Cuentas sin sentido

Me había prometido no incluir en este blog ejemplos de lo mal que están algunas cosas. Creo que todos somos conscientes de ello, y prefiero escribir en positivo. Sin embargo, en un mismo día de esta semana he visto dos cosas que me han dejado perplejo, y  creo que son ejemplos perfectos de hasta qué punto estamos rodeados de cuentas sin sentido.

En mi clase de Matemáticas para maestros les propuse el siguiente problema: “Si ahora son las 8 de la tarde, ¿qué hora era hace 2500 horas?”. Cerca de la mitad de la clase no sabía cómo hacerlo. Insisto: no tengo queja de su motivación; lo intentaron, pero no sabían hacerlo. Pero lo que más me sorprendió es que cuando expuse la solución, a partir de la igualdad  2500 = 104 \times 24 + 4 aún había una cantidad significativa de alumnos, digamos que alrededor del 10%, que no entendían la solución, y con los que tuve que recurrir a ejemplos más sencillos, como tomar 28 horas, etc. Estoy seguro de que en su formación habían hecho decenas (posiblemente centenares) de divisiones, pero no entendían la idea básica de división.

Ese mismo día, al llegar a casa, mi hija mayor me cuenta que está estudiando los logaritmos. Está en 4º de ESO (para los lectores que no conozcan el sistema educativo español, se trata del 10º curso de la educación obligatoria). La verdad es que hasta ahora no había pensado en los logaritmos (lo pongo en la lista), así que no tengo mucho que decir acerca de cómo creo que se deberían tratar, pero creo que todos hemos escuchado la palabra en boca de gente “de letras” cuando quieren expresar lo esotérico e incomprensible de las matemáticas que estudiaron al final de la educación obligatoria. Mi hija no tenía mayores problemas con el tema, sólo quería enseñarme lo raras que eran algunas cuentas que estaba haciendo. Aquí están escaneadas las dos a las que les daría los primeros premios en el concurso:

Otra cosa que me llamó poderosamente la atención de su cuaderno es que tenía una lista de ¡7! propiedades de los logaritmos. La primera decía: “El logaritmo de la base elevada a una potencia es la potencia”. Preferí no seguir leyendo …

Como digo, no tengo una propuesta clara sobre el tema, así que voy a terminar con las dos primeras observaciones que se me ocurren:

  1. Una vez más, la interdisciplinariedad es clave. Es la primera vez que estudian los logaritmos, pero para algunos será la última, y hablar ya en esta ocasión de los decibelios, o el pH, o la escala de Richter para medir la intensidad de los terremotos,  es imprescindible para que el tema tenga algún sentido.
  2. La idea matemática fundamental es, desde luego, que el logaritmo es la inversa de la función exponencial.

A partir de aquí, la observación es la general: ¿qué queremos conseguir cuando les ponemos a hacer cuentas?

¿Por qué soy mejor profesor en magisterio …

… que cuando daba clases en Ingeniería de Telecomunicación o en Ingeniería Informática?

Creo que tengo suficientes indicios para dar por esto por cierto. Aunque el hecho en sí  no tiene mayor relevancia, creo  que mis reflexiones sobre el porqué sí pueden tener cierto interés general. Básicamente veo dos razones, la primera tiene que ver conmigo, y la segunda con mis alumos.

  1. Tengo una visión completa y coherente de las matemáticas que quiero enseñar a los estudiantes de magisterio. Ojo: no estoy diciendo que mi visión sea la única posible, ni siquiera que sea la mejor. Sólo digo que puedo defender que es completa y coherente.
    No es que no me preocupara este tema cuando daba clases a futuros ingenieros. Dediqué más de un rato a pensar sobre el tema de qué matemáticas necesita un ingeniero, y cómo enseñárselas. Pero nunca tuve, ni de lejos, la visión global que ahora tengo sobre las matemáticas que necesita un futuro maestro.
  2. Mis estudiantes son conscientes, desde el primer momento, de que necesitan aprender matemáticas. En muchos casos, simplemente no conocen los conceptos básicos. En otros, aún cuando sepan lo suficiente para desenvolverse como alumnos, es relativamente fácil ponerles en situaciones que dejan claro que no dominan los conceptos al nivel suficiente para reaccionar de forma coherente en situaciones comunes en las matemáticas de primaria.
    Por supuesto, este apartado está relacionado con el anterior. Que yo tenga una perspectiva global de las matemáticas que necesita un maestro, y para qué las necesita,  me facilita enormemente la tarea de convencerles de que necesitan aprender matemáticas.

