Jornada en el CTIF Madrid-Este

Ayer jueves 7 de marzo empezó el curso Matemáticas en el Siglo XXI, organizado por el CTIF Madrid Este, y hablamos sobre la Metodología Singapur. Dado el número de inscritos (400), me pareció una buena ocasión para tratar de obtener información de cuáles son los algoritmos que estamos usando en nuestras aulas. Para ello usé la herramienta Mentimeter, que permite preguntar y recoger las respuestas de la audiencia en tiempo real. La versión gratuita está limitada a 3 preguntas. Como me comprometí ayer, aquí están las respuestas recibidas.

La primera pregunta era sobre el algoritmo de la resta. Describo las opciones, porque la calidad de la imagen puede hacer difícil entenderlas. De izquierda a derecha:

  1. el algoritmo “tradicional”, que verbalizamos “de 8 a 13 me llevo una”, que luego sumamos al número que aparece en la columna de la izquierda en el sustraendo.
  2. el algoritmo que hace reagrupamientos en el minuendo, cuando es necesario. En esta entrada se puede ver una descripción con un ejemplo.
  3. algoritmos ABN (también descritos en la entrada anterior).
  4. algoritmos ABN en los primeros cursos, y el tradicional luego.
  5. el algoritmo de 2. en los primeros cursos y el tradicional luego.
  6. otras opciones.

El resumen rápido es que el algoritmo tradicional sigue siendo el tradicional, sobre todo en los últimos cursos de primaria, donde parece que se usa en 2/3 de las aulas (esto seguramente tiene que ver con la división, y el hacerla sin escribir las restas, tema sobre el que ya he escrito anteriormente).

Como comenté ayer, lo que me parece claro que habría que evitar es la situación de los alumnos que hacen restas de una forma que entienden en los primeros cursos, y que luego cambian de manera de restar. Es una dificultad artificial que no deberíamos poner en su camino.

La segunda pregunta fue sobre el algoritmo de la división, y aquí las alternativas fueron:

  1. el algoritmo comprimido (sin escribir la resta)
  2. el algoritmo extendido (escribiendo la resta)
  3. el algoritmo ABN
  4. el extendido al principio, y el comprimido al final de Primaria.
  5. el algoritmo ABN al principio, y el comprimido al final de primaria.
  6. otras opciones.

Como vemos, al final de Primaria la opción de comprimir el algoritmo, y no escribir las restas, es claramente mayoritaria. El propósito de esta entrada es solo mostrar los resultados de la encuesta, y no voy a volver a escribir sobre este tema, porque volvería a decir cosas parecidas a las que escribí en esta otra entrada.

 

Por último, como al final no hubo tiempo, la última pregunta que me daba Mentimeter la usé para admitir preguntas abiertas, con el compromiso de contestarlas en el blog. Esta fue la única pregunta que llegó:

  • ¿Qué alternativas ofrece el método Singapur para aquellos alumnos que no son capaces de representar mediante gráficos de barras los problemas a resolver? ¿Cómo mejoran su resolución de problemas?

No conozco una alternativa al modelo de barras. No es milagroso, desde luego, y puede haber alumnos a los que les cueste empezar a usar las barras para dibujar los datos. Pero en ese caso lo que hay que hacer es detenerse en ese punto el tiempo necesario. Estas serían mis observaciones (reconociendo que necesitan ejemplos de aula para poder ser más precisas. De hecho, si algún docente se anima a tratar de hacer una investigación de aula en este tema, investigando el proceso y prestando atención a los alumnos con dificultades, podemos hablar del tema, me interesa mucho).

  1. Seguimos haciendo problemas con números pequeños, que se pueden representar con materiales, como los policubos.
  2. Avanzamos, dibujando esa información, con barras divididas en las que se ven las unidades.
  3. Los números van creciendo, algunos alumnos pueden seguir necesitando dibujar esas unidades.
  4. En algún momento dan el paso de prescindir del dibujo de las unidades, y abstraen la cantidad sin necesidad de esa división.

