La sorprendente aritmética elemental

Alguna vez he escrito sobre la importancia de presentar alguna demostración a los alumnos ya en la ESO, lo importante que es que lo que se quiere demostrar no sea «evidente» y lo complicado que es que al mismo tiempo la demostración sea suficientemente sencilla. Fuera de la geometría, no hay tantos ejemplos, y quiero compartir uno que he visto hoy a cuenta del número 24, desde @desmatematicos2 (vía @tocamates). La propiedad dice: si p es un número primo mayor que 3, entonces $p^2 - 1$ es múltiplo de 24. ¿No resulta realmente sorprendente? Pero de la sorpresa pasé a la maravilla cuando me di cuenta de lo sencillo que es demostrarlo, basta con escribir $p^2 - 1 = (p+1)(p-1)$ y analizar los divisores de los factores.

Ya sé que es muy posible que a la gran mayoría de un aula estándar de 2º-3º de ESO le resulte indiferente, pero apostaría a que si nos acostumbráramos a dedicarle algún rato perdido a cosas de este estilo habría algún alumno en el que podríamos despertar algo parecido a la curiosidad por las matemáticas. No todo son matemáticas realistas y aplicaciones, la simple belleza también juega su papel.

Geometría y razonamiento (II)

En los comentarios de la entrada anterior sobre este mismo tema surgió la problemática de demostrar cosas que «son evidentes». Es cierto que demostrar cosas que «se ven» tiene sus peligros, y ya escribí sobre ello en esta entrada sobre el Teorema de Bolzano. Lo que quiero presentar hoy son los dos resultados que más me gustan para intentar combatir este problema. El resultado no es nada evidente, quizá hasta desafía la intuición, pero se puede demostrar con geometría elemental.

El primero es sobre ángulos en la circunferencia. Me voy a permitir presentar el resultado, para los lectores que estén en mi situación de hace un par de años. Es un resultado que tenía completamente olvidado cuando lo redescubrí preparando las matemáticas para maestros, y que creo recordar que sólo lo estudié en el dibujo técnico de un primer curso de ingeniería, donde usamos el libro de Puig-Adam de Geometría Métrica (estoy hablando del curso 83-84, estoy seguro de que de este tipo de cosas no quedan rastros en las ingenierías, seguramente de forma totalmente justificada). Lo que no sé si es tan explicable es que no volviera a oír hablar de estas cosas a lo largo de una licenciatura en matemáticas.

Los ángulos $\angle APB$ y $\angle AQB$ se llaman ángulos inscritos, y el ángulo $\angle ACB$ es el ángulo central correspondiente. El resultado afirma que todo ángulo inscrito es la mitad del central correspondiente. En particular, por tanto, los ángulos $\angle APB$ y $\angle AQB$ son iguales, e iguales al ángulo $\angle AXB$ si X es cualquier punto del arco de circunferencia de color morado en la figura, que se llama arco capaz del segmento AB. Pues bien, que el ángulo $\angle AXB$ sea el mismo en todo el arco de circunferencia, es un resultado que no es muy intuitivo, en particular cuando el punto X está cerca del punto B. Hay varias demostraciones de este resultado. Esta es la que me parece más sencilla de entender:

Veamos primero el caso en que el segmento PA es un diámetro, como en la figura. En este caso, el resultado de deduce de manera inmediata de la observación de que el triángulo CBP es isósceles.

La segunda parte de la demostración se basa en la observación de que el caso general se puede reducir al primero, considerando el diámetro que pasa por C, tal y como se muestra en la figura. El resto es sólo escribir el argumento, aunque es cierto que si se decide hacerlo la elección del lenguaje más adecuado es importante.

El segundo es sobre secciones de pirámides (y prismas): si consideramos dos pirámides de igual base y altura, como las de la figura, y las cortamos por un plano horizontal, las secciones que se obtienen son iguales.

La demostración de esto la voy a dejar como «ejercicio para el lector». Me parece una aplicación muy bonita de la semejanza de triángulos, ya que lo que hay que hacer es simplemente demostrar que, en los dos casos:

el triángulo que se obtiene al cortar la pirámide con un plano horizontal es semejante a la base.
la razón de semejanza depende sólo de la altura del plano de corte.

