Las reglas de divisibilidad

Ahí siguen en el nuevo currículo de primaria ya publicado en el BOE: “Conoce y aplica los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 9 y 10”. Resulta curiosa la elección de los posibles divisores, porque si al final de primaria hay que hablar de un “criterio de divisibilidad por 2”, o por 10, es que la cosa va muy mal … Por otra parte, ¿por qué 9 si, y 4 y 8 no? Pero no quiero entrar hoy en discusiones curriculares, sino que me gustaría centrarme en las matemáticas.

Lo primero que habría que aclarar es que, más que reglas de divisibilidad, de lo que habría que hablar es de cálculo de restos (naturalmente, sin necesidad de hacer la división). Y me parece un matiz importante: cuando empiezo a tratar el tema con mis alumnos de magisterio, todos tienen claro cuándo un número es divisible por 5. Sin embargo, si escribo en la pizarra 5427 y les pregunto que cuál es el resto al dividir entre 5, pocos tienen claro que la respuesta es inmediata, y que no hace ninguna falta calcular el cociente. En el caso del divisor 5 (y, naturalmente, para el 2 y el 10) es realmente muy sencillo, y no veo ninguna razón para que los alumnos no lo tengan totalmente claro al terminar primaria. De hecho, creo que trabajarlo junto con la división es una buena forma de profundizar en la comprensión de la división con resto.

Durante mis dos primeros cursos en la Facultad de Educación, traté este tema con la maquinaria de las congruencias. La primera razón para hacerlo fue que el cálculo de congruencias me parece una oportunidad excelente para “pensar desde cero”. El tema no es difícil, pero eso de que 2+1 = 0 (módulo 3), es algo que pone a prueba la capacidad de abstracción de los alumnos. Sigo pensando lo mismo pero, teniendo en cuenta el escaso tiempo disponible, y las dificultades que seguimos detectando en contenidos más básicos, pensamos que lo mejor era dejar el cálculo de congruencias fuera del programa. Lo que hemos hecho estos últimos cursos es tratar el tema con el punto de vista de “aritmética con restos”, que resulta más rápido y mucho más cercano a los contenidos de primaria.

Volviendo a las “reglas de divisibilidad”, la siguiente, en orden de dificultad, es la del 4. Entender que para calcular el resto al dividir por 4 es suficiente considerar las unidades y las decenas es una aplicación básica de las descomposiciones de números, y de que 100 es múltiplo de 4. La observación es la de siempre: no tiene ningún sentido dedicarle horas y horas a ejercicios de descomposiciones numéricas, a lo largo de toda la primaria, cuando la mejor forma de entenderlas de verdad es verlas en acción. Una vez vista la del 4, no cuesta ningún trabajo incluir la del 8.

Y llegamos a las del 3 y el 9. Veamos cómo se puede calcular el resto de 85 al dividir por 3. Como 85 = 80 + 5, el reparto de 85 caramelos entre 3 niños se puede organizar, en etapas, de la siguiente forma: repartimos grupos de 10, y de cada grupo nos sobra, de momento, 1 caramelo. Por tanto, tras esta primera etapa tenemos pendientes de repartir 8 + 5 caramelos. Con este sencillo argumento, ya sabemos que el resto de 85 al dividir por 3 es el mismo que el resto de 8 + 5 al dividir por 3. Una vez entendida la propiedad para números de dos cifras, me parece sencillo ver cómo se extiende al caso general. Lo único que hace falta es darse cuenta de que todas las potencias de 10 tienen resto 1 al dividir por 3. Naturalemente, el caso del 9 es exactamente igual, precisamente porque las potencias de 10 también tienen resto 1 al dividir por 9.

