Las fracciones (y 3)

Queda para esta última entrada sobre las fracciones la división, que es la operación más complicada de introducir. Lo esencial, desde luego, es que se entienda que es una extensión de la operación que ya se conoce para los números enteros. Conozco dos alternativas, las dos con sus propias ventajas e inconvenientes:

  1. el enfoque estrictamente algebraico: dividir es multiplicar por el inverso. Por supuesto, este enfoque lleva al algoritmo, generalmente utilizado en los países anglosajones de “invertir y multiplicar”. Creo que la gran ventaja de este enfoque es que ayuda a asimilar la conexión entre multiplicación y división, fundamental en el razonamiento algebraico. Para trabajar de esta forma las fracciones es esencial haber insistido antes en que, por ejemplo, dividir por 2 es lo mismo que multiplicar por 1/2. El inconveniente de este enfoque es que esconde la conexión con la división de enteros: el problema de “cuántas veces cabe” el divisor en el dividendo.
  2. reducir a común denominador. Dividir 11/3 entre 3/2 se puede modelar, siguiendo lo que ya se conoce de la división en el conjunto de los enteros, como el problema de cuántas veces cabe 3/2 en 11/3. Si reducimos a común denominador, tenemos el problema de cuántas veces cabe 9/6 en 22/6. Si se ha trabajado antes la representación de las fracciones en la recta numérica, como se proponía en las entradas anteriores sobre fracciones, y se ha entendido que el denominador simplemente fija la unidad de medida, creo que es fácil entender que la respuesta es la misma que cuántas veces cabe 9 en 22, es decir, 22/9.  La gran ventaja de este enfoque es que extiende de manera natural esta interpretación de la división de números enteros (aunque, claro, no la del reparto). El principal inconveniente es el algorítmico. Desde mi punto de vista este inconveniente no es tan importante. Me parece mucho más relevante entender qué se está haciendo al dividir dos fracciones que ser capaz de hacer N divisiones por minuto. En todo caso, una opción que puede ser razonable en la práctica es introducir la operación con este enfoque, y ver que coincide con el algebraico, lo que nos proporciona un algoritmo eficiente.

El procedimiento de “multiplicar en cruz” me parece inferior a estos dos. Ni ayuda con la introducción al álgebra que supone el enfoque 1) ni da ningún sentido a la operación, como sí hace el enfoque 2). Además, desde el punto de vista puramente algorítmico, es proclive al error que estoy seguro que todos hemos visto: todos los niños multiplican en cruz, de acuerdo. Pero, “¿qué va arriba y qué va abajo?” …

Anuncios

TIMSS 2011 – España, de mal en peor …

Ayer se publicaron los resultados del estudio TIMSS 2011. El TIMSS es el estudio internacional más amplio sobre competencias en matemáticas, ciencias y lengua. La principal diferencia con el quizá más conocido PISA es que el TIMSS evalúa niños en 4º año y en 8º año. España sólo ha participado en el estudio del 4º año (niños de 9-10 años), supongo que porque la otra edad ya está cubierta por PISA. Ningún dato es bueno, pero si nos centramos en Matemáticas, yo calificaría los resultados de alarmantes. Creo que la presentación que se ha hecho en la prensa, “España, por debajo de la media …” es muy benevolente. Es verdad que los datos están normalizados para que la media sea 500, y que España, con un resultado en Matemáticas de 482, está por debajo, aunque cerca, de la media. Pero si los periodistas tuvieran un poco más de formación matemática, deberían haberse dado cuenta de que el TIMSS es un estudio muy amplio, y que participan países con resultados realmente pobres (Yemen, 246, Marruecos, 335), que bajan la media significativamente. Si nos centramos en los países de la Unión Europea, donde está España es en una cerrada competición por el último lugar: Polonia – 481-, Rumanía -482 -, España -482-. El resto de los participantes  -y son casi todos, sólo detecto la ausencia de Francia (llamativa, no conozco las razones)-, están por encima (muchos, muy por encima). El informe completo se puede obtener en este enlace, y los resultados globales en matemáticas están en la página 40 (Capítulo 1).