Actualización (14-05-2019). Disponible el vídeo de la mesa redonda “Matemáticas del Siglo XXI”, en la que debatimos con José Antonio Fernández Bravo y Jaime Martínez Montero: https://mediateca.educa.madrid.org/video/k4zumebv1oki34ip

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Currículos internacionales

Recojo el guante de una petición que surgió el otro día en twitter, sobre un lugar donde se pudieran consultar los currículos de matemáticas de otros países. Aquí tengo una lista inicial, con los de Singapur y los que aportó @carlosyedma. La iré ampliando cuando vaya siendo posible, y con la información que me pueda llegar vía comentarios.

La referencia a los cursos es el estándar internacional, K1 es 1º de Primaria, hasta K12, normalmente el último curso antes de la universidad.

 

Prueba externa al final de la secundaria obligatoria

El pasado jueves estuve en Valladolid, en una formación sobre la metodología Singapur. Fueron dos jornadas muy interesantes, y una de las principales razones fue que los asistentes estaban divididos, casi a partes iguales, entre docentes de primaria y de secundaria. Uno de los temas de los que hablé fue la, desde mi punto de vista, excesiva complejidad técnica a la que sometemos a nuestros estudiantes durante la ESO. La imagen siguiente es la que suelo mostrar para explicar a qué me refiero.

A la izquierda tenemos una imagen tomada de uno de nuestros libros de 3º de la ESO, no importa cuál, estuvimos de acuerdo que son ejercicios estándar en ese curso. A la derecha, una imagen tomada del curso análogo, 3º de la secundaria obligatoria, de Singapur. Es verdad que el tema no es exactamente el mismo, pero es que la simplificación de potencias de fracciones algebraicas, como la que se muestra a la izquierda, simplemente no se puede encontrar en los libros de Singapur. Un detalle adicional es que el libro de Singapur corresponde a la “vía académica”. Al final de primaria ya hay una separación de alumnos (por lo que he leído, alrededor del 15% son dirigidos, al terminar la primaria – de 6 años, como la nuestra – a la vía que aquí llamaríamos formación profesional). Quede claro: esta separación no me gusta. Lo único que digo es que allí, en la vía académica, las matemáticas obligatorias son mucho menos técnicas que las nuestras, con nuestra educación de diseño comprensivo. Este énfasis en técnicas complicadas es, desde mi punto de vista, responsable de dos de nuestros problemas más importantes con las matemáticas en la secundaria:

  1. el problema del fracaso escolar y el abandono temprano.
  2. la aversión a las matemáticas que desarrollan una cantidad relevante de nuestros estudiantes.

A la vista de la imagen anterior casi siempre surge la pregunta de ¿qué estudian, entonces, en la secundaria de Singapur? Creo que una buena forma de contestar es enseñar la prueba externa correspondiente. Aclaración preventiva: no pretendo entrar en el debate sobre pruebas externas sí o no, solo digo que me parece una buena forma de mostrar qué matemáticas estudian, con qué profundidad, y con qué orientación. Ya dediqué entradas a las pruebas al final de primaria (1) y (2), y la análoga a nuestra “selectividad”, de manera que la que quedaba pendiente es la correspondiente al final de la secundaria obligatoria.

La “ESO” de Singapur tiene una estructura diferente a la nuestra, y para contextualizar la prueba voy a tratar de explicarla. La primera opción de un estudiante es si tomar la “vía Express” o la “normal”. El punto de llegada es el mismo, pero en la primera opción se llega en 4 cursos, mientras que en la segunda se llega en 5. No tengo datos sobre cuántos alumnos toman cada una. En esos cursos tienen una asignatura de matemáticas, obligatoria, y en los cursos finales aparece una asignatura “Additional Mathematics”, dirigida a los que serán estudiantes de ciencias y carreras técnicas. El ejemplo anterior corresponde a la asignatura general, y las diferencias quedarán más claras en las pruebas externas que luego enlazo. Este diseño se corresponde con un lema que les leí en algún sitio, y que me parece que merece, al menos, una reflexión: “matemáticas para todos, más matemáticas para algunos”. No tengo datos sobre cuántos alumnos cursan esas “matemáticas adicionales”, y me encantaría tenerlos, porque como podréis ver si echáis un vistazo a la prueba externa correspondiente el nivel es “llamativo”.

