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El rechazo a las matemáticas: un apunte

No es mi intención adentrarme en el tema del rechazo a las matemáticas, tan importante y sobre el que tanto se ha escrito. Pero es que la estupenda entrada de mi compañero David Orden Siete consejos para evitar que tu hijo odie las matemáticas (perfecta para unos padres cuyos hijos están entrando en el sistema escolar) ha coincidido con las tareas de 2º de Bachillerato que están empezando a llegar a mi casa estos días … No estoy diciendo que a la entrada de David le falta nada, porque yo tampoco tengo un remedio para el problema que quiero comentar, pero estoy seguro de que muchos padres que hayan leído la entrada, y que tengan hijos que ya hayan avanzado un poco en primaria, se habrán preguntado: vale, muy bien, pero ¿qué hago cuando mi hijo de 4º de primaria trae a casa, día tras día, 15 divisiones (o trabajos equivalentes en otros cursos)? Por supuesto que no tengo ni idea de lo extendido que está este problema, ¡nadie la tiene!

El dilema que plantea esa situación es realmente complicado, y desde luego no me atrevo a dar ningún consejo para afrontarla. Lo que sí tengo claro es que ese problema (el exceso de tareas rutinarias) está detrás del poco aprecio, o directamente aversión, de mucha gente ante las matemáticas. El primer día de clase dedico cierto tiempo para hablar con mis alumnos nuevos de magisterio sobre su actitud ante las matemáticas. El rechazo a las matemáticas no es generalizado, ni mucho menos. Diría que cerca de la mitad de la clase tiene un actitud positiva, o al menos neutra, ante la materia. Como he comentado alguna vez, creo que el perfil de los estudiantes de magisterio ha cambiado algo en los últimos años. Pero cuando pregunto a esa otra mitad de alumnos con rechazo, o sentimiento de incompetencia, o ambas cosas, la respuesta que encuentro muchas veces tiene que ver con el problema del tedio y la incomprensión de las tareas rutinarias que comento.

Para poner un ejemplo concreto, exactamente del mismo problema aunque correspondiente a un curso posterior, estos son los deberes que llegaron a mi casa, para hacer de miércoles a jueves (2º de Bachillerato):

2014-09-deberes(1) En el ejercicio 1 la frase «utilizando el método de Gauss» está tachada porque aún no lo han visto. Lo que tenían que hacer era la «fuerza bruta»: 4 ecuaciones, 4 incógnitas, y paciencia …

Como siempre digo, no se trata de «criticar al profesor». De hecho, cuando tras reprimirme durante todo el curso pasado, fui a hablar con la profesora de mi hija una vez terminado el curso, me encontré con un perfil de profesor sobre el que no había pensado lo suficiente, y al que le estoy dando vueltas desde entonces: me pareció una profesora muy trabajadora, preocupada por que sus alumnos aprendan y muy convencida de que estaba haciendo lo que tenía que hacer. El único problema es que su idea de qué son las matemáticas, y en qué consiste por tanto aprender matemáticas, no coincide con la mía.

Esta entrada participa en la Edición 5.6: Paul Erdős del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Cifras y Teclas.

Cuentas sin sentido

Me había prometido no incluir en este blog ejemplos de lo mal que están algunas cosas. Creo que todos somos conscientes de ello, y prefiero escribir en positivo. Sin embargo, en un mismo día de esta semana he visto dos cosas que me han dejado perplejo, y  creo que son ejemplos perfectos de hasta qué punto estamos rodeados de cuentas sin sentido.

En mi clase de Matemáticas para maestros les propuse el siguiente problema: «Si ahora son las 8 de la tarde, ¿qué hora era hace 2500 horas?». Cerca de la mitad de la clase no sabía cómo hacerlo. Insisto: no tengo queja de su motivación; lo intentaron, pero no sabían hacerlo. Pero lo que más me sorprendió es que cuando expuse la solución, a partir de la igualdad 2500 = 104 \times 24 + 4 aún había una cantidad significativa de alumnos, digamos que alrededor del 10%, que no entendían la solución, y con los que tuve que recurrir a ejemplos más sencillos, como tomar 28 horas, etc. Estoy seguro de que en su formación habían hecho decenas (posiblemente centenares) de divisiones, pero no entendían la idea básica de división.