Un último comentario: en especial en este segundo ejemplo, lo que he visto en muchos de mis alumnos es una especie de «reacción complementaria» a la que se produce cuando les demuestras algo «que se ve». Este resultado no es muy intuitivo, y cuando termino la demostración lo que veo en muchas caras es algo así como «vale, las matemáticas dirán lo que quieras, pero yo sigo viendo otra cosa» …

Geometría y razonamiento

Hoy tengo que escribir sobre un fracaso. Una de las asignaturas que imparto en magisterio es Matemáticas II, y está dedicada esencialmente a la Geometría (mas un tema de Estadística y Probabilidad). Como ya he escrito en alguna ocasión (y, por supuesto, no estoy descubriendo nada), un valor esencial de la geometría es que es el marco ideal para iniciarse en el razonamiento lógico. Aunque este aspecto está completamente desaparecido de nuestro currículo, uno de los objetivos importantes en mi planteamiento de la asignatura es intentar solventar ese problema. Como les digo a mis alumnos cuanto protestan porque les pido cosas que no están en los programas, espero que muchos de ellos estén dando clase en el año 2050, y espero que para entonces hayamos conseguido reconducir nuestro currículo de matemáticas básicas.

Pero tampoco este segundo año he quedado mínimamente satisfecho con el resultado. La realidad es que la proporción de alumnos que consiguen completar un argumento, por sencillo que sea, al final del curso, ha sido deprimentemente baja.

Como ya era el segundo año que impartía la asignatura, insistí una y otra vez en que los datos eran los que daba el enunciado y no lo que parecía que ocurría en la figura «a ojo». La corrección del parcial me enfrentó de bruces con la realidad de lo difícil que es cambiar los esquemas mentales de las personas (por cierto, uno de los hechos básicos de la psicología al que me parece que no se presta suficiente atención en la formación del profesorado, y que tenemos que ir descubriendo tropezón a tropezón). Éste era el problema:

Los argumentos que usaron aproximadamente el 90% de los alumnos se sustentaban, de una manera o de otra, en que la figura es simétrica respecto de la recta definida por A y R (por supuesto, sin argumentarlo en absoluto: simplemente, «se ve»). El resultado me pilló completamente de sorpresa. Tenía claro que seguramente para la mitad de los alumnos el problema resultaría demasiado complicado, pero hubo muchos casos de alumnos trabajadores, y que me parecía que estaban siguiendo la asignatura, que cometieron el error ante el que les había tratado de prevenir de forma reiterada. (1)

Por supuesto, tras el parcial no quedó otra que seguir insistiéndoles en los errores cometidos, y en el examen final intenté buscar un ejercicio menos complicado, pero que también requiriera un mínimo nivel de razonamiento. El problema lo encontré en este blog, que me descubrió @DavidBarba2 y que me parece absolutamente recomendable. Es el apartado b) de este problema:

Un detalle que me parece importante, y que quiero aclarar, es que para este tipo de preguntas no estoy especialmente interesado en el «rigor formal» o en el uso exhaustivo del lenguaje matemático. Un error que me parece muy frecuente en el inicio del razonamiento es introducir demasiado pronto un exceso de formalismo, que se convierte en una dificultad adicional (como creo que ocurre en las «two column proofs» de la geometría de High School en EEUU).

Un argumento del estilo de:

como las rectas r y s son paralelas, los ángulos a y b son suplementarios
por tanto, la mitad de a mas la mitad de b suman 90 grados
luego el tercer ángulo del triángulo PQZ es recto

me parece perfectamente válido, y así lo traté en la corrección.

Los resultados fueron mejores que en el caso anterior: 50 de los 152 alumnos presentados contestaron la pregunta de forma esencialmente correcta. De todas formas, el resultado sigue sin parecerme satisfactorio dada la (escasa) dificultad de la cuestión. Y, por supuesto, una cantidad aproximadamente igual contestaron algo en la línea de «se ve» que los segmentos PZ y QZ salen perpendiculares, y por tanto el triángulo es rectángulo …

Reconozco que esta entrada ha sido básicamente una catarsis personal. Querría terminar con mis conclusiones básicas. Como siempre que hablo de mis estudiantes de magisterio, debo aclarar que en ellos veo a un estudiante medio de nuestra ESO.

casi todos llegan sin distinguir algo que «parece ser cierto» de algo que «podemos comprobar que es cierto». Más aún, una buena parte sigue sin distinguirlo al final de curso.
llegan sin la idea de qué significa comprobar (demostrar) una afirmación, y está claro que menos de la mitad lo entienden tras dedicarle horas al tema.
más aún: la mayoría llega en el nivel 1 de van Hiele (no distinguen definiciones de propiedades). Se supone que es el nivel de un niño de primer ciclo de primaria. Tras tantos años estancados en ese punto, muchos de ellos no consiguen progresar …

