Nanopartículas

Este problema se me ocurrió mientras escuchaba un podcast de la serie Discovery de la BBC (los podcast de la BBC me parecen, en general, un material muy interesante, en especial por supuesto para los profesores de centros bilingües. Este es el problema, que creo que sería adecuado para el final de la ESO y Bachillerato.

  1. Tenemos 1 gr de agua en forma de gota esférica. ¿Cuál es su superficie?
  2. Ahora tenemos esa misma cantidad de agua pero formando 10 gotas esféricas iguales. ¿Cuál es ahora la superficie total?
  3. En función del tiempo disponible y del nivel del grupo, se podría repetir el apartado 2 con 100 esferas, o 1000, u obtener directamente la función que expresa la superficie en función del número de partículas.

Lo que se observa es que la superficie aumenta al aumentar el número de partículas. Evidentemente, la razón de este fenómeno es el diferente comportamiento frente al cambio de tamaño de la superficie y el volumen del que se ocupaba la entrada anterior.

La aplicación: la actividad de una sustancia en un entorno, por ejemplo nuestro cuerpo, depende fundamentalmente de la superficie de contacto, porque es ahí donde se desarrollan las reacciones químicas. Un campo de investigación en el área de Nanopartículas consiste en investigar cómo se puede añadir, por ejemplo, sal o azúcar a un alimento en forma de nanopartículas. De esta forma se podría conseguir el mismo sabor con una cantidad menor de producto, con el consiguiente beneficio para la salud. Claro que no todo son luces; algunos críticos sostienen que hay que tener cuidado con las nanopartículas. Precisamente por su pequeño tamaño, es posible que puedieran llegar a lugares donde en su forma usual no llegan, y habría que estudiar cuáles podrían ser los efectos de esto a medio y largo plazo.

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Proporcionalidad y volumen

La falta de interdisciplinariedad es un problema del sistema educativo. Pero es que incluso dentro de las matemáticas, hay pocas actividades que combinen conceptos de distintas áreas: cuando se hace aritmética, a eso nos dedicamos, luego viene la geometría, o la representación de datos …

Por ejemplo, creo que se trabaja muy poco el tema de cómo cambia el volumen – o la masa – cuando un objeto cambia de dimensiones. No es sencillo desarrollar la intuición al respecto (creo que todos estamos de acuerdo en que hay algo de sorprendente en el resultado del problema de “la humanidad en fila” de la entrada anterior). Si se quiere comprobar cuál es el estado de la cuestión “en la calle”, no hay más que preguntar a una “persona normal”  sobre cómo cambia el peso de una naranja cuando su tamaño – medido por el calibre (el diámetro) – se duplica. Yo lo he hecho varias veces, y la respuesta ha oscilado entre “no lo sé” y “también se duplica, claro”. Cuando el interlocutor ha sido suficientemente paciente, por interesado o por simple aprecio personal, y me ha dejado la posibilidad de explicarle la respuesta, la reacción ha sido de sorpresa total, y además la actitud final suele ser un inconfundible “vale, las matemáticas dirán eso, pero no termino de creérmelo”.

Este tema se debería tratar al menos desde dos puntos de vista.

El primero, desde el punto de vista curricular, sería como ejercicio de adquisición y representación de datos. Al final del segundo ciclo de primaria, y desde luego en el tercero, se podría plantear la siguiente actividad a los niños. “Para mañana, tenéis que traerme los siguientes datos. Tamaño y peso de tres naranjas (o manzanas, u otra fruta de temporada de forma aproximadamente esférica) de vuestra casa: la más grande que encontréis, la más pequeña y una de tamaño medio“. Creo que una cantidad suficiente de casas dispondrían de básculas de cocina de una precisión suficiente. Obsérverse que no he dado detalles sobre cómo medir el tamaño de la fruta. Decidir qué hay que medir sería parte de la actividad, y continuaríamos en la clase del día siguiente con la puesta en común de las diferentes medidas, ventajas, inconvenientes, e investigando la relación entre ellas. Finalmente, representaríamos los datos y estudiaríamos qué conclusiones se pueden sacar de la gráfica correspondiente.