Por último, al terminar esta etapa hay dos pruebas externas, el “N-level” y el “O-level”. La “N” viene de “normal” y la “O” de “ordinario”, así que el nombre no clarifica mucho. Lo que sí queda claro al verlas es que la dificultad del nivel “O” es mayor que la del nivel “N” y por lo que he leído parece que el N-level es la prueba que hacen los estudiantes que dejan en ese momento la formación de la vía académica, mientras que el O-level es el necesario para los que quieren cursar el análogo a nuestro Bachillerato.

Un último comentario: hay una lista oficial de las fórmulas que se pueden usar en el examen (y que proporcional al alumno en papel, lo que es toda una declaración sobre el lugar de la memorización en su enseñanza-aprendizaje de las matemáticas) y hay también una lista de las calculadoras que se pueden usar.

Las dos pruebas tienen la misma estructura, dos partes. La primera, de dos horas, la segunda, de dos horas y media. Aquí están:

Si algún lector quiere información adicional, estos son los enlaces a los documentos que regulan estas pruebas: Mathematics, Additional Mathematics.

Un último comentario: pueden parecer pruebas de otro planeta, lo sé. Pero creo que cualquier paso que nos moviera en esa dirección sería positivo, porque me parece que estamos bastante desorientados en el tema de qué es la competencia matemática. Personalmente, me parece que muestra mucha más competencia matemática un alumno que supera una de las pruebas que he mostrado que otro que supera una prueba como las que nos presentan como “evaluación de la competencia matemática“.

Un último añadido: si algún voluntario puede traducir estos exámenes, para ayudar a su difusión, sería estupendo. Se podrían poner también aquí. Yo no voy a tener tiempo para ello. ¿Qué tal un proyecto en ShareLaTeX para hacerlo entre varios?

Añadido el 3 de diciembre: un amable lector del blog ha sido realmente rápido traduciendo las pruebas, y las ha puesto a nuestra disposición en los comentarios. Aquí están los enlaces directos a las diversas pruebas:

 

Rouché-Frobenius, ¿matemáticas escolares?

Vaya por delante, admiro profundamente a @edusadeci, y la labor de divulgación que hace en su canal #Derivando. Pero esta mañana no he podido evitar contestar cuando he visto este tweet suyo, en el que habla del Teorema de Rouché-Frobenius como de “matemáticas escolares”. Y me he visto obligado a contestar porque me parece que calificar al Teorema de Rouché-Frobenius como “matemáticas escolares” incide en el mayor error que recorre todo nuestro currículo de matemáticas, y es precipitar el estudio de multitud de contenidos.

No creo que exista ningún país en el que el teorema de Rouché-Frobenius se estudie en un nivel preuniversitario. Desde luego, no se hace en Francia, la patria de Eugène Rouché y famosa por su exigente Baccalaureat. Escribir esta breve entrada ha sido una buena excusa para echar un vistazo a su examen análogo a nuestra Selectividad, PAU, EvAU, o como queramos llamarla. En este enlace se puede acceder al examen de matemáticas S, el científico. Por cierto, ha sido solo una lectura rápida, pero a primera vista ese examen me ha gustado bastante. Desde luego, fuera del alcance de la mayoría de nuestros alumnos de 2º de Bachillerato, por lo que requiere de razonamiento y comprensión. Equilibrado, con algunas preguntas en contexto (real, no pseudo) y otras más teóricas. Desde luego, ni rastro de nuestra famosa pregunta “Discute este sistema en función de …”, que vale el 30% del examen y a la que se le dedica al menos un mes en la mayoría de nuestras aulas de 2º del Bachillerato de Ciencias.

