bastante la asignatura de Aritmética (para maestros) y he dedicado cierto tiempo a pensar sobre los algoritmos básicos de la aritmética. Además, algunos debates como el que originó este tuit

sobre determinantes, me han convencido de que quizá sea hora de hacer un repaso al tema. Esta entrada es el comienzo de una serie sobre los algoritmos de las matemáticas básicas (entendidas como las matemáticas previas a la universidad). El ritmo será el que se pueda, y durará lo que me dure la cuerda, y/o el interés de los lectores.

Mi intención es seguir el orden en que van apareciendo en el currículo, pero antes de empezar a hablar de sumas y restas creo que merece la pena hacer algunas consideraciones generales.

Me parece que sigue sin estar nada claro cuál es el papel de los algoritmos en estos tiempos, cuando estamos rodeados de dispositivos que hacen todo tipo de cálculos, de forma más rápida y más fiable de lo que lo podrá hacer ningún ser humano. Creo que debería ser uno de los temas centrales de debate en didáctica de las matemáticas, y me parece que no lo está siendo. Por supuesto, lo que voy a exponer aquí son solo mis opiniones, ya me gustaría tener datos. Además, estas opiniones van evolucionando con el tiempo.

Voy a tratar de resumir en un párrafo mis reflexiones sobre el tema, que se pueden ver en versión ampliada en esta presentación, donde recojo mi intervención en la mesa redonda que la IX Escuela Miguel de Guzmán dedicó al tema.

Me parece evidente que el estudio de los algoritmos no puede ser ya un fin en sí mismo, como lo era, de forma justificada, hasta hace unos cuantos años. Mi tesis de inicio es que un algoritmo merecerá ser estudiado si, no solo se entiende, sino que ayuda a comprender ideas y conceptos que sean relevantes. Algunas veces se oye que a algunos alumnos les gusta calcular, por el puro gusto de calcular. Bien, no tengo problema en aceptar eso. Pero todos tenemos nuestros gustos y aficiones, y que haya un colectivo al que le resulte atractiva la actividad X no es razón para imponer esa actividad a toda la población. Sobre todo, si resulta que hay otros alumnos a los que esa imposición/requerimiento les aleja de la disciplina completa, o les impone una dificultad adicional, muchas veces decisiva, en el aprendizaje de las matemáticas.

Un último comentario previo: un mismo algoritmo se puede presentar de muchas formas. En particular, en la figura se muestran dos ejemplos que corresponden al algoritmo tradicional de la suma, y que probablemente corresponden a tratamientos bastante distintos del mismo. Cuando hablemos de un algoritmo, habrá que asumir que se trata de forma adecuada o, en todo caso, discutir en qué consistiría esa presentación adecuada.

suma

Si queremos hablar de algoritmos para sumar y restar en los primeros cursos de primaria,  deberíamos tener claro antes cuáles son los conceptos fundamentales de esa etapa, y que deberían ser desarrollados en paralelo con los algoritmos. Este caso me parece claro: la notación posicional y, más en general, el sentido numérico.

Empezando por la suma, voy a considerar tres algoritmos distintos. Primero, una presentación rápida, y después hablaré de las ventajas e inconvenientes que les veo.

  1. El tradicional, mostrado en la figura anterior, y que no necesita presentación.
  2. Explorando sobre el tema me encontré con un vídeo de un alumno que sumaba como se muestra en la figura.
    suma-2Me parece una propuesta muy interesante, y que también puede verse como otra forma de escribir la suma en fila
    748 + 597 = 1200 + 130 + 15 = 1345
    Me parece evidente que escribir la suma como en la figura facilita los cálculos al alumno.
  3. Los algoritmos ABN. Creo que ya son bastante conocidos, pero aquí va una presentación en dos líneas “en aras de la completitud”.  El acrónimo proviene de algoritmos Abiertos Basados en Números. En la tabla de la derecha se muestra un ejemplo. Si queremos sumar los números 36 y 43, lo que se hace es disponer lainformación en una tabla, e ir pasando cantidades del número menor al mayor. Evidentemente, cuando hemos pasado el número completo, en la casilla correspondiente aparece la suma final. La forma de pasar es flexible, y alumnos con diferentes habilidades de cálculo suma-ABNencontrarán caminos distintos (de ahí el adjetivo de abiertos). Creo que la escritura no está del todo estandarizada (se puede argumentar que no hace falta, por supuesto) y si se buscan ejemplos es posible que no aparezca la columna de la izquierda del ejemplo, las cantidades que se van pasando. En este blog se puede encontrar más información.

Voy a atreverme a aventurar unas pocas reflexiones sobre comparación de estos algoritmos, dejando claro que son reflexiones personales, que han cambiado en estos últimos años, que pueden cambiar en el futuro próximo, y que tengo más preguntas que respuestas.

En primer lugar, decir que el algoritmo tradicional me parece una buena opción. Eso sí, por supuesto, trabajando con números del tamaño adecuado al desarrollo del alumno, y no “llevándome 1”, sino reagrupando las 12 unidades en una decena y dos unidades, con el apoyo gráfico/manipulativo necesario.

El algoritmo 2 me gusta mucho. Creo que usa de forma muy natural la notación posicional, y que cuando se calculan sumas de esta forma se está haciendo un uso intenso de las descomposiciones numéricas. Su gran ventaja, me parece, es que se adapta muy bien a las técnicas de cálculo mental y cálculo aproximado. Si queremos hacernos a la idea del orden de magnitud de una suma, es evidente que debemos a sumar desde la izquierda. Solo le veo un inconveniente, y es que no veo cómo trasladarlo al caso de la resta, como veremos más abajo. Y creo que este es un inconveniente muy serio. La pregunta surge sola: ¿sería adecuado trabajar los algoritmos 1 y 2, en paralelo o de forma secuencial? Creo que solo una posible experiencia de aula nos podría iluminar en este punto.