El siguiente enfoque es posible al final del tercer ciclo, y en la enseñanza secundaria, cuando ya se ha hecho un estudio más formal del volumen. Además de la pregunta original sobre la duplicación de la esfera, se podrían tratar cuestiones como esta: ¿cómo cambia el volumen de un cilindro si el radio de la base aumenta un 10% y la altura disminuye un 10%? (Dependiendo del curso, por supuesto, la pregunta se podría hacer de esta forma, o con unos datos concretos para radio y altura).

La creatividad es otro de los aspectos en general poco cuidados (una entrada sobre creatividad y  matemáticas está en la lista),  y creo que todos deberíamos estar atentos para proponer, siempre que fuera posible, una actividad que no tenga “una solución”, sino varias. Relacionada con estos temas, se me ocurre la siguiente: diseña tres vasos cilíndricos de volumen 1/3 l, y estudia la relación entre sus dimensiones. Si el tiempo lo permite, se podrían construir en cartulina y comentar las ventajas e inconvenientes de los distintos diseños.

Ejercicios y problemas

La última entrada me dejó un sabor agridulce, no sé si me expliqué bien. Pero no voy a cometer el error de volver sobre el tema. Prefiero escribir sobre matemáticas, que creo que es lo que se me da un poco mejor.

No voy a entrar en profundas disquisiciones de qué es un ejercicio y qué es un problema. Para lo que quiero decir es suficiente esta idea:

  • un ejercicio es una tarea rutinaria, que se puede resolver limitándose a reproducir o imitar técnicas o procedimientos ya vistos.
  • un problema es una tarea que requiere, para su resolución, de algún tipo de actividad creativa:  bien porque es necesario adaptar una técnica conocida, bien porque hace falta combinar de una forma nueva algunos hechos conocidos.

Para un buen aprendizaje matemático es imprescidible hacer cierta cantidad de ejercicios. Creo que en eso estaremos todos de acuerdo. Pero también hace falta que los alumnos se enfrenten de forma regular al reto que supone la resolución de problemas, y creo que este aspecto no se está trabajando lo suficiente. Salvo honrosas excepciones, los estudiantes atraviesan nuestro sistema educativo sin enfrentarse a la resolución de problemas. Creo que esto lo pueden corroborar todos los profesores de primer curso de universidad, que ante la propuesta de un problema sólo encuentran, en buena parte de la clase, la reacción casi automática “no sé hacerlo”.  Vencer ese horror al “papel en blanco” es tanto más difícil cuanto más tarde se intente y, como en tantos otros aspectos, cuanto antes empecemos mejor. La buena noticia es que es relativamente sencillo proponer auténticos problemas en los primeros cursos de la enseñanza primaria. Es suficiente con proponer problemas de suma o resta, o de reparto, antes de haber introducido los algoritmos correspondientes, tal y como se hace, por ejemplo, en Holanda, según comentaba en una de mis primeras entradas.

Para un niño de 6 años al que se le acaba de introducir en la notación posicional, con el número de dos cifras, la pregunta: “Tengo 36 cromos, y los quiero repartir por igual entre mis dos amigos. ¿Cuántos cromos debo dar a cada uno?” reúne, claramente, todos los requisitos de un buen problema.

Una de las tareas más difíciles, y más importantes, de un buen docente, es ser capaz de proporcionar algún tipo de ayuda a un alumno que está intentando resolver un problema, sin desvelarle más de lo necesario.

No es sencillo proponer un buen problema: no debe ser ni muy sencillo ni muy difícil, lo ideal es que tenga alguna relación con el entorno o que interpele de alguna forma al alumno, o que presente un resultado llamativo. Por ello, una buena colección de problemas es un auténtico tesoro. Me ofrezco desde aquí a arrancar un repositorio de “buenos problemas”, para todos los niveles del sistema educativo, y que podrían ser votados por los usuarios.

Y para romper el hielo, aquí va el primero, mi favorito desde que lo descubrí (siento omitir la cita, pero he olvidado donde lo vi, hasta he olvidado cuál era exactamente la versión del problema que vi). Yo diría que es adecuado para el final de la primaria o el principio de la secundaria.