¿Tiene sentido llevar este planteamiento a un aula de primaria? Creo que sí, pero me falta la experiencia de aula para estar más convencido. De lo que sí estoy convencido es de que, si se piensa que no se pueden – o que no hay tiempo para – explicar cómo funcionan ciertas reglas de divisibilidad, lo que habría que hacer es eliminarlas completamente del programa. ¿Qué se perdería? Cuando, a la hora de factorizar un número, se necesite comprobar si es divisible por 3, siempre existe la opción de hacer la división. El problema de introducir la regla sin explicación es el de siempre: hacemos un poco más profundo ese pozo de las matemáticas como conjunto inextricable de rutinas y recetas varias.

Un último comentario: una vez más se dejan fuera del currículo los casos más interesantes. Comprobar que la condición para que un número sea múltiplo de 6 es que lo sea de 2 y de 3 contribuye a mejorar la comprensión de los conceptos de múltiplo y de mínimo común múltiplo. El cálculo del resto me parece una oportunidad perfecta para una actividad de trabajo de aula. Se puede proponer calcular diversos restos al dividir por 2, por 3 y por 6, y buscar patrones en los resultados. Una vez detectado el patrón, entenderlo en términos de “reparto de caramelos” podría estar al alcance de muchos alumnos.

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La regla de tres

Cuando termina 3º de Primaria, un niño está perfectamente capacitado para resolver un problema como éste:

“Si 3 billetes de tren cuestan 15 euros, ¿cuánto cuestan 5 billetes iguales?”

Sin embargo, cuando en 5º estudia proporcionalidad, le enseñan una nueva “receta” para resolver este tipo de problemas, la regla de tres, que se representa, quizá con alguna ligera variación, así:

¿Y cuál es el problema? La regla de tres es un algoritmo sencillo y eficiente para resolver problemas de proporcionalidad, pensará más de un lector. Y esto es cierto, sin duda. Pero tiene un inconveniente, que creo que es común a muchos de los algoritmos tradicionales, y es que “esconde”, o al menos no muestra de forma clara, el concepto subyacente: la idea de proporcionalidad. Y esto hace que, aunque haya sido introducida de manera adecuada (y, por desgracia, demasiadas veces esto no es así), tras haberla aplicado de forma rutinaria en multitud de ocasiones, es muy fácil que muchos alumnos olviden las ideas que la justifican, y la apliquen de forma mecánida. Las posibles consecuencias son obvias: se olvida poco tiempo después de haberla estudiado, se aplica de manera inadecuada a situaciones no proporcionales, se confunde proporcionalidad directa e inversa, no se sabe aplicar a situaciones cotidianas …

¿Hay alternativas? Por supuesto. De hecho, parece que en este punto también, Spain is different. Sin haber hecho un estudio exhaustivo, sólo he encontrado la técnica de la regla de tres en España y algunos países hispanoamericanos. Asia y el mundo anglosajón utilizan enfoques diferentes. Si algún lector conoce algún estudio, geográfico o histórico, sobre la regla de tres, estaría encantado de recibir alguna información al respecto.

El enfoque alternativo más obvio es el del niño de 3º del principio del post. Si 3 billetes cuestan 15 euros, cada billete cuesta 5 euros, y por tanto 5 billetes costarán 25 euros. Esta técnica se suele conocer con el nombre de reducción a la unidad. Su gran ventaja es que no se basa en ninguna nueva técnica, sino simplemente en aplicar ideas ya conocidas a nuevas situaciones. Es, claramente, la adecuada si perseguimos un aprendizaje significativo. Y una vez dominada resuelve otros temas, como los cambios de unidades. En lugar de intentar que los niños memoricen la lista de las unidades Km, Hm, dam, m, etc, y que hay que añadir un cero por cada posición que nos movemos a la derecha, y quitarlo cuando nos movemos a la izquierda (¿o era al revés?), nos podríamos limitar a aprender, por ejemplo, que 1 km son 1000 m. A partir de ahí, todo debería estar claro.

Una herramienta interesante para la proporcionalidad son los diagramas de barras, utilizados en la enseñanza en Singapur (Singapur es, desde hace 20 años, uno de los países líderes en las pruebas de referencia sobre competencia matemática de los estudiantes – PISA, TIMSS). Hablaré sobre ella en un próximo post.