La multiplicación

Una de las primeras entradas de este blog estuvo dedicada a las tablas de multiplicar. Creo que es momento de revisar el tema, dando un paso atrás, y pensando en cómo introducir la multiplicación. En la figura vemos unos ejemplos de cómo se introduce en un par de libros de texto (si la calidad de la imagen no es suficiente, haciendo click en ella se resuelve el problema). Son dos ejemplos de las editoriales dominantes, pero todas las que he visto (aunque el estudio no ha sido exhaustivo) siguen un enfoque similar.

multiplicacion-sumas-repetidas

Respecto del comienzo, nada que objetar. La multiplicación no es más que un atajo para hacer una suma donde el sumando se repite, y tengo claro que esa es la idea adecuada para introducirla a un niño en primaria. El problema es cuando la suma 2+2+2+2+2=10 se traduce como 2 x 5 = 10. Lo que estamos escribiendo aquí es “dos por cinco”, como abreviatura de “dos multiplicado por cinco”; por supuesto, todo es correcto; 5 es el multiplicador, y cuenta el número de veces que se repite el multiplicando, en este caso el 2. El problema es que estamos dando un salto en el vacío, y es complicado que el niño establezca la conexión entre 2+2+2+2+2=10 y 2 x 5 = 10 que se supone que se está usando en la figura para definir la multiplicación. Si el concepto de multiplicación se introduce a partir de sumas repetidas (y, por tanto, de “veces”) el multiplicador debería ser el primer factor. Aunque multiplicando y multiplicador me parecen términos prescindibles, sobre todo al principio. Me parece mucho más adecuado traducir la suma 2+2+2+2+2 como 5 x 2, y leer “cinco veces dos”. Es verdad que también se podría interpretar 2 x 5 como “dos cinco veces”, y eso arreglaría el problema, pero las ventajas de que la palabra por y la palabra veces sean intercambiables me parecen evidentes. En este punto, las matemáticas dependen fuertemente del idioma, y no tengo idea de cuál será el enfoque más extendido en el mundo. Pero en la búsqueda que he hecho en los idiomas más hablados de Europa occidental, sólo los italianos nos acompañan en el uso del “por”: los ingleses usan “times” (con alguna variación que comentaré luego: a veces leen 2 x 3 como “two threes”), los franceses “fois” y los alemanes “mal”, exactamente los equivalentes al castellano “veces”.

La cosa se complica un poco más cuando damos el siguiente paso y llegamos a las tablas de multiplicar. Lo natural, me parece, es plantear la tabla del 2 como “contar de 2 en 2” pero, como ya comenté en la entrada sobre las tablas, eso obliga a que, en la tabla del 2, el 2 aparezca en segundo lugar. Y aquí la confusión parece que ya es total.

Tampoco me convence el enfoque de mis casi siempre admirados libros de Singapur. En la siguiente figura he reunido algunos ejemplos del proceso. Las dos figuras de la primera fila corresponden a la introducción al final de 1º. Claramente, a partir del concepto veces, y escribiendo 4 veces 2 como 4 x 2. La segunda fila son ejemplos del libro de 2º, donde se empieza a escribir “multiply by”. No me convence la introducción de la propiedad conmutativa que contienen. El misterio se aclara cuando uno avanza en el libro, y llega a las últimas figuras. La “prisa” en introducir de esa forma la propiedad conmutativa está ocasionada por la introducción de la tabla del 2, Supongo que todo es posible si uno le dedica el suficiente tiempo, pero no me convence demasiado esa idea de introducir “las dos tablas del 2” a la vez (aparecen en páginas consecutivas del libro).

intro-multiplicacion-Singapur

He pasado algún rato haciendo una exploración (nada sistemática) en youtube, para los casos del inglés, francés y alemán, que usan el equivalente a “veces”. Estos han sido los resultados:

En inglés, los ejemplos que he visto que usan “times”, son como este (el 2 en primer lugar). Parece que, en un intento de arreglar este tema, ha surgido una nueva versión, en la que la tabla del 2 es “dos doses, tres doses, cuatro doses …”. En estos casos, como aquí, el 2 aparece en segundo lugar. Esto no deja de ser curioso, porque en el lenguaje usual las expresiones “two threes” y “two times three” significan, me parece, exactamente lo mismo. También he visto un ejemplo peculiar, donde el dos aparece en primer lugar, pero no usan times.

