Dos medios, dos velocidades

Con esa entrada quiero empezar la reflexión sobre el tema que propuso Conrad Wolfram en su presentación Stop teaching calculating, start learning math. El mismo mensaje, en el siempre atractivo formato de las TED talks, aquí. Me parece un tema de gran complejidad, y estoy muy lejos de tener una propuesta completa. Lo que me ha parecido más adecuado es empezar a presentar ejemplos concretos de qué impacto debería tener un buen uso de la capacidad de cálculo de la que estamos rodeados en temas ya presentes en las aulas. De hecho, hay un punto de la TED talk con el que discrepo. Wolfram acaba su presentación diciendo que el cambio en el enfoque de las matemáticas debe ser brusco, pasando sin solución de continuidad del paradigma actual a su propuesta. Dice que, de lo contrario, podríamos caer en el abismo que separa ambos enfoques. La verdad, no tengo claro cuál es ese abismo, ni me parece factible un cambio radical en ningún aspecto de un sistema como el educativo, cuya complejidad fuerza invariablement a que los cambios sean graduales. Sólo conozco un ejemplo de cambio radical en la enseñanza de las matemáticas, la New Math de los 60 en EEUU, que nos llegó como la Matemática Moderna en nuestra EGB de los 70. Creo que poca gente discrepa de la afirmación de que el fracaso fue absoluto.

Mi propuesta es, desde luego, más conservadora que la de Wolfram, pero creo que puede servirme (y espero que servirnos) para avanzar en la reflexión. A estas entradas les asignaré la etiqueta TIC; el término no me gusta, por el uso que se le ha dado, consistente demasiadas veces en hacer con el ordenador lo mismo que se hacía antes sin él. Pero desde luego sirve para el propósito de indexación, y puede ser también una forma de reivindicar el término.

Hoy quiero presentar un problema que leí en  El placer de la x, de Steven Strogatz. En sí mismo, el libro me parece absolutamente recomendable: creo que logra bastante bien eso tan complicado de transmitir ideas matemáticas importantes a lectores sin conocimientos matemáticos. El problema es el siguiente:

Una persona quiere ir desde el punto A de la figura hasta el B. Por encima de la recta r hay nieve, y puede moverse a una velocidad de 0’8 m/seg. Por debajo de la recta, el terreno está despejado y se mueve a una velocidad de 1’5 m/seg. En la figura se muestra una posible trayectoria.

  1. Calcula, en función de x, cuánto tiempo tarda.
  2. Representa la función obtenida con ayuda de un ordenador, y da una estimación del valor de x para el que el tiempo del trayecto es mínimo.

refraccionUn primer valor de este problema es desde luego el de la interdisciplinariedad, y cómo sirve de excusa para explicar que este fenómeno de velocidades distintas es lo que explica la refracción de la luz, y cómo la luz lo único que hace es moverse por el camino más rápido (ninguno de mis alumnos había oído hablar del tema).

Desde el punto de vista puramente matemático, el primer apartado me parece una bonita aplicación del Teorema de Pitágoras, no sencilla pero que sí debería ser accesible a los alumnos de 2º-3º de la ESO. Mis alumnos de magisterio lo resolvieron aceptablemente bien, el Teorema de Pitágoras es una de esas cosas que se estudia con el suficiente detalle. Pero en el segundo apartado, la gran mayoría se quedaron bloqueados. Contaba con ello, por supuesto, nunca se habían enfrentado a algo parecido. Se trataba de la preparación para hablarles unos minutos de las posibilidades que nos ofrecen los programas de representación de funciones. Incluso para los alumnos que habían estudiado el Bachillerato de Ciencias, esta función les resultó extraña (“fea”, en palabras de alguno). Por supuesto que es la reaccion normal: es una función muy distinta a las que habían visto hasta ese momento, y muy distinta a las que se habían encontrado durante el excesivo tiempo que se dedica en bachillerato a la representación de funciones (sí, ya lo sé, obligado por la selectividad).

La observación que me parece más importante, en relación con la propuesta de Wolfram, es que la opción de estudiar la representación de funciones prescindiendo de los ordenadores nos obliga a dedicarnos a un tipo de funciones muy especial, casi siempre sin ninguna interpretación relevante, y además invirtiendo una gran cantida de tiempo en ello; representar una función no es sencillo. Dedicaré pronto una entrada completa al tema de representación de funciones, pero termino con mi opinión sobre el tema: creo que deberíamos dedicar tiempo a representar funciones sencillas, de las que se pueden dibujar (al menos de forma aproximada) “a ojo”, y después pasar a ver funciones que aparecen en el estudio de los más variados fenómenos. Estas serían, casi invariablemente, excesivamente complicadas para dibujarlas  a mano, pero ¡para eso están los ordenadores! Interpretar la representación de estas funciones, y sus implicaciones en los modelos subyacentes, es una forma mucho más productiva de invertir el siempre escaso tiempo disponible.