Sobre el ABN, entiendo el éxito relativo que están teniendo en las aulas. Lo que me parece que ocurre en muchos casos es que sustituyen a un tratamiento puramente mecánico del algoritmo tradicional. Y claro, tras años de ver que tus alumnos no entienden nada, hacer por fin algo que se entiende tiene un atractivo evidente. Sobre el algoritmo en sí mismo, es desde luego un buen ejercicio de cálculo mental. Pero si se piensa (como es mi caso) que una de las razones fundamentales de trabajar un algoritmo de la suma es trabajar la comprensión de la notación posicional, entonces creo que surgen muchas dudas. Por los ejemplos que se ven en la red, y por lo que he visto hacer a mis alumnos al tratarlos en la asignatura de aritmética, no me parece que profundizar en la comprensión de la notación posicional sea su fuerte. Pero esta cuestión está abierta, desde luego.

Para terminar con la suma, por supuesto que otra alternativa sería olvidarse de algoritmos, trabajar el cálculo mental (pensado), desarrollando las estrategias adecuadas, de forma realmente flexible, y pasar a la calculadora cuando el tamaño de los números lo requiera.

La resta.

Restar es intrínsecamente más difícil que sumar. Y esto se evidencia tanto en la comprensión del concepto como en los algoritmos. Empezando por los algoritmos tradicionales, hay dos formas de arreglar el problema que surge cuando la cifra del minuendo es menor que la correspondiente del sustraendo.

resta

En el recuadro rojo de la figura (la resta de la izquierda) se muestra el algoritmo tradicional en España (y en otros países europeos). Aquí el problema de cómo se presenta en las aulas es claro. Decir “me llevo una” en el caso de la suma puede ser poco adecuado, pero en el caso de la resta es simplemente disparatado. No hay una, ni me la llevo a ningún sitio. Estamos simplemente trasladando la cantilena de la suma a una situación completamente distinta. Desde luego, con ese lenguaje es imposible que los alumnos entiendan nada, y mi impresión es que muchos niños empiezan a naufragar con la introducción del algoritmo de la resta. La idea para justificar el algoritmo es sencilla, otra cosa es que sea natural, o fácil de captar por el alumno de 1º-2º de primaria. Lo que hace el algoritmo es usar la propiedad de compensación: sumamos 10 unidades al minuendo y 1 decena al sustraendo. La diferencia se mantiene, y ya podemos hacer la cuenta. El lenguaje que se ha usado en España para presentar este algoritmo deja bien claro que la comprensión nunca ha estado entre nuestras preocupaciones a la hora de enseñar matemáticas.

La alternativa de la derecha, usada en el mundo anglosajón y en Asia (y llegando a nuestras aulas) consiste en desagrupar una decena, expresándola como 10 unidades. En el ejemplo, en lugar de 4 decenas y 2 unidades, tenemos 3 decenas y 12 unidades, y ya podemos seguir con el cálculo. Lo que he visto en las aulas es que se usa el término “prestar” y tampoco me parece adecuado, porque creo que deberíamos enseñar a nuestros alumnos que lo que te prestan tienes que devolverlo, y aquí no hay devolución posible. Creo que la verbalización del procedimiento debe estar adaptada al vocabulario de los niños, por supuesto, pero también debe reflejar el proceso de manera correcta. ¿Tomamos una decena, y la expresamos como 10 unidades? Quizá haya mejores alternativas. De nuevo, la experiencia de aula es imprescindible.resta-filas

La mayor dificultad de la resta queda en evidencia al tratar de buscar un análogo del segundo algoritmo para la suma. No veo alternativa mejor que la que muestra la figura, basada en una idea que circuló por twitter hace unos días.

Seguramente sea un ejercicio interesante, para 1º de la ESO, para trabajar la aritmética de los enteros, y hacer eso tan importante, y que tan pocas veces hacemos, que es reflexionar sobre las conexiones entre diferentes temas. Pero si hablamos de algoritmo para la resta en 2º-3º de primaria, no me parece una alternativa.

En cuanto a los algoritmos ABN, en la figura se muestra un ejemplo. Me parece que la tabla es suficientemente explícita: voy quitando del número mayor, y cuando lo he quitado todo me encuentro resta-abncon la diferencia.

Para terminar, una breve comparación. Sobre los ABN, los comentarios son los mismos que para la suma. Y no es casualidad, porque las ideas subyacentes son exactamente las mismas, claro.

De nuevo aquí se puede aplicar el comentario final sobre la suma: una opción podría ser prescindir de los algoritmos en columna (y de las tablas de los ABN), trabajar (con números del tamaño adecuado al desarrollo de los alumnos) técnicas de cálculo pensado, y recurrir a la calculadora cuando los números sean más grandes.

Finalmente, mi opinión sobre las dos alternativas para gestionar “las llevadas”: no conozco ningún resultado basado en trabajo de aula, pero estoy convencido de que hacer reagrupamientos en el minuendo es más natural que usar la compensación aumentando el sustraendo. Y creo que hay cierto consenso en el tema, a juzgar por cómo la primera de las alternativas va ganando terreno en las aulas y en los libros de texto. Otra cosa son los problemas que la transición está causando, con libros que empiezan con una alternativa para luego usar otra más adelante, o colegios donde se hace algo parecido, o el desconcierto de algunas familias cuando se encuentran con que no saben cómo resta su hijo. Este es otro tema, que quizá merezca tratarse en otra entrada, esta ya es demasiado larga.