(1) Aclaración: evidentemente, siempre que nos enfrentamos a un problema hay que tener claro de qué herramientas disponemos, y quizá no es del todo evidente en el texto. Los criterios de congruencia de triángulos son uno de los contenidos importantes del curso.

a+b+c = 180 º

Mi intención hoy es reflexionar sobre cuál es la mejor manera de presentar a los alumnos (digamos de 4º – 5º de primaria) el hecho de que la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º. Antes de nada, una aclaración (seguramente innecesaria): cualquiera de las opciones que voy a presentar, o cualquier otra que se nos pueda ocurrir, será mucho mejor que lo desgraciadamente habitual en nuestras aulas – el libro enuncia el resultado, como «verdad revelada», y a partir de ahí el hecho es cierto «porque lo dice el libro».

Claramente, el resultado debería ser introducido de forma experimental, midiendo los ángulos en una serie de triángulos y comprobando que la suma es en todos los casos (aproximadamente) 180º. Pero me parece esencial una segunda fase, en la que se presente un argumento general. Veamos dos opciones:

Opción 1: en la figura vemos la idea, creo que suficientemente conocida. Se colorean los ángulos de un triángulo hecho en cartulina, luego el triángulo se recorta por las flechas, y se comprueba que los tres ángulos completan un ángulo llano.

Opción 2: se considera la recta paralela a uno de los lados que pasa por el vértice opuesto. Evidentemente, este enfoque requiere haber trabajado antes la igualdad de los ángulos alternos-internos. (Este es un resultado más sencillo de entender y, en todo caso, se puede comprobar fácilmente recurriendo al corte de una cartulina).

Me falta la experiencia de aula para decantarme claramente por una de las dos opciones (o por alguna otra). Si tengo que dar mi opinión, me inclino por la segunda. Es muy posible que mi gusto por las matemáticas me condicione demasiado, pero creo que el argumento es suficientemente sencillo para que se entienda ya en estos cursos, y le veo dos ventajas: la primera, su belleza; la segunda,y más importante, que muestra cómo un resultado matemático – un teorema – se deduce usando resultados previamente establecidos. ¿Qué opináis?

Las demostraciones

La mayoría de los alumnos que entran en la universidad no saben distinguir cuándo se encuentran ante una demostración, cuándo ante un contraejemplo, cuándo ante la comprobación de un hecho en algún caso particular, y podríamos seguir. La causa es clara: la mayoría no se han tropezado nunca ni siquiera con un esbozo de argumento-demostración. Y la pena es que al no trabajar este tema les estamos privando de una de las competencias más importantes que les podrían aportar las matemáticas: la capacidad de razonar, argumentar, criticar, estudiar si un argumento es completo o no …

No se trata, por supuesto, de insistir en formalizar las ideas de manera prematura, ni obsesionarse con el rigor absoluto. Creo que la clave para poder trabajar este tema cuanto antes es lograr un equilibrio entre los argumentos y los hechos intuitivamente claros. Y, por supuesto, elegir muy bien las demostraciones que se van a trabajar.

¿Cuáles deberían ser las características de una demostración adecuada para primaria/secundaria? Desde mi punto de vista, las siguientes:

que demuestre un hecho que no sea intuitivamente claro; de lo contrario, podemos crear el efecto del que ya hablé en esta entrada, a propósito del Teorema de Bolzano.
que sea enriquecedora, en el sentido de que maneje conceptos que se están estudiando, y que por tanto ayude a entenderlos con mayor profundidad.
que el alumno pueda, al menos, intentar descubrirla por sus propios medios, o con algunas indicaciones.
que deje la puerta abierta a explorar variantes: generalizaciones, casos particulares, …

Por supuesto, hay algunas demostraciones que no cumplen todos estos requisitos, pero cuyo estudio me parece imprescindible, como el hecho de que la suma de los ángulos de un triángulo son 180º. Otras, como la demostración visual de la suma de los primeros n números impares, son totalmente recomendables. Su belleza y sencillez puede ayudar a que alguno de nuestros alumnos descubra el mundo de las matemáticas. Pero si pensamos en un resultado cuya demostración cumpla los cuatro requisitos mencionados anteriormente, mi favorito ahora mismo es el siguiente:

Si tomamos 3 múltiplos de 4 consecutivos, uno de ellos (y solo uno) es múltiplo de 3.