Lo dicho: he visto unos cuantos países ya, y en ninguno he encontrado rastro de este teorema, antes de llegar a la universidad. Si algún lector puede darme un ejemplo le estaré agradecido, creedme.

Y el problema, claro, es que no es un caso aislado, sino un fallo de diseño de todo nuestro currículo de matemáticas.

 

 

 

Dibujos + LaTeX -> Ipe

Hace un par de meses Macías López, un compañero de Galicia, me preguntó por la herramienta que uso para las presentaciones de mis asignaturas de Magisterio. Me comprometí a escribir una entrada sobre el tema, para presentar la herramienta, porque creo que puede ser útil para muchos lectores. El programa se llama Ipe:  http://ipe.otfried.org/

Es un programa de uso gratuito, y tiene versiones para Windows y para Unix. Lo conozco de mi etapa de investigador. El autor es un investigador en Geometría Computacional (Otfried Cheong) que hizo el programa un poco como Donald Knuth creó TeX: no había ningún programa que le gustara para hacer dibujos para su trabajo, así que se puso a programarlo. La primera versión es de 1993, y desde entonces ha evolucionado mucho, desde luego. Una de las muchas cosas que me gustan es que está abierto a los comentarios de la comunidad: si hay alguna nueva funcionalidad que se demanda, y no es muy difícil de incorporar, es muy posible que la siguiente versión la tenga.

No puedo entrar en detalles técnicos, porque mis conocimientos de informática son de simple usuario. Si tuviera que describirlo, diría que es un programa que produce gráficos vectoriales, de calidad, y lo que es crucial, el texto lo gestiona con LaTeX. Yo trabajo con MikTeX, y la integración es perfecta, pero no he visto apenas problemas de compatibilidad con otras plataformas LaTeX.  La siguiente imagen es un ejemplo de lo que se puede hacer, y creo que me atrevo a afirmar de que no es difícil; como decía antes, no me considero ningún manitas. Estoy convencido de que cualquier usuario medio de LaTeX puede hacer algo como esto a las pocas horas de usar Ipe.

He estado retrasando esta entrada buscando el tiempo para hacer un pequeño manual introductorio, pero no va a ser posible. Me voy a conformar con algunos comentarios:

  • El manual y esta wiki están muy bien escritos, son concretos y van a lo importante. Vamos, como si los hubiera escrito un científico competente.
  • Ipe incorpora algunas construcciones geométricas. En este aspecto se queda muy lejos de Geogebra, por supuesto. Pero se le pueden añadir funcionalidades. De esto no sé nada, pero creo que con conocimientos informáticos medios se le pueden añadir funcionalidades, con añadidos que llaman “ipelets”.
  • Hay esencialmente dos formas de usar Ipe. La primera, más sencilla, es usarlo para hacer dibujos, que luego se pueden incorporar a otro documento. La segunda, usar Ipe para hacer presentaciones completas. En esta segunda versión, Ipe se convierte en una especie de PowerPoint. Esta segunda forma de uso requiere algo más de trabajo para empezar, en particular con el manejo de las “hojas de estilo” (style sheets) que definen las propiedades de la presentación. Creo que puede ayudar disponer de una presentación para tomarla de ejemplo. Aquí la dejo. El formato del archivo es pdf, pero es editable con Ipe. Otra cosa que me gusta de la aplicación es que tiene un formato de archivo propio (.ipe), pero también se puede trabajar con formato pdf, y estos son archivos que cualquiera puede ver con un visor pdf pero que Ipe puede editar. En este otro enlace hay un repositorio de presentaciones. No sé si son editables o no (hay una forma de que el pdf resultante no sea editable, para que la presentación no sea cambiada sin el permiso del autor, claro), pero seguro que es útil para hacerse una idea de las cosas que se pueden hacer con este programa.

