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Los logaritmos

Si hay un término favorito de «la gente de letras» para evocar la parte más esotérica que recuerdan de las matemáticas es el de «logaritmo». En estos tiempos de presencia creciente de informática, programación y algoritmos, las cosas se ponen de vez en cuando divertidas, por la frecuente confusión entre algoritmo y logaritmo.

La razón por la que este término es común cuando alguna gente se refiere a las matemáticas como algo ajeno es clara: creo que es uno de esos conceptos que se aprenden (más o menos) a manipular, pero que muchos alumnos no entienden en absoluto, Una buena parte de esa falta de comprensión está motivada por el enfoque más extendido en su estudio. Hace tiempo que estaban en la lista de entradas pendientes, y este comentario de Elena, una de las lectoras más activas del blog (¡muchas gracias!) me ha decidido a sacar los minutos necesarios. Y son minutos porque no voy a escribir nada sobre el tema: me aburre la perspectiva y creo que aburriría al lector. Creo que ya está casi todo dicho. En su lugar, lo que quiero hacer es mostrar cómo se trata el tema en un texto de secundaria de Singapur. Dos comentarios previos:

  1. Que nadie espere encontrar «metodologías innovadoras». De hecho, es una presentación bastante clásica. Eso sí, creo que con un logrado equilibrio entre las técnicas que hay que dominar, las ideas subyacentes, y las aplicaciones como el pH, o los decibelios.
  2. El texto del que están tomadas corresponde a la asignatura «Additional mathematics», y forman parte del programa para el «O-level». No he podido encontrar datos de cuántos alumnos cursan esa asignatura, pero de su nombre queda claro que no es la básica (y en esa otra asignatura básica, que estudian durante los 4 años de la secundaria obligatoria, simplemente los logaritmos no se tratan). Además, el «O-level» es la prueba de final de secundaria obligatoria de mayor nivel (a pesar de la O, de «ordinary»). Existe otra por debajo, el «N-level», que requiere de un año adicional de puente para pasar luego al equivalente al bachillerato. La estructura de su secundaria no es sencilla de explicar, y si algún lector está interesado en conocer más detalles puede consultar el estupendo Trabajo Fin de Máster que Izaskun Ilarduya hizo sobre el tema: aquí está (¡muchas gracias, Izaskun!). En resumen, que seguramente una parte significativa de los estudiantes de Singapur se libran del «trauma de los logaritmos».

Bien, pues aquí está el capítulo anunciado.

 

Cuentas sin sentido

Me había prometido no incluir en este blog ejemplos de lo mal que están algunas cosas. Creo que todos somos conscientes de ello, y prefiero escribir en positivo. Sin embargo, en un mismo día de esta semana he visto dos cosas que me han dejado perplejo, y  creo que son ejemplos perfectos de hasta qué punto estamos rodeados de cuentas sin sentido.

En mi clase de Matemáticas para maestros les propuse el siguiente problema: «Si ahora son las 8 de la tarde, ¿qué hora era hace 2500 horas?». Cerca de la mitad de la clase no sabía cómo hacerlo. Insisto: no tengo queja de su motivación; lo intentaron, pero no sabían hacerlo. Pero lo que más me sorprendió es que cuando expuse la solución, a partir de la igualdad 2500 = 104 \times 24 + 4 aún había una cantidad significativa de alumnos, digamos que alrededor del 10%, que no entendían la solución, y con los que tuve que recurrir a ejemplos más sencillos, como tomar 28 horas, etc. Estoy seguro de que en su formación habían hecho decenas (posiblemente centenares) de divisiones, pero no entendían la idea básica de división.

Ese mismo día, al llegar a casa, mi hija mayor me cuenta que está estudiando los logaritmos. Está en 4º de ESO (para los lectores que no conozcan el sistema educativo español, se trata del 10º curso de la educación obligatoria). La verdad es que hasta ahora no había pensado en los logaritmos (lo pongo en la lista), así que no tengo mucho que decir acerca de cómo creo que se deberían tratar, pero creo que todos hemos escuchado la palabra en boca de gente «de letras» cuando quieren expresar lo esotérico e incomprensible de las matemáticas que estudiaron al final de la educación obligatoria. Mi hija no tenía mayores problemas con el tema, sólo quería enseñarme lo raras que eran algunas cuentas que estaba haciendo. Aquí están escaneadas las dos a las que les daría los primeros premios en el concurso:

Otra cosa que me llamó poderosamente la atención de su cuaderno es que tenía una lista de ¡7! propiedades de los logaritmos. La primera decía: «El logaritmo de la base elevada a una potencia es la potencia». Preferí no seguir leyendo …

Como digo, no tengo una propuesta clara sobre el tema, así que voy a terminar con las dos primeras observaciones que se me ocurren:

  1. Una vez más, la interdisciplinariedad es clave. Es la primera vez que estudian los logaritmos, pero para algunos será la última, y hablar ya en esta ocasión de los decibelios, o el pH, o la escala de Richter para medir la intensidad de los terremotos,  es imprescindible para que el tema tenga algún sentido.
  2. La idea matemática fundamental es, desde luego, que el logaritmo es la inversa de la función exponencial.

A partir de aquí, la observación es la general: ¿qué queremos conseguir cuando les ponemos a hacer cuentas?