  • Supongamos que la humanidad se pone en fila india. ¿Cuántas veces daría la vuelta a la tierra esa fila india?

No, no he olvidado ningún dato. Parte del problema es que piensen qué datos necesitan, que aprendan a hacer aproximaciones y que hagan suposiciones razonables (como la distancia entre las personas de la fila). Por supuesto, esto obliga a que el problema se resuelva en una sala con algún ordenador, o a que se proponga en la parte final de la clase, se trabaje la parte de ¿qué datos necesito? y se resuelva al día siguiente con los datos obtenidos en casa. El problema tiene dos partes más:

  • Ahora supongamos que toda la humanidad viene a la Comunidad de Madrid -vivo en Madrid, pero este dato es fácilmente generalizable 🙂 -. ¿Cabríamos? ¿Cuánto espacio le tocaría a cada persona?

Y por último (puede ser un poco siniestro, lo sé, pero el resultado merece la pena):

  • El doctor No dispone de un terreno en forma de cuadrado de 1 km de lado, y en él quiere hacer una fosa común donde enterrar a toda la humanidad. ¿De qué profundidad debe hacer la fosa?
    Una alternativa más poética, pero quizá más difícil de entender por un alumno: ¿cuál es el volumen de la humanidad?

Una petición: si alguien se anima a llevar al aula este problema, o cualquier propuesta que aparezca en estas páginas, estaré encantado de recibir algo de feedback, bien con un simple comentario, o con más detalle en mi correo electrónico, que se puede encontrar aquí.

Una última cosa por hoy: en este enlace dejo una copia de las tareas del tema “El área del triángulo”, del curso correspondiente a 5º de Primaria, de unos  textos que he descubierto hace poco. Creo que tiene un diseño estupendo, con una gradación perfecta, empezando por sencillos ejercicios, y avanzando de forma gradual, para terminar en auténticos problemas. Compararlo con todos los textos españoles que han caído en mis manos me ha dado bastante en qué pensar.

Un blog mirando al futuro

Un comentario de Pepe Carretero del pasado viernes me  ha estado rondando la cabeza todo el fin de semana.  Decía que las ideas de cambio en el sistema llevan presentes desde hace 30 años, pero que el factor que las frena que más le molesta es  “la reticencia al cambio que hace que cuando se plantee resolver las carencias se dirija la mirada al pasado y no al futuro”. Estoy de acuerdo en que esto ocurre, pero yo añadiría este otro, que es el que más me irrita personalmente: muchas de las discusiones que he visto sobre cómo mejorar el sistema educativo han terminado en un bonito juego del ping-pong donde cada parte le echaba la culpa a las otras: las familias y la sociedad, a los profesores; los profesores, a la sociedad, que no les apoya, a los alumnos, que no estudian, y a los profesores de las etapas precedentes; los políticos … bueno, los políticos terminaban entretenidos con la Educación para la Ciudadanía.

Desde el primer momento, el objetivo de este blog ha sido, además de poner mis ideas en limpio, pensar en positivo y mirar hacia el futuro. El sistema educativo es gigantesco: tenemos más de 4 millones de alumnos, y unos 350000 profesores, sólo en la educación obligatoria. Me gusta compararlo con un superpetrolero: la inercia que tiene es enorme. Y creo que no podemos esperar una reforma coherente de arriba hacia abajo, sino que debemos ponernos manos a la obra, e intentar variar poco a poco la dirección del superpetrolero, con un flujo de ideas de abajo hacia arriba. La buena noticia es que para ello tenemos una herramienta poderosa que no estaba disponible hace ni siquiera 10 años: este tipo de foros. Creo que pueden servir para difundir nuevas ideas y poner en común los resultados obtenidos. Desde aquí me comprometo a acompañar las reflexiones generales con ejemplos, concretos, y listos para llevar al aula, tantas veces como sea posible. La entrada sobre las tablas de multiplicar creo que ya iba en esa dirección.

