La inflación terminológica

Como ya me ha ocurrido otras veces, un hecho puntual me decide a escribir sobre un tema al que de alguna manera le estaba dando vueltas. Hojeando un libro de 4º de la ESO me llamó la atención una nueva ecuación de la recta: la ecuación segmentaria. Tuvo una componente casi emocionante: después de casi 30 años dedicado a las matemáticas, todavía podía descubrir una nueva ecuación para una recta en el plano! En el cuadro resumen del mismo libro (el de la foto), comprobé que en ese tema trataban nada menos que ¡7! ecuaciones distintas.

ec-segmentaria

Hablando ya en serio, creo que el problema es más relevante de lo que se puede pensar a primera vista. Es cierto, todas son “equivalentes” (pero, un momento, si son equivalentes, ¿para qué queremos tantas?), y para el profesor, o un alumno que entiende el tema, no suponen ningún problema. Pero creo que para el alumno medio que se enfrenta al tema por primera vez, simplemente memorizar el listado completo de ecuaciones (o el subconjunto que se trate en el curso) y cómo pasar de unas a otras, consume una parte importante de tiempo que luego … no tenemos para hacer problemas. Creo que es sólo un ejemplo de un problema general, que consiste en la sobreabundancia de términos, ecuaciones, clasificaciones, etc. y que, por supuesto, tiene que ver con lo que ya escribí en la entrada sobre la función secante.

Desde luego, el problema no es nuevo. Ya en 1984, Miguel de Guzmán escribía sobre los problemas de la enseñanza de las matemáticas en España, y subrayaba el “énfasis excesivo y perjudicial en nombres y distinciones” [1]. Pero creo que, lejos de corregirse, este problema ha empeorado (en el sentido de que el recorte que se ha producido en los programas – y sobre todo en la práctica – se ha centrado en los problemas, y otras actividades de alto valor cognitivo, y por tanto la proporción problemas/técnicas-definiciones-terminología ha disminuido con el paso de los años).

¿Qué ecuaciones de la recta se deberían tratar en secundaria? Desde mi punto de vista, como mucho los tipos de ecuaciones que aparecen para estudiar curvas y superficies en general, que son las esencialmente distintas:

  • la paramétrica (si se escribe en forma escalar o vectorial es un detalle que no creo que se merezca un nombre).
  • la implícita, ax + by + c =0  (llamarle ecuación general, o no, creo que es secundario).
  • la explícita, y = ax + b, importante por la conexión con las gráficas de funciones y la idea de pendiente.

¿Qué se hace en otros sitios? Bueno, los libros que tengo a mano son los de Singapur. He comprobado los textos de secundaria, comparables a los españoles de la ESO porque allí también tienen 6 años de primaria (empezando a los 6 años) y 4 de secundaria. En tercer curso, en 20 páginas del libro, estudian la recta solo con la ecuación explícita. Por supuesto, le dedican el tiempo necesario al concepto de pendiente, y a las rectas verticales y horizontales, que tantos dolores de cabeza causan a algunos de nuestros alumnos. Después, en 4º curso, le dedican 4 páginas de repaso al tema. Como la ecuación implícita (o general) ya ha aparecido en el estudio de los sistemas lineales, es el momento de hacer algunos ejercicios que aclaren su relación con la explícita, ya conocida del curso anterior. Ya sé que es un solo tema, y un solo país, pero, ¿no resulta la diferencia muy llamativa?

[1] Miguel de Guzmán: El papel de la matemática en el proceso educativo inicial. Enseñanza de las ciencias, 1984, pp. 91-95.

Anuncios

El problema de la hormiga

Hoy una entrada corta, con un problema que me ha encantado. No es original: según Wikipedia, lo propuso Dudeney en un periódico inglés en 1903. Lo descubrí hace unos pocos días, y me parece que tiene todas las cualidades que debemos pedir a un buen problema “extra” para proponer en clase. Es sencillo de formular, y la solución es soprendente, y elemental. Además, permite dar una idea de un tema importante: las distancias en superficies. Creo que me atrevería a proponerlo como una actividad avanzada al final de la primaria, y desde luego en cualquier curso de secundaria.

problema-hormigaTenemos un almacén en forma de ortoedro, con 30 m de fondo, 12 m de ancho y 12 m de alto. Una hormiga hambrienta se encuentra en la mitad de la pared del fondo, a 1 m del techo. Hay una miga de pan en la mitad de la pared frontal, a 1 m del suelo. A la hormiga le quedan fuerzas para andar 40 41 m. ¿Podrá alcanzar la miga?