Es verdad que la lengua materna es un tema muy sensible, y que cualquier reforma educativa que quiera modificar el estatus quo debe necesariamente generar un fuerte debate, pero si nos quedara un mínimo de sensatez como país creo que datos como el de este estudio deberían ocupar, al menos, el mismo espacio que el tema lingüístico en el debate social.

Las causas de los pobres resultados de la enseñanza de las matemáticas en primaria son uno de los orígenes de este blog, pero quiero aprovechar esta entrada para exponer un problema muy concreto, creo que poco conocido, y sobre el que cuanto más sé más preocupación me provoca. En los programas de Magisterio del año 1992 desapareció la especialidad de “maestro especialista en ciencias”  (tampoco quiero sugerir que debería recuperarse, una de las evidencias de estudios como el TIMSS es que en los países con mejores resultados los profesores de primaria son generalistas, eso sí, con una adecuada formación matemática) y aparecieron estas especialidades: lengua extranjera, educación infantil, educación primaria, educación musical, educación física. La formación matemática de un estudiante de las especialidades de lengua extranjera, educación musical y educación física era realmente reducida: una asignatura de 4,5 créditos. Para que todo el mundo lo entienda: una asignatura de 3 horas semanales durante 15 semanas. Es difícil describir la escasa formación matemática de estos estudiantes (porque, además, para una gran mayoría de ellos las matemáticas no eran precisamente la asignatura preferida durante su formación primaria y secundaria). Pues bien, el problema que ha ido surgiendo desde entonces es que, una vez en los colegios, no ha habido ninguna traba administrativa para que esos maestros especialistas se convirtieran en generalistas. Unas veces por necesidad del centro, otras por conveniencia personal, se ha producido ese cambio sin ningún tipo de control. No tengo datos de la extensión del fenómeno (me pregunto si alguna autoridad los tiene, en este país donde faltan datos de casi todo), pero en todos los colegios en los que he sondeado el tema (no han sido muchos, es cierto), siempre me he encontrado algún caso.

El origen del problema se ha corregido: en los nuevos grados de magisterio las únicas especialidades son Infantil y Primaria. Pero tenemos en nuestras aulas un número indeterminado de maestros que están dando clases de matemáticas, y estarán durante los próximos 30 años, sin una formación mínimamente adecuada.  La reflexión final es clara: sin un programa adecuado de formación permanente del profesorado – casi utópico en estos tiempos – es muy difícil que la enseñanza de las matemáticas en primaria mejore significativamente.

Las fracciones (II)

En la última entrada sobre las fracciones quedaron pendientes dos de las operaciones aritméticas básicas: la multiplicación y la división.

El problema con la multiplicación de fracciones es que, precisamente porque el algoritmo es muy sencillo, se pasa por ella demasiado deprisa, sin detenerse en el sentido que tiene. Las dificultades surgen cuando la multiplicación de fracciones aparece en la resolución de problemas. Se pueden ver entonces los “parches a la desesperada”. El otro día, en 2º de la ESO, a mi hija le dijeron, textualmente “si dice de lo que quedaba, entonces se multiplica”. Otro enfoque que he visto en varios libros, más sistemático, es hablar de “la fracción como operador”. Pero esto me parece un paso en la dirección equivocada, porque insiste en presentar a las fracciones como objetos nuevos, con propiedades “esotéricas” (es la primera vez que un alumno lee la palabra operador) cuando creo que la dirección correcta es presentar las fracciones como una extensión natural de los conjuntos numéricos ya conocidos. No hay ninguna diferencia conceptual entre “el doble de” y “tres quintos de”. De la misma forma que no vemos necesario hablar de “el dos como operador”, no veo la necesidad de hablar de  “la fracción como operador”.

