La elusiva propiedad distributiva

Me sabe muy mal criticar a un profesor, pero creo que hasta que no reconozcamos todos en voz alta que tenemos un problema muy grave con la formación del profesorado, no habrá ninguna posibilidad de que comience a arreglarse. Acabo de recibir 3 whatsapp de mi hija  (3º de la ESO), que transcribo literalmente:

  • me acaba de decir mi profe que lo que se aplica al multiplicar dos monomios o polinomios no es la distributiva
  • que la distributiva solo tiene uno y esto tiene muchos multiplicadores
  • y yo en plan pero es la misma propiedad distributiva 😥

¿Qué hago ante esto? ¿Me atrevo a sugerirle a mi hija que se lance a preguntar mañana que entonces qué propiedad se está utilizando?

Dos medios, dos velocidades

Con esa entrada quiero empezar la reflexión sobre el tema que propuso Conrad Wolfram en su presentación Stop teaching calculating, start learning math. El mismo mensaje, en el siempre atractivo formato de las TED talks, aquí. Me parece un tema de gran complejidad, y estoy muy lejos de tener una propuesta completa. Lo que me ha parecido más adecuado es empezar a presentar ejemplos concretos de qué impacto debería tener un buen uso de la capacidad de cálculo de la que estamos rodeados en temas ya presentes en las aulas. De hecho, hay un punto de la TED talk con el que discrepo. Wolfram acaba su presentación diciendo que el cambio en el enfoque de las matemáticas debe ser brusco, pasando sin solución de continuidad del paradigma actual a su propuesta. Dice que, de lo contrario, podríamos caer en el abismo que separa ambos enfoques. La verdad, no tengo claro cuál es ese abismo, ni me parece factible un cambio radical en ningún aspecto de un sistema como el educativo, cuya complejidad fuerza invariablement a que los cambios sean graduales. Sólo conozco un ejemplo de cambio radical en la enseñanza de las matemáticas, la New Math de los 60 en EEUU, que nos llegó como la Matemática Moderna en nuestra EGB de los 70. Creo que poca gente discrepa de la afirmación de que el fracaso fue absoluto.

Mi propuesta es, desde luego, más conservadora que la de Wolfram, pero creo que puede servirme (y espero que servirnos) para avanzar en la reflexión. A estas entradas les asignaré la etiqueta TIC; el término no me gusta, por el uso que se le ha dado, consistente demasiadas veces en hacer con el ordenador lo mismo que se hacía antes sin él. Pero desde luego sirve para el propósito de indexación, y puede ser también una forma de reivindicar el término.

Hoy quiero presentar un problema que leí en  El placer de la x, de Steven Strogatz. En sí mismo, el libro me parece absolutamente recomendable: creo que logra bastante bien eso tan complicado de transmitir ideas matemáticas importantes a lectores sin conocimientos matemáticos. El problema es el siguiente:

Una persona quiere ir desde el punto A de la figura hasta el B. Por encima de la recta r hay nieve, y puede moverse a una velocidad de 0’8 m/seg. Por debajo de la recta, el terreno está despejado y se mueve a una velocidad de 1’5 m/seg. En la figura se muestra una posible trayectoria.

  1. Calcula, en función de x, cuánto tiempo tarda.
  2. Representa la función obtenida con ayuda de un ordenador, y da una estimación del valor de x para el que el tiempo del trayecto es mínimo.

refraccionUn primer valor de este problema es desde luego el de la interdisciplinariedad, y cómo sirve de excusa para explicar que este fenómeno de velocidades distintas es lo que explica la refracción de la luz, y cómo la luz lo único que hace es moverse por el camino más rápido (ninguno de mis alumnos había oído hablar del tema).

Desde el punto de vista puramente matemático, el primer apartado me parece una bonita aplicación del Teorema de Pitágoras, no sencilla pero que sí debería ser accesible a los alumnos de 2º-3º de la ESO. Mis alumnos de magisterio lo resolvieron aceptablemente bien, el Teorema de Pitágoras es una de esas cosas que se estudia con el suficiente detalle. Pero en el segundo apartado, la gran mayoría se quedaron bloqueados. Contaba con ello, por supuesto, nunca se habían enfrentado a algo parecido. Se trataba de la preparación para hablarles unos minutos de las posibilidades que nos ofrecen los programas de representación de funciones. Incluso para los alumnos que habían estudiado el Bachillerato de Ciencias, esta función les resultó extraña (“fea”, en palabras de alguno). Por supuesto que es la reaccion normal: es una función muy distinta a las que habían visto hasta ese momento, y muy distinta a las que se habían encontrado durante el excesivo tiempo que se dedica en bachillerato a la representación de funciones (sí, ya lo sé, obligado por la selectividad).