Creo que sin indicaciones no es un problema sencillo. Aunque no demos ninguna ayuda de entrada, sí es muy recomendable tener alguna pensada para cuando llegue el momento de desatascar a algún alumno. La primera que yo daría es que consideren diferentes desarrollos del ortoedro.

La educación infantil

Una pregunta en uno de los últimos comentarios ha sido el empujón que necesitaba para atreverme a escribir sobre un tema del que hasta ahora no he dicho nada: la educación infantil. Para empezar, unas aclaraciones:

  • que la educación infantil no haya aparecido hasta ahora en este blog no quiere decir que no la considere importante, sino simplemente que es la etapa educativa que menos conozco. No he dado clase a futuros maestros de infantil y mi único contacto directo (aparte, claro del que todos podemos tener como padres), ha sido la reciente tutoría durante las prácticas de siete futuros maestros de infantil. Ya sé que las dos partes de la frase anterior pueden combinar mal, pero me resistí lo que pude. Así funciona el sistema …
  • para decirlo claramente: creo que una buena educación infantil pública es fundamental para el éxito de un sistema educativo. Es cierto que los niños con familias de nivel cultural medio-alto, y preocupadas por la formación, pueden recibir en su casa, durante estos años, una educación estupenda; pero la única forma de que niños de familias menos preparadas no partan con una desventaja insalvable en el acceso a la educación obligatoria, es que reciban una atención adecuada en esta etapa crucial de su desarrollo. Hay muchas evidencias de que una atención temprana eficiente es la mejor forma de evitar problemas futuros. Este enlace puede ser una buena primera lectura sobre el tema.
  • creo que la educación infantil es, con bastante diferencia, la etapa educativa que mejor funciona en nuestro país. Eso sí, me parece que esta situación está amenazada. Durante las prácticas que comentaba, la única queja que escuché, tanto de mis alumnos, como de varias de las maestras de infantil, era que “había que hacer muchas fichas”, y que se quedaban sin el tiempo necesario para dedicarlo a otro tipo de actividades más creativas. Hablando como colectivo docente, creo que en este tema no podemos echar balones fuera, y debemos reconocer que está en nuestras manos la solución, y alguna de las maestras que conocí este año lo estaban esquivando sin mayor problema. Sí, es cierto que es muy cómodo presentarse ante los padres con un buen montón de fichas, para que vean todo lo que han trabajado sus hijos, pero no podemos deslizarlos por esa pendiente … Si tenemos claro que hay que apostar por la calidad, y no por la cantidad, seremos capaces de explicárselo a las familias. En esta misma dirección, la otra amenaza que me parece que acecha a esta etapa educativa es esa política que se ve en cada vez más colegios que, para “darse nivel”, plantean que los niños empiecen la primaria sabiendo leer y sumar y … Para evitar malentendidos: no estoy diciendo que haya que frenar a un niño de 5 años que muestra interés en aprender a leer, lo que creo que es un gran error es que aprender a leer o escribir se convierta en un objetivo del tercer año de educación infantil.
  • en cuanto a los contenidos matemáticos de educación infantil, como ya he dicho no me considero capacitado para decir qué debería haber ahí. Lo que sí tengo claro es lo que no debe estar. No podemos caer en el error de adelantar aún más el algoritmo de la suma. No estoy diciendo que no puedan aparecer expresiones como 3 + 2 = 5. Estas sumas no suponen ningún problema (y son un buen ejercicio) para niños que saben contar. Lo que no tiene ningún sentido es empezar aquí con las sumas “en columnas”. Cada vez en más países, el algoritmo tradicional de la suma se está retrasando en el curriculum (en el caso de Holanda, hasta 4º de primaria). No podemos cometer el error de ir en dirección contraria.

Para terminar esta entrada, estas son las preguntas que planteaba Daniel, y que me han animado a escribir esta entrada: ¿Qué opináis del uso de bloques lógicos y de regletas en la enseñanza de las matemáticas? ¿Cuál es su utilidad? Y también, ¿podríais recomendarme bibliografía para su uso en infantil?

