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Par/Impar

El concepto de paridad es seguramente el ideal para que un alumno empiece a explorar el mundo del razonamiento matemático. ¿Cuándo? Desde mi punto de vista, cuanto antes, mejor. Evidentemente, el enfoque no puede ser el mismo si se trabaja en 2º de primaria o en 2º de la ESO, pero un niño de 6-7 años está perfectamente preparado para empezar a explorar el concepto de número par, y las propiedades de la aritmética de los números pares e impares.

Sólo hay un problema, y es cómo se introducen los números pares en los libros de texto. En la figura se muestra un ejemplo de un libro de texto. Una vez más, la editorial no es importante: las mayoritarias hacen todas lo mismo. Creoo que se trata del mismo tipo de error del que hablé en la entrada sobre la mediatriz de un segmento. Se confunde lo que es la definición de algo con lo que es una propiedad derivada de esa definición. Si por alguna extraña mutación tuviéramos nueve dedos, todo sería distinto …

pares-imparesSe trata de un error epistemológico grave, pero lo más importante para el tema que nos ocupa es que definir los números pares como se hace en la figura empobrece cualquier tipo de trabajo sobre ellos. Hay dos posibles definiciones para los números pares, y las voy a formular al nivel que lo haría ante una clase de niños de 6-7 años:

  • el número de objetos es par si se puede dividir en dos montones iguales, sin partir ningún objeto.
  • el número de objetos es par si se pueden emparejar.

No creo que una de las dos sea mejor que la otra. De hecho, parte del trabajo de razonamiento matemático que hay que hacer es que los niños se convenzan de que son definiciones equivalentes. A partir de ellas, además, se pueden trabajar multitud de cuestiones: propiedades de los números pares (en qué cifra terminan), qué pasa si sumamos dos números pares, o dos que no lo sean, o …

Definiendo los números pares como hacen los libros de texto (y como por tanto se hace en la mayoría de las aulas) estamos ignorando el principio básico que ya tenía claro Plutarco hace más de 2000 años: estamos tratando al cerebro como un vaso que hay que llenar, cuando en realidad es una lámpara que hay que encender.

Supongo que los libros de texto toman el camino «fácil», el problema es que no lleva a ninguna parte. Seguro que hay lectores que ya han comprobado que las defininiciones que he propuesto son perfectamente posibles ya en primer curso de primaria. Nosotros lo comprobamos el otro día en una clase «normal». Por supuesto, la observación final es que esa definición no fue el fin del proceso, sino el comienzo de las más variadas preguntas por parte de los niños…

La inflación terminológica

Como ya me ha ocurrido otras veces, un hecho puntual me decide a escribir sobre un tema al que de alguna manera le estaba dando vueltas. Hojeando un libro de 4º de la ESO me llamó la atención una nueva ecuación de la recta: la ecuación segmentaria. Tuvo una componente casi emocionante: después de casi 30 años dedicado a las matemáticas, todavía podía descubrir una nueva ecuación para una recta en el plano! En el cuadro resumen del mismo libro (el de la foto), comprobé que en ese tema trataban nada menos que ¡7! ecuaciones distintas.

ec-segmentaria

Hablando ya en serio, creo que el problema es más relevante de lo que se puede pensar a primera vista. Es cierto, todas son «equivalentes» (pero, un momento, si son equivalentes, ¿para qué queremos tantas?), y para el profesor, o un alumno que entiende el tema, no suponen ningún problema. Pero creo que para el alumno medio que se enfrenta al tema por primera vez, simplemente memorizar el listado completo de ecuaciones (o el subconjunto que se trate en el curso) y cómo pasar de unas a otras, consume una parte importante de tiempo que luego … no tenemos para hacer problemas. Creo que es sólo un ejemplo de un problema general, que consiste en la sobreabundancia de términos, ecuaciones, clasificaciones, etc. y que, por supuesto, tiene que ver con lo que ya escribí en la entrada sobre la función secante.

Desde luego, el problema no es nuevo. Ya en 1984, Miguel de Guzmán escribía sobre los problemas de la enseñanza de las matemáticas en España, y subrayaba el “énfasis excesivo y perjudicial en nombres y distinciones” [1]. Pero creo que, lejos de corregirse, este problema ha empeorado (en el sentido de que el recorte que se ha producido en los programas – y sobre todo en la práctica – se ha centrado en los problemas, y otras actividades de alto valor cognitivo, y por tanto la proporción problemas/técnicas-definiciones-terminología ha disminuido con el paso de los años).