Para que este cambio de rumbo, de abajo hacia arriba, pueda avanzar,  creo que necesitamos considerar estos tres aspectos:

  • Los profesores tenemos que asumir nuestra responsabilidad. Sí, se que tenemos motivos sobrados para la queja, y más en estos tiempos (y creedme, lo sé en primera persona: lo que el curso pasado fueron 3 grupos para 150 alumnos, se han convertido este curso en 2 grupos para 220 alumnos). Y debemos protestar y luchar por lo que creemos justo. Pero creo que lo que debemos evitar es utilizar esta situación como excusa para no asumir nuestra responsabilidad. Quede claro: no estoy diciendo que esté en las manos de un profesor “arreglar las cosas”. Ni siquiera creo que sea realista plantearse el llegar a todo el grupo de alumnos, aunque se deba intentar. Lo que creo que sí es cierto es que un buen hacer docente tiene influencia en algunos de nuestros alumnos. En Estados Unidos, que es donde más estudios de todo tipo se realizan, publicaron hace poco este, en el que se encuentra que el impacto de un buen profesor no sólo repercute en el promedio de resultados académicos, sino en variables como el número de embarazos de adolescentes del grupo. Hay otra buena razón para creernos que nuestro esfuerzo será útil para algunos de nuestros alumnos: creo que es la vacuna más eficaz contra el virus del profesor quemado, la plaga de nuestro tiempo.
  • La Primaria, lo primero. Creo que las razones son obvias. Por supuesto, debemos trabajar para cambiar el rumbo en secundaria, no voy a entrar en contradicción con el punto anterior. Pero está claro que intentar convencer a un chico de que otra visión de las matemáticas es posible, cuando nos llega condicionado por seis años de mala formación matemática, es mucho más complicado que trabajar desde los 6 años con el enfoque adecuado. Algún lector puede pensar que hay que llevar el argumento al extremo y empezar por la Educación Infantil. Hablaré de Infantil en algún momento, pero creo que en esa etapa la situación (al menos en lo que respecta a las matemáticas) no es mala. Aquí yo sólo pediría que estemos atentos para que no se estropee. Algún colegio ya he visto cuya idea de “subir el nivel” es empezar con el algoritmo de la suma en el tercer curso de Infantil.
  • Los libros de texto. Bueno, este tema es difícil y delicado. Creo que se merece un futuro post en exclusiva.

Cómo dar clase a los que no quieren

Voy a permitirme aprovechar este momento de popularidad (¡Mil gracias Clara!) para abandonar por una entrada el camino que me había marcado – hablar sólo de matemáticas – y recomendar un libro. ¡No, por favor, no es lo que parece! No tengo nada que ver con el autor, ni siquiera le conozco. Pero creo que es realmente interesante, muy en especial para los profesores de secundaria.

Cuando pregunté a mis alumnos del Máster de formación del profesorado qué habían echado de menos en el curso, la opinión fue casi unánime: “Nadie nos ha dicho nada sobre cómo tratar con una clase llena de adolescentes”. Y creo que es verdad, en España no está nada extendida la enseñanza de lo que me gusta llamar Técnicas de gestión del aula. Así que empecé a preguntar, y una amiga, profesora de secundaria, me habló de un libro que habia leído, y cuyas ideas la habían ayudado a mejorar el clima de su clase. El libro es Cómo dar clase a los que no quieren. de Joan Vaello Orts. El título puede ser un poco equívoco. No se trata de enseñar a los que no quieren (creo que todos estamos de acuerdo en que es imposible enseñar a alguien que no quiere aprender), sino de tratar a los que no quieren de forma que se consiga mejorar el clima general de clase, y así poder enseñar a los que sí quieren. Por el camino, los que no quieren (o algunos de ellos) quizá adquieran unas habilidades socioemocionales mínimas, que tienen un gran valor en sí mismas, y alguno hasta empiece a querer aprender.

El libro no promete milagros, pero creo que no hacen falta milagros para mejorar un poco el clima general de clase. Lo más importante es no dejar eso a la intuición. Por supuesto, hay profesores que consiguen, de forma innata, ese buen clima de clase. Pero para los que no tenemos ese don, hay técnicas que ayudan. Lo que es un error es enfrentarse a grupos de alumnos (los que en general originan el mal clima de clase), cuya principal motivación es provocar al profesor, y que dedican tiempo y energía a planear estrategias de provacación, simplemente con la reacción instintiva que surja en el momento.