Si algún lector se anima, y tiene alguna duda concreta, los comentarios pueden ser una buena vía para mantener la comunicación. Espero que Ipe os sea útil. En mi caso, es posible que sea el programa que más he usado durante los últimos 15 años.

Resumen del año … otra vez

Ha sido un curso casi en blanco para este blog, una única entrada, en febrero. Claro que me alegra mucho comprobar que, desde el punto de vista de los lectores, la realidad es muy distinta. Si hace un año, a punto de cumplir los 5 años de vida, daba las gracias a los lectores por llegar a las 200 mil visitas, un año después tengo que reiterarme, ya que a pesar de la casi nula producción de entradas estamos cerca de las 300 mil.

El motivo de la ausencia de entradas ha sido el exceso de trabajo, claro. Después de varios años de escribir para tratar de que se conociera la metodología Singapur, se me presentó la oportunidad de colaborar con la editorial Polygon durante el curso 2016-2017 en la implantación de unos libros de texto, y ya en junio de 2017, y durante todo este curso, con la editorial SM y su proyecto Piensa infinito, Matemáticas Singapur.

Ha sido mucho trabajo, porque hemos colaborado en las formaciones de los docentes, y en las visitas a las aulas de los colegios del piloto. Los colegios del piloto empezarán en septiembre con 3º de Primaria, y el plan es por supuesto avanzar año a año hasta completar la etapa de primaria. En este curso no hemos podido evaluar de manera rigurosa los resultados de la implantación, porque el equipo era reducido y hemos priorizado la formación y la asistencia. Pero mis sensaciones son buenas, muy buenas. Y son sensaciones basadas en lo que he visto en las visitas a las aulas, sobre todo en la segunda visita a las aulas, en los meses de abril y mayo. Porque si bien en la primera visita (en octubre y noviembre) ya se observaban cosas muy positivas, también aparecían algunas dificultades – creo que inevitables cuando se produce un cambio profundo en la forma de trabajar – ha sido en la segunda visita cuando hemos podido comprobar que el curso acababa muy bien, y que la gran mayoría de los docentes tenían una valoración muy positiva del cambio. Una de las cosas que más valoran los docentes es la capacidad que observan en sus alumnos para explicarse, para hablar de matemáticas. Espero que para el curso próximo ya seamos capaces de recoger algún tipo de evidencia sobre los resultados. Al menos, tendremos seguro los resultados de los colegios del piloto en la prueba de 3º de Primaria. Conocidas las pruebas, y después de escuchar a los alumnos que estaban terminando 2º, no tengo dudas de que serán muy positivos.

Lo que sí está ya disponible es el informe sobre el proyecto Maths no Problem, que es la adaptación a Gran Bretaña de los libros de Singapur que SM ha traído a España.  En Gran Bretaña empezaron hace ya algunos años (el informe es de 2016) y además con bastante dinero público detrás. El informe se puede descargar  aquí.

Parece que también en Francia empezará un programa piloto el curso próximo. Desde un punto de vista personal, debo reconocer que ha sido una satisfacción escuchar al gran matemático francés Cedric Villani, medalla Fields en 2010, y últimamente dedicado a la política, defendiendo la metodología Singapur como una buena opción para mejorar la enseñanza de las matemáticas en Francia.

Espero que todos recarguemos pilas estas próximas semanas. El curso próximo se presenta tan interesante, y extenuante, como este. Además de la colaboración en Piensa infinito, ya tengo algunas intervenciones comprometidas, como esta, el 17 de septiembre, en la Universidad de Otoño que organiza el Colegio Oficial de Docentes. Y otra el 10 de noviembre, en León, en un congreso que organiza la Junta de Castilla y León y en el que espero poder seguir conociendo lectores de este blog.