Ese mismo día, al llegar a casa, mi hija mayor me cuenta que está estudiando los logaritmos. Está en 4º de ESO (para los lectores que no conozcan el sistema educativo español, se trata del 10º curso de la educación obligatoria). La verdad es que hasta ahora no había pensado en los logaritmos (lo pongo en la lista), así que no tengo mucho que decir acerca de cómo creo que se deberían tratar, pero creo que todos hemos escuchado la palabra en boca de gente «de letras» cuando quieren expresar lo esotérico e incomprensible de las matemáticas que estudiaron al final de la educación obligatoria. Mi hija no tenía mayores problemas con el tema, sólo quería enseñarme lo raras que eran algunas cuentas que estaba haciendo. Aquí están escaneadas las dos a las que les daría los primeros premios en el concurso:

Otra cosa que me llamó poderosamente la atención de su cuaderno es que tenía una lista de ¡7! propiedades de los logaritmos. La primera decía: «El logaritmo de la base elevada a una potencia es la potencia». Preferí no seguir leyendo …

Como digo, no tengo una propuesta clara sobre el tema, así que voy a terminar con las dos primeras observaciones que se me ocurren:

  1. Una vez más, la interdisciplinariedad es clave. Es la primera vez que estudian los logaritmos, pero para algunos será la última, y hablar ya en esta ocasión de los decibelios, o el pH, o la escala de Richter para medir la intensidad de los terremotos,  es imprescindible para que el tema tenga algún sentido.
  2. La idea matemática fundamental es, desde luego, que el logaritmo es la inversa de la función exponencial.

A partir de aquí, la observación es la general: ¿qué queremos conseguir cuando les ponemos a hacer cuentas?

El número de dos cifras

Contar es la primera actividad matemática que ha practicado todo ser humano. Por supuesto, se le debe dedicar la atención necesaria en los primeros años de escolarización, pero creo que su enseñanza no presenta grandes dificultades. Después de todo, los monos saben contar. (Es cierto que existe un pequeño porcentaje de niños con algún trastorno del aprendizaje que les puede ocasionar dificultades en el recuento, pero no voy a cometer la osadía de hablar de este tema, no lo conozco).

Creo que el primer momento en el que aparece la disyuntiva entre un aprendizaje reflexivo y basado en las ideas, y un aprendizaje basado en las rutinas y la memoria, es en el primer curso de primaria, con la introducción del número de dos cifras. Salvo escasas excepciones, la metodología utilizada en nuestro país (y presentada por los textos mayoritarios) es la siguiente: tras un repaso de los números del 0 al 9, se introducen los números del 10 al 19 en el tema 1, los números del 20 al 29 en el tema 2, y así sucesivamente. Al terminar el tema 9, hemos llegado al número 99. La confusión que un niño debe experimentar cuando le dicen que los conocidos símbolos 1 y 0, al yuxtaponenerse se convierten en el número que sigue al 9 es difícil de imaginar. Bueno, los lectores que no conozcan la representación de un número en base b podrían llegar a intuirla, si se paran a pensar en cómo escribiríamos el número 8 si los humanos tuviéramos 8 dedos y contáramos, por tanto, haciendo «octenas» en lugar de decenas.

Por supuesto, este enfoque basado en la memoria crea todo tipo de problemas de aprendizaje, y la aparición del 0 será motivo de quebraderos de cabeza para muchos niños durante años: si aparece en una posición intermedia en números de 3 ó más cifras, si aparece en el multiplicador, o en el dividendo, o en el divisor …

Durante la introducción de los números se hacen, por supuesto, multitud de ejercicios del tipo:

  • Descompón el número 50 como 50 + 8.
  • Subraya (o colorea) las decenas y las unidades.
  • …

Desde mi punto de vista, se trata sólo de parches, y lo normal es que muchos niños terminen el proceso sin haber desarrollado lo que debería ser el objetivo fundamental de esta etapa, adquirir sentido númerico, y entender el sistema de notación posicional. Esto hace que, para calcular una suma como 67 + 10 su única herramienta sea el conteo, y que necesiten el algoritmo de la suma para poder empezar a hacer cálculos sencillos.

¿Cuál es, entonces, la alternativa? La primera idea importante que se debería transmitir es que vamos a contar «haciendo grupos de diez» (ojo: esto no quiere decir que ya tengamos que introducir la representación del diez como 10). Se deberían hacer ejercicios de conteo durante varias clases, que los niños responderían con frases como: «aquí hay 3 grupos de diez y 4». Tras esta primera etapa, ya estarían preparados para que les digamos que ese número se representa como 34.  No voy a exponer aquí una secuencia metodológica detallada (aunque sería muy interesante saber si la carencia de materiales adecuados es una barrera importante para la extensión de este enfoque). Lo esencial es darse cuenta de que, con este enfoque, el niño puede plantearse el cálculo de forma mucho más reflexiva, generando sus propios procedimientos o, en otro caso, entendiendo los que se le presentan.

Un último comentario: sé que no estoy inventando nada, y lo que voy descubriendo de los países con mejores resultados en los tests internacionales es que ya han emprendiendo este camino (algunos hace años). En esta entrada ya comenté que en Holanda no se plantean el estudio de los algoritmos tradicionales de la aritmética hasta 4º de primaria. Otro ejemplo: en Canadá (bueno, en Alberta, cada provincia tiene su curriculum) se menciona una y otra vez la comprensión de los temas, y los algoritmos pasan casi completamente desapercibidos, como se puede ver en este documento.