El resultado se puede introducir ya al final de primaria, cuando se estudia la divisibilidad por primera vez. Aunque sólo sea a través de ejemplos, me parece una buena herramienta para trabajar múltiplos y divisores. Es posible que muchos de los alumnos tengan ya totalmente anestesiada la curiosidad, pero si en alguno de ellos sobrevive algo de interés, creo que propiedades como esta pueden despertar el deseo de aprender más sobre los números.

Además, la demostración es elemental y formativa. Se trata simplemente de darse cuenta de que, a partir del resto de dividir N entre 3, podemos calcular los restos de los siguientes múltiplos, N+4 y N+8. Creo que con alguna ayuda no es imposible que algunos alumnos descubran, o completen, el argumento por sí mismos.

Por último, el 3 y el 4 del enunciado no tienen mucho de especial (si algo, naturalmente). 4 se puede cambiar por 5 o por 7, y el resultado sigue siendo cierto. Por tanto, bien al nivel completamente elemental de estudiar ejemplos, o bien al nivel de determinar cuándo se puede generalizar el argumento-demostración, nos queda abierta la puerta a estudiar para qué parejas de números un resultado análogo sigue siendo cierto.

Si Euclides levantara la cabeza …

La Geometría es, sin duda, el patito feo de las matemáticas. Su presencia en el curriculum la resumiría así:

en el primer y segundo ciclo de primaria, se presentan las formas y los elementos básicos, y se inician los problemas de medida de magnitudes. No voy a entrar de momento en el análisis más detallado de estas etapas, el objetivo de esta entrada es otro.
en el tercer ciclo de primaria se introducen los primeros problemas de áreas y volúmenes (en la gran mayoría de los casos, por supuesto, reduciendo estos a la mera aplicación de fórmulas «mágicas»).
en la ESO la situación no mejora, y la geometría sólo aparece de la mano del álgebra o la parte de la trigonometría, supongo que porque es cuando se pueden empezar a hacer algunas cuentas más.
en el Bachillerato vive su instante de gloria, a causa de su presencia en las pruebas de acceso a la Universidad. Pero para entonces, claro, cualquier profesor de Bachillerato habrá comprobado los tremendos problemas de visión espacial que tienen la mayoría de los alumnos, muchos de ellos incapaces de visualizar las diferentes posiciones relativas de dos rectas en el espacio. Por tanto, de nuevo casi todo se reduce a memorizar recetas sobre rangos de matrices y similares, para resolver los problemas correspondientes.

Hay dos aspectos de la Geometría cuya ausencia me parece especialmente significativa. El primero son las construcciones con regla y compás. Desde mi punto de vista, están en el corazón de la geometría, y sería desde luego la primera cosa que Euclides echaría de menos. Se suelen tratar en la asignatra de Dibujo más que en la de Matemáticas. Pero claro, cuando se hace una construcción en Dibujo, el ejercicio suele decir cosas como: pincha el compás en A y traza la circunferencia … Es imposible encontrar ningún tipo de razonamiento geométrico. Este fenómeno de trasladar los problemas geométricos que se resuelven con regla y compás a la asignatura de Dibujo me parece un error comparable a trasladar los problemas sobre disoluciones a la asignatura de Tecnología … porque se resuelven con calculadora.

Pero sin duda la gran ausente de nuestros planes de estudio es la geometría deductiva. Los preámbulos de los documentos oficiales subrayan que uno de los principales objetivos de la educación es formar ciudadanos con espíritu crítico, que sepan «pensar por sí mismos», pero luego dejan aparcada la parte de las matemáticas que más podría contribuir al desarrollo del pensamiento lógico y por tanto a la formación de ese espíritu crítico. Creo que, si Euclides levantara la cabeza, tras el primer susto, lo primero que haría sería correr a buscar a su amigo Platón, para ver si entre los dos conseguían que ese papel de la geometría deductiva como entrenador del pensamiento lógico fuera recuperado. ¿No sería todo un bombazo que abrieran una academia en cuya entrada se leyera, como hace más de 2000 años «Que no entre aquí nadie que no sepa Geometría»?

Quiero terminar esta entrada con un pequeño relato de un momento de una de mis clases de esta semana, que se va a quedar como uno de esos momentos especiales de mi carrera docente. Estábamos resolviendo en clase un problema de geometría, en el Grado de Primaria (Magisterio). El problema era el de la figura.