Añadido el 15/07/2018: una última cosa que olvidé ayer. Estamos arrancando el Aula de Matemáticas Activas SM-UAH. Queremos que el aula se convierta en un espacio de colaboración, dedicado a la formación de docentes y, en general, a trabajar por la mejora de la educación matemática  en España.

Aunque sea ponerse la venda antes de tener la herida, unas palabra sobre lo de “activas”, porque soy consciente del debate que existe en torno a las “metodologías activas”. Poner nombres a las cosas siempre es complicado, y creo que en nuestro país pecamos demasiado de elegir entre extremos. De hecho, creo que uno de los secretos del éxito de la metodología Singapur es su eclecticismo, usando materiales manipulativos, pero teniendo presente que el objetivo final es manejar de forma competente las matemáticas “tradicionales”. De la misma forma, “activar” al niño es fundamental, que los docentes escuchen más sus razonamientos (como también leí ayer a la gran María Antonia Canals). Pero también es importante disponer de momentos de “instrucción dirigida”, donde se pueden presentar y/o consolidar las técnicas y procedimientos fundamentales. En resumen: no nos encasillemos en los nombres, y espero que pronto empecemos a rellenar el espacio con propuestas que den contenido a ese título.

 

La EvAU de Singapur

Me he forzado a sacar un rato para escribir una entrada, aunque sea breve, porque hace unos días estuve en Valladolid, invitado por la sociedad de profesores Miguel de Guzmán y por el centro de formación de profesorado, para presentar las ideas básicas de las matemáticas de Singapur, y quedé más o menos comprometido en enseñarles cómo es una prueba de nivel pre-universitario allí.

Una de las cosas más importantes que trato de transmitir es que van más despacio en el desarrollo curricular. Una pregunta que siempre surge es: vale, pero entonces, ¿hasta dónde llegan? Mi contestación siempre es que el ir más despacio y haciendo las cosas con calma les permite, a la larga, llegar más lejos (y, sobre todo, con mayor profundidad). Creo que una buena forma de hacerse a la idea es ver la prueba final que tienen, su análogo a nuestra EvAU (EBAU, o como se llame en cada lugar), la prueba de matemáticas previa al acceso a la universidad.

No es del todo inmediato, porque tienen tres niveles de matemáticas preuniversitarias, H1, H2 y H3, en orden creciente de dificultad. No he encontrado datos sobre cuántos alumnos se decantan por cada una de ellas, pero por los programas parece que las H3 son unas matemáticas realmente avanzadas, pensadas para los alumnos excelentes, y que llegan, por ejemplo, a ecuaciones diferenciales. Las H1 parecen ser las matemáticas básicas preuniversitarias, lo que seguramente podríamos equiparar a nuestras matemáticas aplicadas para ciencias sociales. Las H2 quedarían, por tanto, como las análogas a nuestro examen de Matemáticas II. Al final pongo el enlace a una edición de la prueba. Creo que hay varias cosas que nos pueden resultar llamativas:

  • La extensión. El examen tiene dos partes, de tres horas cada una. Es verdad que cualquier prueba puede tener efectos secundarios negativos, el conocido “teaching to the text”. Si un examen está bien pensado, y es exhaustivo, este problema puede tener consecuencias limitadas.
  • las tablas de fórmulas que aparecen al principio son parte del material que los alumnos pueden usar durante el examen. No hace falta memorizar fórmulas: ni identidades trigonométricas, ni tablas de primitivas. Una calculadora gráfica también es parte del equipamiento estándar.
  • pero lo más importante es la profundidad de la prueba, claramente fuera del alcance de nuestros estudiantes al terminar el bachillerato.

Aquí está la prueba (la versión original, en inglés).

Espero que la siguiente entrada no se demore otros 7 meses … Y espero poder escribir pronto sobre alguno de los proyectos en los que estoy involucrado, y que me tienen colapsado.