Si Euclides levantara la cabeza …

La Geometría es, sin duda, el patito feo de las matemáticas. Su presencia en el curriculum la resumiría así:

  • en el primer  y segundo ciclo de primaria, se presentan las formas y los elementos básicos, y se inician los problemas de medida de magnitudes. No voy a entrar de momento en el análisis más detallado de estas etapas, el objetivo de esta entrada es otro.
  • en el tercer ciclo de primaria se introducen los primeros problemas de áreas y volúmenes (en la gran mayoría de los casos, por supuesto, reduciendo estos a la mera aplicación de fórmulas “mágicas”).
  • en la ESO la situación no mejora, y la geometría sólo aparece de la mano del álgebra o la parte de la trigonometría, supongo que porque es cuando se pueden empezar a hacer algunas cuentas más.
  • en el Bachillerato vive su instante de gloria, a causa de su presencia en las pruebas de acceso a la Universidad. Pero para entonces, claro, cualquier profesor de Bachillerato habrá comprobado los tremendos problemas de visión espacial que tienen la mayoría de los alumnos, muchos de ellos incapaces de visualizar las diferentes posiciones relativas de dos rectas en el espacio. Por tanto, de nuevo casi todo se reduce a memorizar recetas sobre rangos de matrices y similares, para resolver los problemas correspondientes.

Hay dos aspectos de la Geometría cuya ausencia me parece especialmente significativa. El primero son las construcciones con regla y compás. Desde mi punto de vista, están en el corazón de la geometría, y sería desde luego la primera cosa que Euclides echaría de menos. Se suelen tratar en la asignatra de Dibujo más que en la de Matemáticas. Pero claro, cuando se hace una construcción en Dibujo, el ejercicio suele decir cosas como: pincha el compás en A y traza la circunferencia … Es imposible encontrar ningún tipo de razonamiento geométrico. Este fenómeno de trasladar los problemas geométricos que se resuelven con regla y compás a la asignatura de Dibujo me parece un error comparable a trasladar los problemas sobre disoluciones a la asignatura de Tecnología … porque se resuelven con calculadora.

Pero sin duda la gran ausente de nuestros planes de estudio es la geometría deductiva. Los preámbulos de los documentos oficiales subrayan que uno de los principales objetivos de la educación es formar ciudadanos con espíritu crítico, que sepan “pensar por sí mismos”, pero luego dejan aparcada la parte de las matemáticas que más podría contribuir al desarrollo del pensamiento lógico y por tanto a la formación de ese espíritu crítico. Creo que, si Euclides levantara la cabeza, tras el primer susto, lo primero que haría sería correr a buscar a su amigo Platón, para ver si entre los dos conseguían que ese papel de la geometría deductiva como entrenador del pensamiento lógico fuera recuperado. ¿No sería todo un bombazo que abrieran una academia en cuya entrada se leyera, como hace más de 2000 años “Que no entre aquí nadie que no sepa Geometría”?

Quiero terminar esta entrada con un pequeño relato de un momento de una de mis clases de esta semana, que se va a quedar como uno de esos momentos especiales de mi carrera docente. Estábamos resolviendo en clase un problema de geometría, en el Grado de Primaria (Magisterio). El problema era el de la figura.

Como suelo hacer, un estudiante había explicado cómo lo había resuelto. Entre paréntesis, es muy llamativo lo que les cuesta a la mayoría verbalizar sus ideas con una mínima corrección.  Pero está claro que esta competencia, que es importante siempre, resulta esencial para futuros maestros. Después de la explicación, quedaban dudas, de forma que volví a explicaro, esta vez yo, con todo detalle. Al terminar, se hizo ese silencio valorativo que surge algunas veces, y que te deja claro que has acertado con ese problema. No era ni muy sencillo, ni demasiado complicado. Algunos alumnos lo habían resuelto, pero otros no, y estos últimos ahora en clase lo habían entendido. Y entonces, en medio de ese silencio, se oye en el fondo de la clase: ¡Qué chulada! No se trataba de un alumno brillante, sino de uno “normal”. Su tono, de sorpresa, con notas de admiración, me dejó inmediatamente claras dos cosas. La primera: ese alumno había pasado por nuestro sistema educativo sin haber sido expuesto en ningún momento a un auténtico razonamiento matemático, por sencillo que fuera; la segunda:  a pesar de ello, estaba perfectamente capacitado para apreciar la belleza de la geometría.