Seguro que hay más opciones para dotar de sentido a la multiplicación de fracciones. Aquí voy a presentar las dos que más me gustan.

  • Si el concepto de fracción se ha entendido, la multiplicación de un número entero por una fracción, como en  3 \times 2/5 no presenta mayor dificultad. “Tres veces dos quintos son seis quintos”. Y no hace ninguna falta, desde luego, “convertir al 3 en fracción”. No podemos ahora, desde luego, recurrir a la propiedad conmutativa: no se trata de que hagan la cuenta  2/5 \times 3 , sino que queremos que entiendan qué significa “dos quintos de algo”. Para ello, primero  se presenta la multiplicación por fracciones con denominador 1. Un quinto de un número entero (en los primeros ejemplos, un múltiplo de 5) es igual de intuitivo que “el doble de algo”.  Se trabaja además la idea de que multiplicar por 1/5 es lo mismo que dividir por 5. Cada vez leo más sobre – y esto convencido de – la importancia que tiene prestarle atención a estos hechos en la aritmética para conseguir una buena iniciación al álgebra. Se introduce después 1/5 de una fracción, viendo que es equivalente dividir el numerador (cuando sea múltiplo de 5, claro) y multiplicar el denominador. Finalmente, una vez entendido 1/5 de algo, creo que el paso a que “dos quintos de algo” es “dos veces un quinto de algo” es el más sencillo del proceso.
  • La geometría nos proporciona aquí un sencillo ejemplo que muestra que la multiplicación de fracciones generaliza lo que ya conocemos sobre multiplicación de números enteros. Un rectángulo de dimensiones 5 x 3 está formado por un total de 15 cuadrados unitarios. De la misma forma, la multiplicación de las fracciones 3/4 y 2/3 nos muestra que un rectángulo de esas dimensiones está formado por 6 rectángulos (ahora ya no son cuadrados), cada uno con un área de 1/12. (Esta interpretación la vi por primera vez en el libro Parker-Baldridge: Elementary mathematics for teachers).

multi-frac

Pensaba tratar hoy también el tema de la división, pero la multiplicación me ha llevado mucho más tiempo de lo que creía. De manera que la división de fracciones será el tema de una próxima entrada. Lo siento, David  🙂

Cuatro enlaces muy interesantes

Mientras encuentro el momento de continuar con las fracciones, quiero compartir algunos enlaces (mi agradecimiento a pepvidal por los dos primeros).

  • Blog de Jaime Martínez Montero sobre algoritmos basados en números (ABN). Aunque mi tesis central es que se deberían hacer menos cuentas, y prestarle más atención a los conceptos, estoy completamente de acuerdo en que los algoritmos deberían cambiar, olvidarse de los algoritmos tradicionales, y seguir las ideas de los algoritmos que se conocen como basados en números.
  • En el colegio Aguamansa (en La Orotava, Tenerife), Antonio Martín lleva años enseñando las matemáticas de primaria dejando a un lado los algoritmos tradicionales. En este canal de youtube se pueden ver ejemplos de lo que son capaces los niños cuando se pone el acento en la comprensión, en lugar de en la repetición.
  • Los estándares de la NCTM (National Council of Teachers of Mathematics) son uno de los documentos de referencia cuando se habla de la enseñanza de las matemáticas en la educación obligatoria. Un organismo análogo, el National Council on Quality in Teaching, elaboró este informe sobre la formación matemática de los profesores de primaria:  No common denominator (este enlace lleva a una versión resumida). Creo que este documento es mucho menos conocido que el anterior, yo lo descubrí esta pasada semana, y me ha parecido del máximo interés. Me ha resultado muy llamativo la gran parte del análisis que creo directamente trasladable al caso español. Quizá esto explique el hecho de que EEUU y España aparecen casi siempre muy próximos en los test internacionales sobre competencia matemática de los estudiantes.