Mientras preparaba este post he descubierto este vídeo de un seminario del profesor Joan Vaello, precisamente en el Máster de formación del profesorado de la Universidad Miguel Hernández.

La regla de tres

Cuando termina 3º de Primaria, un niño está perfectamente capacitado para resolver un problema como éste:

“Si 3 billetes de tren cuestan 15 euros, ¿cuánto cuestan 5 billetes iguales?”

Sin embargo, cuando en 5º estudia proporcionalidad, le enseñan una nueva “receta” para resolver este tipo de problemas, la regla de tres, que se representa, quizá con alguna ligera variación, así:

¿Y cuál es el problema? La regla de tres es un algoritmo sencillo y eficiente para resolver problemas de proporcionalidad, pensará más de un lector. Y esto es cierto, sin duda. Pero tiene un inconveniente, que creo que es común a muchos de los algoritmos tradicionales, y es que “esconde”, o al menos no muestra de forma clara, el concepto subyacente: la idea de proporcionalidad. Y esto hace que, aunque haya sido introducida de manera adecuada (y, por desgracia, demasiadas veces esto no es así), tras haberla aplicado de forma rutinaria en multitud de ocasiones, es muy fácil que muchos alumnos olviden las ideas que la justifican, y la apliquen de forma mecánida. Las posibles consecuencias son obvias: se olvida poco tiempo después de haberla estudiado, se aplica de manera inadecuada a situaciones no proporcionales, se confunde proporcionalidad directa e inversa, no se sabe aplicar a situaciones cotidianas …

¿Hay alternativas? Por supuesto. De hecho, parece que en este punto también, Spain is different. Sin haber hecho un estudio exhaustivo, sólo he encontrado la técnica de la regla de tres en España y algunos países hispanoamericanos. Asia y el mundo anglosajón utilizan enfoques diferentes. Si algún lector conoce algún estudio, geográfico o histórico, sobre la regla de tres, estaría encantado de recibir alguna información al respecto.

El enfoque alternativo más obvio es el del niño de 3º del principio del post. Si 3 billetes cuestan 15 euros, cada billete cuesta 5 euros, y por tanto 5 billetes costarán 25 euros. Esta técnica se suele conocer con el nombre de reducción a la unidad. Su gran ventaja es que no se basa en ninguna nueva técnica, sino simplemente en aplicar ideas ya conocidas a nuevas situaciones. Es, claramente, la adecuada si perseguimos un aprendizaje significativo. Y una vez dominada resuelve otros temas, como los cambios de unidades. En lugar de intentar que los niños memoricen la lista de las unidades Km, Hm, dam, m, etc, y que hay que añadir un cero por cada posición que nos movemos a la derecha, y quitarlo cuando nos movemos a la izquierda (¿o era al revés?), nos podríamos limitar a aprender, por ejemplo, que 1 km son 1000 m. A partir de ahí, todo debería estar claro.

Una herramienta interesante para la proporcionalidad son los diagramas de barras, utilizados en la enseñanza en Singapur (Singapur es, desde hace 20 años, uno de los países líderes en las pruebas de referencia sobre competencia matemática de los estudiantes – PISA, TIMSS). Hablaré sobre ella en un próximo post.

La aritmética en primaria

La aritmética “tradicional” (para entendernos, los algoritmos tradicionales de las 4 operaciones básicas, a los que me referiré en adelante como la aritmética de lápiz y papel), sigue ocupando un lugar central en los contenidos de las matemáticas de primaria. Mis estimaciones son que al menos la tercera parte del tiempo que los alumnos dedican a las matemáticas en primaria, están en realidad haciendo cuentas. Me temo que el título del blog desvela mi opinión sobre el particular, pero en este primer post sobre el tema querría simplemente exponer algunas ideas básicas para la reflexión de los lectores.