¿Qué ecuaciones de la recta se deberían tratar en secundaria? Desde mi punto de vista, como mucho los tipos de ecuaciones que aparecen para estudiar curvas y superficies en general, que son las esencialmente distintas:

  • la paramétrica (si se escribe en forma escalar o vectorial es un detalle que no creo que se merezca un nombre).
  • la implícita, ax + by + c =0  (llamarle ecuación general, o no, creo que es secundario).
  • la explícita, y = ax + b, importante por la conexión con las gráficas de funciones y la idea de pendiente.

¿Qué se hace en otros sitios? Bueno, los libros que tengo a mano son los de Singapur. He comprobado los textos de secundaria, comparables a los españoles de la ESO porque allí también tienen 6 años de primaria (empezando a los 6 años) y 4 de secundaria. En tercer curso, en 20 páginas del libro, estudian la recta solo con la ecuación explícita. Por supuesto, le dedican el tiempo necesario al concepto de pendiente, y a las rectas verticales y horizontales, que tantos dolores de cabeza causan a algunos de nuestros alumnos. Después, en 4º curso, le dedican 4 páginas de repaso al tema. Como la ecuación implícita (o general) ya ha aparecido en el estudio de los sistemas lineales, es el momento de hacer algunos ejercicios que aclaren su relación con la explícita, ya conocida del curso anterior. Ya sé que es un solo tema, y un solo país, pero, ¿no resulta la diferencia muy llamativa?

[1] Miguel de Guzmán: El papel de la matemática en el proceso educativo inicial. Enseñanza de las ciencias, 1984, pp. 91-95.

El test de la mediatriz

Cuando cae en mis manos un texto en el que debo esperar encontrarla, lo primero que hago para hacerme una primera idea del enfoque que sigue el libro en la presentación de las matemáticas es buscar la definición de mediatriz de un segmento. Las posibles definiciones son:

  1. la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular que pasa por el punto medio del segmento.
  2. la mediatriz de un segmento es el conjunto de puntos que equidistan de los extremos del segmento.

Mis opiniones en esta entrada pueden ser más subjetivas que nunca, no conozco estudios sobre el tema, pero creo que el optar por una u otra dice bastante del planteamiento metodológico del texto. Claramente, la primera alternativa es más sencilla de entender, más visual. Hasta el lector más despistado será capaz de visualizarla. Sólo tiene un inconveniente: que no sirve para nada.

La segunda alternativa requiere por supuesto más trabajo: a partir de la definición, hay que descubrir que ese conjunto de puntos es una recta, que es perpendicular al segmento, y que pasa por el punto medio de éste.

El lector puede estar pensando en este punto que los alumnos deben tener las dos visiones de la mediatriz. Y esto es  cierto, por supuesto. Que, por tanto, partir de una de ellas como definición, y llegar a la otra como una propiedad, resultará equivalente. Discrepo: la definición (el concepto) y las propiedades que de ella se deducen, se sitúan en niveles cognitivos distintos. El concepto, que se debe reflejar en la definición, es lo que permitirá insertar el nuevo objeto en la estructura de aprendizaje del alumno.

Cuando la mediatriz aparece en diferentes construcciones geométricas la clave es la idea de equidistancia.  Por tanto, un alumno que ha interiorizado la definición (2) tendrá mucho más fácil entender el papel de la mediatriz en las construcciones.

Otra ventaja de la definición (2) es que posibilita el aprendizaje por descubrimiento. La idea de equidistancia en natural, y se puede pedir a los alumnos que encuentren puntos que estén a la misma distancia de dos puntos A y B determinados.

Y existe por supuesto una última razón para preferir la definición (2). Es la que se corresponde con la de las matemáticas superiores. La perpendicular en el punto medio aparece cuando medimos la distancia de la forma usual, pero en un curso de bachillerato, o en un seminario para alumnos interesados, es perfectamente posible plantear el problema de estudiar qué tipo de mediatrices aparecen si la distancia entre dos puntos se mide de otra forma.

Sin haber hecho un estudio exhaustivo, concluyo esta entrada con mi impresión de que, en los textos de primaria y secundaria españoles, la opción (1) es claramente mayoritaria.

Para terminar, un par de problemas que se pueden plantear ya en secundaria para trabajar la mediatriz desde el punto de vista métrico:

  • En el parque de la figura hay papeleras en los puntos A, B, C y D. Dibuja el conjunto de puntos del parque para los que la papelera más cercana es la situada en el punto A.

parque

  • Construye la circunferencia más grande que pasa por A y por B y que tiene el centro dentro del polígono P.

circ-poli