Queda para esta última entrada sobre las fracciones la división, que es la operación más complicada de introducir. Lo esencial, desde luego, es que se entienda que es una extensión de la operación que ya se conoce para los números enteros. Conozco dos alternativas, las dos con sus propias ventajas e inconvenientes:

1. el enfoque estrictamente algebraico: dividir es multiplicar por el inverso. Por supuesto, este enfoque lleva al algoritmo, generalmente utilizado en los países anglosajones de «invertir y multiplicar». Creo que la gran ventaja de este enfoque es que ayuda a asimilar la conexión entre multiplicación y división, fundamental en el razonamiento algebraico. Para trabajar de esta forma las fracciones es esencial haber insistido antes en que, por ejemplo, dividir por 2 es lo mismo que multiplicar por 1/2. El inconveniente de este enfoque es que esconde la conexión con la división de enteros: el problema de «cuántas veces cabe» el divisor en el dividendo.
2. reducir a común denominador. Dividir 11/3 entre 3/2 se puede modelar, siguiendo lo que ya se conoce de la división en el conjunto de los enteros, como el problema de cuántas veces cabe 3/2 en 11/3. Si reducimos a común denominador, tenemos el problema de cuántas veces cabe 9/6 en 22/6. Si se ha trabajado antes la representación de las fracciones en la recta numérica, como se proponía en las entradas anteriores sobre fracciones, y se ha entendido que el denominador simplemente fija la unidad de medida, creo que es fácil entender que la respuesta es la misma que cuántas veces cabe 9 en 22, es decir, 22/9.  La gran ventaja de este enfoque es que extiende de manera natural esta interpretación de la división de números enteros (aunque, claro, no la del reparto). El principal inconveniente es el algorítmico. Desde mi punto de vista este inconveniente no es tan importante. Me parece mucho más relevante entender qué se está haciendo al dividir dos fracciones que ser capaz de hacer N divisiones por minuto. En todo caso, una opción que puede ser razonable en la práctica es introducir la operación con este enfoque, y ver que coincide con el algebraico, lo que nos proporciona un algoritmo eficiente.

El procedimiento de «multiplicar en cruz» me parece inferior a estos dos. Ni ayuda con la introducción al álgebra que supone el enfoque 1) ni da ningún sentido a la operación, como sí hace el enfoque 2). Además, desde el punto de vista puramente algorítmico, es proclive al error que estoy seguro que todos hemos visto: todos los niños multiplican en cruz, de acuerdo. Pero, «¿qué va arriba y qué va abajo?» …

En la última entrada sobre las fracciones quedaron pendientes dos de las operaciones aritméticas básicas: la multiplicación y la división.

El problema con la multiplicación de fracciones es que, precisamente porque el algoritmo es muy sencillo, se pasa por ella demasiado deprisa, sin detenerse en el sentido que tiene. Las dificultades surgen cuando la multiplicación de fracciones aparece en la resolución de problemas. Se pueden ver entonces los «parches a la desesperada». El otro día, en 2º de la ESO, a mi hija le dijeron, textualmente «si dice de lo que quedaba, entonces se multiplica». Otro enfoque que he visto en varios libros, más sistemático, es hablar de «la fracción como operador». Pero esto me parece un paso en la dirección equivocada, porque insiste en presentar a las fracciones como objetos nuevos, con propiedades «esotéricas» (es la primera vez que un alumno lee la palabra operador) cuando creo que la dirección correcta es presentar las fracciones como una extensión natural de los conjuntos numéricos ya conocidos. No hay ninguna diferencia conceptual entre «el doble de» y «tres quintos de». De la misma forma que no vemos necesario hablar de «el dos como operador», no veo la necesidad de hablar de  «la fracción como operador».

Seguro que hay más opciones para dotar de sentido a la multiplicación de fracciones. Aquí voy a presentar las dos que más me gustan.

• Si el concepto de fracción se ha entendido, la multiplicación de un número entero por una fracción, como en no presenta mayor dificultad. «Tres veces dos quintos son seis quintos». Y no hace ninguna falta, desde luego, «convertir al 3 en fracción». No podemos ahora, desde luego, recurrir a la propiedad conmutativa: no se trata de que hagan la cuenta , sino que queremos que entiendan qué significa «dos quintos de algo». Para ello, primero  se presenta la multiplicación por fracciones con numerador 1. Un quinto de un número entero (en los primeros ejemplos, un múltiplo de 5) es igual de intuitivo que «el doble de algo».  Se trabaja además la idea de que multiplicar por 1/5 es lo mismo que dividir por 5. Cada vez leo más sobre – y esto convencido de – la importancia que tiene prestarle atención a estos hechos en la aritmética para conseguir una buena iniciación al álgebra. Se introduce después 1/5 de una fracción, viendo que es equivalente dividir el numerador (cuando sea múltiplo de 5, claro) y multiplicar el denominador. Finalmente, una vez entendido 1/5 de algo, creo que el paso a que «dos quintos de algo» es «dos veces un quinto de algo» es el más sencillo del proceso.
• La geometría nos proporciona aquí un sencillo ejemplo que muestra que la multiplicación de fracciones generaliza lo que ya conocemos sobre multiplicación de números enteros. Un rectángulo de dimensiones 5 x 3 está formado por un total de 15 cuadrados unitarios. De la misma forma, la multiplicación de las fracciones 3/4 y 2/3 nos muestra que un rectángulo de esas dimensiones está formado por 6 rectángulos (ahora ya no son cuadrados), cada uno con un área de 1/12. (Esta interpretación la vi por primera vez en el libro Parker-Baldridge: Elementary mathematics for teachers).

Pensaba tratar hoy también el tema de la división, pero la multiplicación me ha llevado mucho más tiempo de lo que creía. De manera que la división de fracciones será el tema de una próxima entrada. Lo siento, David  🙂