Las estaciones. Día y noche

Esta noche he hecho un vuelo transoceánico y, al mirar la pantalla de información del vuelo, donde se veían las zonas día/noche, me ha llamado la atención que, en lugar de las típicas fronteras de tipo sinusoidal, esta vez lo que se veía de noche era un rectángulo perfecto. La verdad, no lo había pensado nunca, y he tardado unos segundos en encontrar la explicación: ¡Claro, estamos justo en el equinoccio de otopo!
Me pregunto cuántos de los pasajeros se habrán dado cuenta y cuántos se habrán preocupado por la explicación. Pregunta retórica, claro, se de sobras que casi ninguno. Pero me parece que en este tema los educadores tenemos una buena cuota de responsabilidad: desde que un niño entra en el colegio en primaria, y hasta que sale del sistema educativo, en lugar de fomentar la curiosidad, el acostumbrarle a buscar el porqué de las cosas, lo que hacemos es anestesiarle esa curiosidad (por supuesto, estoy hablando en general).
Me he dado cuenta de que hace bastante que no escribo de interdisciplinariedad, y que el tema de las estaciones se presta perfectamente. ¿Habéis preguntado a alguien alguna vez el porqué de las estaciones? Los “buenos estudiantes”, en general, recuerdan que la razón no es la distancia entre la tierra y el sol, sino la inclinación con que los rayos solares llegan a la tierra. Ahora bien, si queremos rascar un poco más, y preguntamos por qué esa inclinación cambia a lo largo del año, la cosa se complica un poco más. Y me parece que es una idea para una actividad perfecta para secundaria, idealmente coordinada con la asignatura de tecnología, o la de ciencias, o la que se pueda. Creo que es tema a caballo entre las ciencias y la geometría (la gran olvidada de las matemáticas): el fenómeno es muy relevante en ciencias, por supuesto, pero la explicación es geometría pura. Me parece que es perfectamente posible que un grupo de alumnos construya un modelo sol-tierra, que vean cómo el ángulo con el que llegan los rayos del sol va cambiando cuando la tierra gira, que vean cómo eso afecta a los periodos día/noche, y que vean cómo se representan esas regiones del globo terráqueo en un planisferio. Una actividad que les podría hacer pensar bastante, y sin una sola cuenta …

Cuentas sin sentido

Me había prometido no incluir en este blog ejemplos de lo mal que están algunas cosas. Creo que todos somos conscientes de ello, y prefiero escribir en positivo. Sin embargo, en un mismo día de esta semana he visto dos cosas que me han dejado perplejo, y  creo que son ejemplos perfectos de hasta qué punto estamos rodeados de cuentas sin sentido.

En mi clase de Matemáticas para maestros les propuse el siguiente problema: “Si ahora son las 8 de la tarde, ¿qué hora era hace 2500 horas?”. Cerca de la mitad de la clase no sabía cómo hacerlo. Insisto: no tengo queja de su motivación; lo intentaron, pero no sabían hacerlo. Pero lo que más me sorprendió es que cuando expuse la solución, a partir de la igualdad  2500 = 104 \times 24 + 4 aún había una cantidad significativa de alumnos, digamos que alrededor del 10%, que no entendían la solución, y con los que tuve que recurrir a ejemplos más sencillos, como tomar 28 horas, etc. Estoy seguro de que en su formación habían hecho decenas (posiblemente centenares) de divisiones, pero no entendían la idea básica de división.

Ese mismo día, al llegar a casa, mi hija mayor me cuenta que está estudiando los logaritmos. Está en 4º de ESO (para los lectores que no conozcan el sistema educativo español, se trata del 10º curso de la educación obligatoria). La verdad es que hasta ahora no había pensado en los logaritmos (lo pongo en la lista), así que no tengo mucho que decir acerca de cómo creo que se deberían tratar, pero creo que todos hemos escuchado la palabra en boca de gente “de letras” cuando quieren expresar lo esotérico e incomprensible de las matemáticas que estudiaron al final de la educación obligatoria. Mi hija no tenía mayores problemas con el tema, sólo quería enseñarme lo raras que eran algunas cuentas que estaba haciendo. Aquí están escaneadas las dos a las que les daría los primeros premios en el concurso:

Otra cosa que me llamó poderosamente la atención de su cuaderno es que tenía una lista de ¡7! propiedades de los logaritmos. La primera decía: “El logaritmo de la base elevada a una potencia es la potencia”. Preferí no seguir leyendo …

Como digo, no tengo una propuesta clara sobre el tema, así que voy a terminar con las dos primeras observaciones que se me ocurren:

  1. Una vez más, la interdisciplinariedad es clave. Es la primera vez que estudian los logaritmos, pero para algunos será la última, y hablar ya en esta ocasión de los decibelios, o el pH, o la escala de Richter para medir la intensidad de los terremotos,  es imprescindible para que el tema tenga algún sentido.
  2. La idea matemática fundamental es, desde luego, que el logaritmo es la inversa de la función exponencial.

A partir de aquí, la observación es la general: ¿qué queremos conseguir cuando les ponemos a hacer cuentas?