Los 3 ó 4 ejemplos que he visto en francés son como este. La tabla del 2 es “2 fois 1, 2 fois 2, 2 fois 3 …”. En alemán, todos los ejemplos que he visto son como éste, con el 2 en segundo lugar. Parece que aquí hacen honor al tópico de “sistemáticos”. Si algún lector quiere ponerlo a prueba, el término a perseguir es “einmaleins tabelle”.

Me resulta muy llamativa la enorme variedad de alternativas, y eso limitándome a los idiomas más cercanos. Si algún lector tiene conocimientos de chino, o japonés, me encantaría saber qué opciones toman esos idiomas. (Y una petición a mis lectores hispanoamericanos: ¿cuál es la situación en sus países?)

Mi propuesta es clara: deberíamos movernos a “veces”, o al menos usar “por” y “veces” indistintamente, olvidándonos del multiplicando, multiplicador, y demás. ¿Qué aporta esa terminología? Y, claro, cambiar el orden de las tablas, diciendo la tabla del 2 como 1 vez 2, 2 veces 2, etc. Eso ayudaría a ver la tabla del 2 como “contar de 2 en 2”, y creo que facilitaría su aprendizaje. Como ya comenté en la entrada sobre las tablas de multiplicar, su correcto aprendizaje me parece imprescindible. Otra cosa, por supuesto, es que se debería trabajar con más calma, sin pretender la memorización precipitada.

Pero parece muy complicado encontrar un colegio que se atreva a experimentar con este cambio. Una dificultad añadida es que hay que coordinar dos ciclos, porque se empieza con la multiplicación en 2º, y se continúa en 3º. Si algún lector se anima, o conoce algún colegio donde se podría intentar, estaría muy interesado en recibir noticias, o en implicarme en la experiencia. Para ayudar, aquí están estas otras tablas de multiplicar. El orden intenta ser el de dificultad de aprendizaje. No conozco ningún trabajo en ese sentido, así que es sólo una conjetura personal.

Cumpleaños

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Hoy este blog cumple un año. Empezó como un pequeño proyecto personal, sobre todo para poner en limpio algunas reflexiones sobre la enseñanza de las matemáticas. Si alguien me hubiera pronosticado que en su primer año de vida el blog iba a alcanzar las 17000 páginas vistas, le habría tildado de loco. En este día no tengo más que agradecimientos: por supuesto, en primer lugar a los lectores, por su interés y muchas veces participación; también a esos amigos que al principio me hicieron una estupenda publicidad.

Estoy mucho más que satisfecho del proyecto: el proceso de poner por escrito mis ideas sobre la educación matemática ha sido enriquecedor, y las reflexiones de los lectores han ayudado a seguir profundizando en los temas. Pero lo mejor de este primer año de vida ha sido que este blog me ha dado la oportunidad de conocer muchas personas interesadas en las matemáticas (algunas ya “desvirtualizadas”, otras todavía no). Estos contactos han sido sin duda el mejor producto de este año.

Me despido hasta finales de mes, con algunas recomendaciones de lectura-vídeos para las vacaciones.

Paul Lockhart y su lamento: A mathematician’s lament. Según Wikipedia, el artículo dio paso a un libro (que no he leído).

Eric Mazur es un físico de talla internacional, que desde hace unos años se preocupa también de la pedagogía. Es conocido fundamentalmente por la “peer instruction” pero personalmente me interesa más su reflexión acerca de si es mejor poner el acento en los conceptos básicos o en las rutinas. En youtube se pueden encontrar vídeos de algunas de sus conferencias. Aquí van algunas recomendaciones concretas:

Las dos primeras se solapan bastante. La primera la recomiendo casi por razones históricas: es la que le dio a conocer internacionalmente.