La observación que me parece más importante, en relación con la propuesta de Wolfram, es que la opción de estudiar la representación de funciones prescindiendo de los ordenadores nos obliga a dedicarnos a un tipo de funciones muy especial, casi siempre sin ninguna interpretación relevante, y además invirtiendo una gran cantida de tiempo en ello; representar una función no es sencillo. Dedicaré pronto una entrada completa al tema de representación de funciones, pero termino con mi opinión sobre el tema: creo que deberíamos dedicar tiempo a representar funciones sencillas, de las que se pueden dibujar (al menos de forma aproximada) “a ojo”, y después pasar a ver funciones que aparecen en el estudio de los más variados fenómenos. Estas serían, casi invariablemente, excesivamente complicadas para dibujarlas  a mano, pero ¡para eso están los ordenadores! Interpretar la representación de estas funciones, y sus implicaciones en los modelos subyacentes, es una forma mucho más productiva de invertir el siempre escaso tiempo disponible.

¿Quién mató a la geometría?

Ayer @lolamenting lanzó una pregunta muy interesante: ¿por qué la geometría está prácticamente desaparecida de nuestras aulas de primaria y secundaria? Contesté en cuanto la leí, casi sin pensar (es difícil sustraerse del todo al lado oscuro de las nuevas tecnologías), diciendo que me parecía una pregunta muy importante, y muy difícil de contestar. Me reafirmo en la primera parte, pero no en la segunda. Desde luego, voy a dar una respuesta especulativa, pero me parece que bastante convincente. Lo que me parece claro es que en la enseñanza de las matemáticas se han producido dos fenómenos muy claros:

  • A. Los currículos, pero sobre todo la práctica diaria en la mayoría de nuestras aulas, se han deslizado hacia la parte más mecánica de las matemáticas: algoritmos, fórmulas, rutinas, y recetas varias. La resolución de problemas, el razonamiento lógico y la comprensión conceptual son especies en peligro de extinción.
  • B. La geometría ha perdido peso en el curriculo, pero todavía más en las aulas. Es una de esas partes por las que se suele pasar más deprisa (junto con la estadística).

Mi tesis es bien sencilla: A explica – y es la causa de – B. ¿Qué caracteriza a la geometría? Sin duda, lo importante que son en ella el razonamiento lógico y la resolución de problemas (la comprensión conceptual es simplemente requisito previo de ambos). Esto ya me parece suficiente explicación: tenemos dos fenómenos, A y B,y el primero explicaría el segundo. Si la navaja de Ockham sigue afilada, lo más probable es que sea su causa.

Pero es que además hay varios argumentos adicionales que refuerzan esta explicación: ¿qué geometría se estudia y cómo se hace? Al principio, una buena parte del tiempo se dedica al cálculo de áreas y volúmenes, donde todo se reduce a memorizar una lista de fórmulas mucho mayor de lo necesaria, y a aplicarlas a ejercicios completamente rutinarios. Cuando avanza la secundaria, el estudio de la geometría se inclina claramente hacia el álgebra: en trigonometría, por ejemplo, se dedica mucho más tiempo a las identidades trigonométricas, o a resolver ecuaciones, que a los problemas.

Que esta tendencia está llegando a extremos inquietantes me ha quedado claro con el comentario de @lolamenting en esta entrada: parece que no es extraño encontrar profesores que impiden a los chicos apoyarse en la intuición geométrica para resolver problemas de fracciones. Sin exagerar, me parece que es una de las cosas más alarmantes, e incomprensibles, que he oído en los últimos años.

Por supuesto, en otras partes la situación no es la misma. Termino la entrada con unos ejemplos de los libros de primaria de Singapur. En general, la geometría tiene una presencia mucho mayor que aquí, ya desde primaria. En particular, usan los problemas de ángulos para iniciar a los niños en el razonamiento geométrico, y creo que lo hacen muy bien. Este es un ejemplo de 4º de Primaria:

angulos-4Este otro de 5º:

angulos-5y, por último, el de 6º:

angulos-6Por supuesto, siguen con el tema en secundaria. En algún momento habrá una entrada dedicada a profundizar en este tema.