Como suelo hacer, un estudiante había explicado cómo lo había resuelto. Entre paréntesis, es muy llamativo lo que les cuesta a la mayoría verbalizar sus ideas con una mínima corrección. Pero está claro que esta competencia, que es importante siempre, resulta esencial para futuros maestros. Después de la explicación, quedaban dudas, de forma que volví a explicaro, esta vez yo, con todo detalle. Al terminar, se hizo ese silencio valorativo que surge algunas veces, y que te deja claro que has acertado con ese problema. No era ni muy sencillo, ni demasiado complicado. Algunos alumnos lo habían resuelto, pero otros no, y estos últimos ahora en clase lo habían entendido. Y entonces, en medio de ese silencio, se oye en el fondo de la clase: ¡Qué chulada! No se trataba de un alumno brillante, sino de uno «normal». Su tono, de sorpresa, con notas de admiración, me dejó inmediatamente claras dos cosas. La primera: ese alumno había pasado por nuestro sistema educativo sin haber sido expuesto en ningún momento a un auténtico razonamiento matemático, por sencillo que fuera; la segunda: a pesar de ello, estaba perfectamente capacitado para apreciar la belleza de la geometría.

El Teorema de Bolzano

Para cumplir con el compromiso de cubrir en este blog los tres ciclos educativos, le dedicaré esta entrada a un tema de las matemáticas a nivel universitario. Y empezaré con una aclaración. A pesar de haber estado la mayor parte del tiempo dando clases a estudiantes de ingeniería (17 de un total de 20 años) debo reconocer que en este nivel mis ideas están menos claras que en lo que respecta a las matemáticas de la enseñanza primaria y la secundaria. Y creo que la razón es la siguiente: tengo una idea bastante clara de qué matemáticas debería conocer un estudiante que termina primaria y secundaria (y cómo se le deberían contar para que las haya entendido y pueda ponerlas en práctica). Sin embargo, no tengo tan claro qué matemáticas debe conocer, y cómo debe utilizarlas, un químico, un ingeniero de telecomunicación, un informático …

Por supuesto, alguna idea sí tengo en particular sobre las dos titulaciones en las que he pasado más tiempo (Ingeniería de Telecomunicación e Ingeniería Informática). Pero aún en estos casos, no es sencillo conseguir la visión general adecuada.

En todo caso, mi objetivo en este post es tratar un problema más general. Una actitud muy extendida entre los matemáticos es la siguiente: las matemáticas tienen un valor formativo intrínseco. Por tanto, si se le explican matemáticas a un ingeniero, la «estructura mental» que adquiere durante el estudio es muy útil, y esto justifica por sí solo el estudio de esta materia.

Estoy totalmente de acuerdo con esta última frase, pero en mi opinión el razonamiento es incompleto: las matemáticas serán útiles a los alumnos que las hayan entendido. Si por culpa de que los contenidos no son adecuados para la titulación, o no sabemos convencer a los alumnos de que, en efecto, sí son adecuados, o los presentamos de forma demasiado abstracta, será difícil que los estudiantes capten el valor del aprendizaje de las matemáticas. El resultado será seguramente que sólo un pequeño porcentaje de alumnos – quizá los que tengan más gusto por las matemáticas – disfrutará de las ventajas mencionadas en el párrafo anterior.

Un ejemplo concreto, para terminar (y justificar el título del post). Hace 10 años explicaba Cálculo I a estudiantes de Ingeniería de Telecomunicación, y me parecía que demostrar el Teorema de Bolzano era esencial. Encontré hace poco una cita de Henri Poincarè, y creo que en ella se explicita muy bien el problema. La traducción es mía y la cita está tomada de esta página de Morris Kline.

«Cuando un alumno empieza a estudiar matemáticas en la Universidad, tiene un concepto de fracción, una idea de continuidad, y del área de una superficie curva; considera evidente, por ejemplo, que una función continua no puede cambiar de signo sin anularse. Si el profesor le dice: «No, eso no es evidente; debemos demostrarlo», ¿qué pensará el infortunado estudiante? Pensará que las matemáticas son sólo una acumulación arbitraria de sutilezas inútiles; quizá le disgustará, o quizá se divertirá con ello, como con un juego, y llegará a un estado mental análogo al de los sofistas griegos. ¿Se puede entender una teoría si se construye desde el principio en la forma definitiva que impone el rigor lógico? No, no puede entenderse, sólo se aprende de memoria.»

Más ideas, menos cuentas. Un blog sobre educación matemática.

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