Los logaritmos

Si hay un término favorito de “la gente de letras” para evocar la parte más esotérica que recuerdan de las matemáticas es el de “logaritmo”. En estos tiempos de presencia creciente de informática, programación y algoritmos, las cosas se ponen de vez en cuando divertidas, por la frecuente confusión entre algoritmo y logaritmo.

La razón por la que este término es común cuando alguna gente se refiere a las matemáticas como algo ajeno es clara: creo que es uno de esos conceptos que se aprenden (más o menos) a manipular, pero que muchos alumnos no entienden en absoluto, Una buena parte de esa falta de comprensión está motivada por el enfoque más extendido en su estudio. Hace tiempo que estaban en la lista de entradas pendientes, y este comentario de Elena, una de las lectoras más activas del blog (¡muchas gracias!) me ha decidido a sacar los minutos necesarios. Y son minutos porque no voy a escribir nada sobre el tema: me aburre la perspectiva y creo que aburriría al lector. Creo que ya está casi todo dicho. En su lugar, lo que quiero hacer es mostrar cómo se trata el tema en un texto de secundaria de Singapur. Dos comentarios previos:

  1. Que nadie espere encontrar “metodologías innovadoras”. De hecho, es una presentación bastante clásica. Eso sí, creo que con un logrado equilibrio entre las técnicas que hay que dominar, las ideas subyacentes, y las aplicaciones como el pH, o los decibelios.
  2. El texto del que están tomadas corresponde a la asignatura “Additional mathematics”, y forman parte del programa para el “O-level”. No he podido encontrar datos de cuántos alumnos cursan esa asignatura, pero de su nombre queda claro que no es la básica (y en esa otra asignatura básica, que estudian durante los 4 años de la secundaria obligatoria, simplemente los logaritmos no se tratan). Además, el “O-level” es la prueba de final de secundaria obligatoria de mayor nivel (a pesar de la O, de “ordinary”). Existe otra por debajo, el “N-level”, que requiere de un año adicional de puente para pasar luego al equivalente al bachillerato. La estructura de su secundaria no es sencilla de explicar, y si algún lector está interesado en conocer más detalles puede consultar el estupendo Trabajo Fin de Máster que Izaskun Ilarduya hizo sobre el tema: aquí está (¡muchas gracias, Izaskun!). En resumen, que seguramente una parte significativa de los estudiantes de Singapur se libran del “trauma de los logaritmos”.

Bien, pues aquí está el capítulo anunciado.

 

Suena familiar, ¿verdad?

Una minientrada, para recomendar encarecidamente la visión de este vídeo (5 minutos). En él se habla de lo que hacían mal en Singapur enseñando matemáticas hace 40 años. ¿No resulta inquietantemente familiar?

(Quiero dar las gracias a David Ayerra, del colegio Irabia-Izaga, de Pamplona, que no sólo me ha dado a conocer el vídeo sino que lo ha subtitulado).

 

Por resumir …

Creo que el debate causado por el tema “veces vs multiplicado por” ha sido muy interesante (gracias a todos por los comentarios) y que merece la pena una última entrada resumen (con la promesa de no volver a escribir sobre este tema en una temporada, es cierto que empieza a resultar machacón).

El debate de darle sentido a la expresión 2 \times 3 se puede tener en el terreno puramente matemático, o en el de la educación matemática. Me voy a centrar en el segundo, porque me parece mucho más importante.

Las dos opciones más extendidas para interpretar 2 \times 3 son “dos multiplicado por tres”, es decir, 2 \times 3 = 2+2+2 y “dos veces tres”, es decir, 2 \times 3 = 3 +3. Es verdad que hay otras propuestas, tendentes a unificar las dos posibilidades, como leer 2 \times 3 en el orden “dos tres veces” o “tres veces dos”, pero me parecen artificiales, también chocan con el orden natural del lenguaje, y quizá podrían ser una buena opción si en algún lugar estuviera escrito el hecho inamovible de que 2 \times 3 tiene que ser “dos multiplicado por tres”. Pero es que no es así, si echamos un vistazo al resto del mundo es fácil darse cuenta de que existen las dos opciones.

En inglés casi siempre dicen “two times three”, aunque es verdad que esa expresión la interpretan en algunos lugares como “2+2+2” y en otros como “3+3” (este hecho me ha llamado mucho la atención desde que lo descubrí). En la reforma del Common Core de EEUU han optado por unificar lenguaje usual y sentido matemático, y seguro que esto es lo que ha dado lugar a la confusión del alumno que ha hecho saltar toda esta polémica.

En Alemania (y presumo que en los países de influencia germana) también usan el “veces”, y lo interpretan según el lenguaje usual:

multiplicacion-alemania

4veces3-Singapur

 

 

En Singapur también es este el convenio y creo que en Asia en general es la alternativa mayoritaria.

 

 

 

 

Una vez comprobado que se puede elegir, estas son las ventajas que le veo a la opción “veces” (en el orden natural, es decir, 2×3=3+3):

  1. (y más importante), se entiende mejor. Un niño de 4-5 años que se está iniciando en los números y en el lenguaje está en condiciones de interpretar la expresión “dos veces tres”. Por el contrario, la expresión “tres multiplicado por dos” resulta muy abstracta para los niños de 7-8 años, y lo que ocurre muchas veces es que aprenden de memoria las tablas de multiplicar y son justo las tablas las que le dan sentido a las expresiones como “siete multiplicado por ocho”. Eso es poner el proceso de aprendizaje completamente al revés, y las dificultades en la resolución de problemas son inevitables.
  2. la propiedad distributiva (en uno de los dos órdenes) es completamente natural: es inmediato que 12 veces 7 es 10 veces 7 mas 2 veces 7. Esto lo he visto en acción en “niños de verdad”.
  3. encaja mejor con el lenguaje natural en expresiones como “el doble de 6”, que se escribiría directamente 2×6=6+6. Si somos coherentes con el “multiplicado por”, el doble de 6 debe escribirse 6 \times 2 lo que resulta un tanto peculiar, ¿no?
  4. en el álgebra, en expresiones como 2x, el multiplicador se pone a la izquierda. Un error sorprendentemente común en los primeros cursos de secundaria es encontrar alumnos que escriben x + x = x^2. Me pregunto si una de las razones de que ocurra esto es no tener del todo asumida la multiplicación, y el sentido de “dos veces x“.
  5. con las fracciones pasa algo parecido, en expresiones como “3/4 de algo”. Aquí no habría que recurrir a eso de “la fracción como operador” que se hace en secundaria, cuando lo que realmente se está haciendo es escribir el multiplicador en primer lugar.
  6. Y, hablando de operadores, en la multiplicación el operador es el multiplicador, y los operadores van casi siempre a la izquierda (es cierto que hay operadores que actúan por la derecha, pero son pocos, y propios de matemáticas mucho más avanzadas).

He pensado en ventajas del “tres por dos”, pero no se me ocurre ninguna, salvo naturalmente la dificultad del cambio. Me interesa de verdad escuchar alguna otra.