¿1/8 de cada vaso, o 1/8 del total?

Stop teaching calculating, start learning math! Si tuviera que rebautizar este blog, en inglés, me parecería un título perfecto. Creo que es suficiente razón para que no pueda dejar de recomendar una conferencia de Conrad Wolfram (el de Wolfram Alpha) con ese título. Me parece que lo justo es referenciarla a través del blog de Belén Palop, la amiga que me la recomendó. Suscribo todo lo que dice, aunque es verdad que quedan muchas cosas en el aire: a qué se refiere exactamente con “unos pocos cálculos básicos que sí habría que aprender” y, sobre todo, cómo habría que diseñar esas “nuevas matemáticas”. Porque no es evidente, en absoluto, cómo introducir los conceptos y los problemas para que la capacidad de cálculo que tenemos a nuestra disposición ayude a la comprensión, y ayude a “aprender matemáticas”.

Pero de lo que quería hablar hoy es de proporcionalidad. Creo que esta semana he dado un paso más en la comprensión de las dificultades de aprendizaje de la proporcionalidad y creo (espero) haber llegado al fondo, al menos en lo que respecta al tema que quiero tratar. Todo surgió a raíz de este problema (recuerdo que doy clase en magisterio, todos mis alumnos son mayores de edad):

Si preparamos una sangría con la siguiente receta: 2 medidas de zumo, 1 medida de ginebra (con 2/5 de alcohol) y
5 medidas de vino (con 1/8 de alcohol), ¿cuál será la proporción de alcohol en la bebida resultante? Da el resultado como
fracción irreducible.

Es un problema que, con alguna variante, llevo proponiendo desde que empecé en magisterio, en el curso 2010-2011. Unos alumnos sabían hacerlo, otros no, pero no había llegado a entender dónde empezaban las dificultades de estos últimos. ¿Que por qué este año ha sido distinto? Bueno, creo en cierto sentido el proceso es incremental: una vez entendida una dificultad, estás en mejores condiciones para detectar la que puede haber por debajo de la anterior. Pero también es cierto que cada año soy más consciente de la importancia de dedicar el tiempo necesario a un problema donde aparecen dificultades, que es mucho más efectivo hacer la mitad de problemas, pero aprovecharlos al máximo. Y, por último, cada año me esfuerzo más en crear el ambiente necesario para que se atrevan a preguntar, por “tonta” que parezca la duda. El caso es que ante la pregunta ¿está claro el enunciado? una alumna preguntó: pero el alcohol del vino, ¿es 1/8 en cada vaso, o 1/8 de los cinco vasos? Mi reacción fue explicarlo como algo “evidente”, que era un problema sólo para esa alumna. Pero enseguida me di cuenta de que las cosas no marchaban, y cuando les pregunté la mitad de la clase reconoció que no veía nada claro que las dos alternativas fueran exactamente la misma. Evidentemente quedó claro que había una falta de comprensión muy profunda, que había que solucionar, y tras un par de intentos que funcionaron a medias, el que realmente convenció a la audiencia fue el de la figura, con la pregunta: si tengo una pared con cinco ladrillos, y pinto 1/8 de cada ladrillo, ¿qué proporción de la pared he pintado? (Una vez más, la geometría al rescate).

un-octavoMe parece que hay pocas ideas más básicas que ésta en proporcionalidad, y en ese entido decía antes que creo haber “llegado al fondo”. También creo que merece la pena comentar que algunos de los alumnos que confesaron su falta de comprensión son de los “aplicados”, que no tienen ningún problema en seguir la parte más “estándar” de la asignatura, y que apostaría a que fueron alumnos más bien brillantes en secundaria.

Un último comentario: tras haber probado varias alternativas, creo que esta misma idea es la más efectiva para modelar este tipo de problemas. Una vez que los alumnos entienden que el problema de la sangría es exactamente el mismo que la pregunta de qué parte del rectángulo de la figura he pintado de azul, todo resulta sencillo. (Con lo que no hubo ningún problema fue con el “1/8 de 5/8”, esa dificultad fue obvia el primer año, y desde entonces le dedico el tiempo suficiente en la teoría).

un-octavo-modelo