En cuanto a los libros, sólo conozco los de Fernández Bravo: “Desarrollo del pensamiento lógico y matemático” y “Didáctica de la matemática en la educación infantil”. Si algún lector tiene alguna otra recomendación, adelante, por favor.

La pregunta sobre los bloques lógicos y las regletas plantea el tema general de los materiales y recursos, como herramientas de apoyo al aprendizaje. Con la cautela que he repetido durante toda esta entrada, he visto que las regletas funcionan bien, pero creo que la principal razón de su éxito es que el trabajo con regletas lleva a trabajar los conceptos, y a posponer las recetas y las cuentas. Me parece que los mismos efectos se pueden conseguir a base de contar cualquier cosa. Me recuerdan a un reportaje que escuché una vez, sobre los excelentes resultados de un colegio (de EEUU) donde las fracciones se enseñaban junto con los ritmos musicales. Cómo los chicos entendían qué parte de un compás eran 3/8, qué pasaba si a eso le sumábamos 1/2 compás etc. Claro, pero ese mismo efecto se puede conseguir de muchas otras formas (ojo, la música me parece una opción perfectamente válida).

Sobre los bloques lógicos espero poder escribir con más detalle pronto. Ya he hablado de un libro que describe un “círculo matemático” para niños de 3 a 7 años. Quiero preparar una entrada describiendo una serie de actividades que me han parecido muy interesantes. Algunas tienen que ver con los bloques lógicos, pero con un carácter más flexible y creativo.

Los problemas resueltos

La costumbre, cada vez más extendida, de publicar todos – o casi todos – los problemas con solución, me parece un muy mal síntoma. No me refiero al resultado numérico final, que puede servir de ayuda en la comprobación, sino a la resolución completa. A los estudiantes les encantan los libros de problemas resueltos, y reclaman las soluciones completas de todos los problemas. Los profesores … bueno creo que demasiados profesores son cada vez más dependientes del “libro del profesor”.

Empezando por este segundo caso, es evidente que si alguien realmente *necesita* el libro del profesor estamos ante un problema grave, en el que no tiene mucho sentido entrar en este contexto. En la mayoría de los casos, estoy seguro, el libro del profesor es sólo una ayuda, algo que hace más cómodo el día a día. Pero aún en este caso, si estoy acostumbrado a la comodidad del libro del profesor, ¿cuál será mi actitud cuando un alumno encuentra un camino distinto y me presenta una solución “original”?

Pensando en los alumnos, veo dos tipos de problemas. El primero, supongo que el más evidente, es que no trabajen el problema (o lo hagan sólo brevemente), y que se limiten a “estudiar la solución”, esperando que en el examen aparezca un problema suficientemente parecido. El segundo es más sutil, pero de consecuencias también relevantes. Convencerme de que la solución que he obtenido es correcta (o, al menos, plausible) es una componente importante de la resolución del problema. Si nada más obtener la solución final puedo comprobar en el solucionario correspondiente si es o no correcta, estoy empobreciendo el proceso. Y si me acostumbro a ello, el círculo se cerrará si me acabo dedicando a la docencia: seguramente sepa resolver los problemas, pero no estaré del todo convencido de que lo he hecho bien hasta que no vea la solución en el libro correspondiente. Por supuesto, prescindir del solucionario tiene un riesgo, porque nadie es infalible, y seguro que todos los profesores que prescindimos de los libros de soluciones cometemos algún error. Pero, siempre que ese error sea esporádico, me parece que el riesgo merece la pena.

Trabajar con los estudiantes esa fase de comprobar la solución tiene un gran interés en sí mismo. El método más efectivo, sin duda, es pedir que expliquen esa solución a sus compañeros. Estoy seguro de que cualquiera que esté acostumbrado a trabajar en problemas de suficiente dificultad  ha pasado por la experiencia de descubrir un error en su argumento en el momento de explicárselo a un colega.

Una de las mejores cosas que podrían sacar nuestros alumnos del estudio de las matemáticas es esa capacidad para enfrentarse a un problema y analizar su solución. Y de los problemas reales que se encontarán en el futuro, sea en el entorno profesional, o en el personal, sean o no de carácter científico-técnico … nadie ha publicado la solución.