Luis Santaló fue uno de los grandes matemáticos españoles del siglo XX. En 1991 pronunció unas conferencias en la Universitat de Girona, recopiladas en el libro La Matemática: una filosofía y una técnica, Ed. Ariel. En la página 11, se puede leer:

Para quienes tan sólo recuerdan la matemática que aprendieron en la escuela primaria, la matemática se halla integrada por los cálculos aritméticos comunes y por los nombres y las propiedades de algunas figuras geométricas. Para ellos, la matemática consiste en las cuatro operaciones con números enteros o con fracciones, necesarias para resolver los problemas de regla de tres, porcentajes, repartos proporcionales, o en sus aplicaciones para calcular áreas y volúmenes. Para ellos, saber matemáticas es saber calcular y, por consiguiente, con la aparición de las calculadoras electrónicas, que hacen inútil la habilidad de cálculo, consideran que la matemática ha perdido ya su interés y que cada día es menos necesario aprenderla en la escuela. Ahora bien, dado que la supresión de la matemática en la escuela produciría cierto vacío -vacío que provoca el horror clásico-, opinan que la mejor solución es no permitir el uso de las calculadoras en la escuela, con el objeto de que los alumnos continúen calculando como siempre se ha hecho.

Han pasado más de 20 años, pero la situación sigue siendo, en la gran mayoría de los casos, exactamente la misma. El tema es amplio, y lo volveré a tratar en el futuro. Hoy querría centrarme en una primera pregunta: ¿cuáles son los beneficios del aprendizaje de la aritmética de lápiz y papel? De forma más precisa: el tiempo invertido para aprender, por ejemplo, el algoritmo de la división cuando el divisor tiene 2 ó 3 cifras (la “división larga” de los anglosajones”), ¿qué tipo de beneficios reporta al aprendizaje de las matemáticas?

Con ánimo de ser exhaustivo, quiero considerar tres tipos de posibles beneficios:

  1. la utilidad en la vida cotidiana.
  2. la utilidad para el propio aprendizaje de las matemáticas.
  3. el fomento de otro tipo de capacidades como la concentración, el esfuerzo, la atención al detalle, etc.

Creo que poca gente dudará en descartar el apartado 1. ¿Cuándo fue la última vez que el lector hizo una división o una multiplicación en un papel? (Evidentemente, no valen las cuentas relacionadas con tareas escolares). Quizá se pueda aducir que es útil saber, ante una cuenta compartida en una cena con los amigos, cuánto debe pagar cada uno. Cierto, pero esto se debería hacer con cálculo mental, y obtener al menos una buena aproximación. Si queremos llegar al céntimo, o sacar aún más decimales, es mucho más probable que tengamos a mano un artilugio que incluya una calculadora que un lápiz y un papel …

El apartado 2 puede ser menos claro para muchos lectores, pero creo que el consenso entre los especialistas también es claro. Los algoritmos tradicionales no ayudan a desarrollar lo que se conoce como “sentido numérico”. De nuevo, es el cálculo mental lo que se debe practicar si uno quiere desarrollar el sentido numérico.

De forma que sólo el apartado 3 sobrevive a este primer análisis, y debo aceptar que este apartado sí es cierto. La pregunta aquí es, ¿a qué precio desarrollamos estas capacidades? No es sólo que requieran un tiempo que podría dedicarse a otras tareas; es también, y creo que incluso más importante, que una buena parte de los niños pierden en el proceso todo el interés por las matemáticas, por considerarlas inútiles y mortalmente aburridas. Creo que sólo la inercia de “es lo que se ha hecho siempre” nos hace a los padres y maestros no ser totalmente conscientes de esto.

Imaginemos el siguiente ejemplo. Supongamos que el nuevo profesor de educación física de la clase de 4º A nos dijera:

Este trimestre les voy a plantear a los alumnos la siguiente tarea dos veces por semana. Durante media hora van a hacer un agujero, transportar la tierra al otro extremo del patio, y después volverán a traer la tierra a su lugar original, tapando el agujero. Y no pueden traer de casa ninguna herramienta que les ayude en el trabajo. Aquí les proporcionaré unos pequeños juguetes de playa. Es una actividad beneficiosa: es ejercicio físico y mejorará el estado muscular de todo el cuerpo, y requiere concentración y esfuerzo para terminar la tarea con éxito. Será muy útil para mejorar su forma física.

¿De verdad está el ejemplo completamente fuera de lugar?