Nanopartículas

Este problema se me ocurrió mientras escuchaba un podcast de la serie Discovery de la BBC (los podcast de la BBC me parecen, en general, un material muy interesante, en especial por supuesto para los profesores de centros bilingües. Este es el problema, que creo que sería adecuado para el final de la ESO y Bachillerato.

  1. Tenemos 1 gr de agua en forma de gota esférica. ¿Cuál es su superficie?
  2. Ahora tenemos esa misma cantidad de agua pero formando 10 gotas esféricas iguales. ¿Cuál es ahora la superficie total?
  3. En función del tiempo disponible y del nivel del grupo, se podría repetir el apartado 2 con 100 esferas, o 1000, u obtener directamente la función que expresa la superficie en función del número de partículas.

Lo que se observa es que la superficie aumenta al aumentar el número de partículas. Evidentemente, la razón de este fenómeno es el diferente comportamiento frente al cambio de tamaño de la superficie y el volumen del que se ocupaba la entrada anterior.

La aplicación: la actividad de una sustancia en un entorno, por ejemplo nuestro cuerpo, depende fundamentalmente de la superficie de contacto, porque es ahí donde se desarrollan las reacciones químicas. Un campo de investigación en el área de Nanopartículas consiste en investigar cómo se puede añadir, por ejemplo, sal o azúcar a un alimento en forma de nanopartículas. De esta forma se podría conseguir el mismo sabor con una cantidad menor de producto, con el consiguiente beneficio para la salud. Claro que no todo son luces; algunos críticos sostienen que hay que tener cuidado con las nanopartículas. Precisamente por su pequeño tamaño, es posible que puedieran llegar a lugares donde en su forma usual no llegan, y habría que estudiar cuáles podrían ser los efectos de esto a medio y largo plazo.

Proporcionalidad y volumen

La falta de interdisciplinariedad es un problema del sistema educativo. Pero es que incluso dentro de las matemáticas, hay pocas actividades que combinen conceptos de distintas áreas: cuando se hace aritmética, a eso nos dedicamos, luego viene la geometría, o la representación de datos …

Por ejemplo, creo que se trabaja muy poco el tema de cómo cambia el volumen – o la masa – cuando un objeto cambia de dimensiones. No es sencillo desarrollar la intuición al respecto (creo que todos estamos de acuerdo en que hay algo de sorprendente en el resultado del problema de “la humanidad en fila” de la entrada anterior). Si se quiere comprobar cuál es el estado de la cuestión “en la calle”, no hay más que preguntar a una “persona normal”  sobre cómo cambia el peso de una naranja cuando su tamaño – medido por el calibre (el diámetro) – se duplica. Yo lo he hecho varias veces, y la respuesta ha oscilado entre “no lo sé” y “también se duplica, claro”. Cuando el interlocutor ha sido suficientemente paciente, por interesado o por simple aprecio personal, y me ha dejado la posibilidad de explicarle la respuesta, la reacción ha sido de sorpresa total, y además la actitud final suele ser un inconfundible “vale, las matemáticas dirán eso, pero no termino de creérmelo”.

Este tema se debería tratar al menos desde dos puntos de vista.

El primero, desde el punto de vista curricular, sería como ejercicio de adquisición y representación de datos. Al final del segundo ciclo de primaria, y desde luego en el tercero, se podría plantear la siguiente actividad a los niños. “Para mañana, tenéis que traerme los siguientes datos. Tamaño y peso de tres naranjas (o manzanas, u otra fruta de temporada de forma aproximadamente esférica) de vuestra casa: la más grande que encontréis, la más pequeña y una de tamaño medio“. Creo que una cantidad suficiente de casas dispondrían de básculas de cocina de una precisión suficiente. Obsérverse que no he dado detalles sobre cómo medir el tamaño de la fruta. Decidir qué hay que medir sería parte de la actividad, y continuaríamos en la clase del día siguiente con la puesta en común de las diferentes medidas, ventajas, inconvenientes, e investigando la relación entre ellas. Finalmente, representaríamos los datos y estudiaríamos qué conclusiones se pueden sacar de la gráfica correspondiente.

El siguiente enfoque es posible al final del tercer ciclo, y en la enseñanza secundaria, cuando ya se ha hecho un estudio más formal del volumen. Además de la pregunta original sobre la duplicación de la esfera, se podrían tratar cuestiones como esta: ¿cómo cambia el volumen de un cilindro si el radio de la base aumenta un 10% y la altura disminuye un 10%? (Dependiendo del curso, por supuesto, la pregunta se podría hacer de esta forma, o con unos datos concretos para radio y altura).

La creatividad es otro de los aspectos en general poco cuidados (una entrada sobre creatividad y  matemáticas está en la lista),  y creo que todos deberíamos estar atentos para proponer, siempre que fuera posible, una actividad que no tenga “una solución”, sino varias. Relacionada con estos temas, se me ocurre la siguiente: diseña tres vasos cilíndricos de volumen 1/3 l, y estudia la relación entre sus dimensiones. Si el tiempo lo permite, se podrían construir en cartulina y comentar las ventajas e inconvenientes de los distintos diseños.