El número de dos cifras

Contar es la primera actividad matemática que ha practicado todo ser humano. Por supuesto, se le debe dedicar la atención necesaria en los primeros años de escolarización, pero creo que su enseñanza no presenta grandes dificultades. Después de todo, los monos saben contar. (Es cierto que existe un pequeño porcentaje de niños con algún trastorno del aprendizaje que les puede ocasionar dificultades en el recuento, pero no voy a cometer la osadía de hablar de este tema, no lo conozco).

Creo que el primer momento en el que aparece la disyuntiva entre un aprendizaje reflexivo y basado en las ideas, y un aprendizaje basado en las rutinas y la memoria, es en el primer curso de primaria, con la introducción del número de dos cifras. Salvo escasas excepciones, la metodología utilizada en nuestro país (y presentada por los textos mayoritarios) es la siguiente: tras un repaso de los números del 0 al 9, se introducen los números del 10 al 19 en el tema 1, los números del 20 al 29 en el tema 2, y así sucesivamente. Al terminar el tema 9, hemos llegado al número 99. La confusión que un niño debe experimentar cuando le dicen que los conocidos símbolos 1 y 0, al yuxtaponenerse se convierten en el número que sigue al 9 es difícil de imaginar. Bueno, los lectores que no conozcan la representación de un número en base b podrían llegar a intuirla, si se paran a pensar en cómo escribiríamos el número 8 si los humanos tuviéramos 8 dedos y contáramos, por tanto, haciendo “octenas” en lugar de decenas.

Por supuesto, este enfoque basado en la memoria crea todo tipo de problemas de aprendizaje, y la aparición del 0 será motivo de quebraderos de cabeza para muchos niños durante años: si aparece en una posición intermedia en números de 3 ó más cifras, si aparece en el multiplicador, o en el dividendo, o en el divisor …

Durante la introducción de los números se hacen, por supuesto, multitud de ejercicios del tipo:

  • Descompón el número 50 como 50 + 8.
  • Subraya (o colorea) las decenas y las unidades.

Desde mi punto de vista, se trata sólo de parches, y lo normal es que muchos niños terminen el proceso sin haber desarrollado lo que debería ser el objetivo fundamental de esta etapa, adquirir sentido númerico, y entender el sistema de notación posicional. Esto hace que, para calcular una suma como  67 + 10 su única herramienta sea el conteo, y que necesiten el algoritmo de la suma para poder empezar a hacer cálculos sencillos.

¿Cuál es, entonces, la alternativa? La primera idea importante que se debería transmitir es que vamos a contar “haciendo grupos de diez” (ojo: esto no quiere decir que ya tengamos que introducir la representación del diez como 10). Se deberían hacer ejercicios de conteo durante varias clases, que los niños responderían con frases como: “aquí hay 3 grupos de diez y 4”. Tras esta primera etapa, ya estarían preparados para que les digamos que ese número se representa como 34.  No voy a exponer aquí una secuencia metodológica detallada (aunque sería muy interesante saber si la carencia de materiales adecuados es una barrera importante para la extensión de este enfoque). Lo esencial es darse cuenta de que, con este enfoque, el niño puede plantearse el cálculo de forma mucho más reflexiva, generando sus propios procedimientos o, en otro caso, entendiendo los que se le presentan.

Un último comentario: sé que no estoy inventando nada, y lo que voy descubriendo de los países con mejores resultados en los tests internacionales es que ya han emprendiendo este camino (algunos hace años). En esta entrada ya comenté que en Holanda no se plantean el estudio de los algoritmos tradicionales de la aritmética hasta 4º de primaria. Otro ejemplo: en Canadá (bueno, en Alberta, cada provincia tiene su curriculum) se menciona una y otra vez la comprensión de los temas, y los algoritmos pasan casi completamente desapercibidos, como se puede ver en este documento.