El cálculo mental

Es difícil sobrevalorar la importancia del cálculo mental en la formación matemática de un alumno de primaria o de secundaria. Antes de entrar en detalles, tengo que dejar claro a qué me refiero con cálculo mental. No se trata de preguntar a un niño: ¿cuántas son 8 x 5? Y cuando conteste, a otro, ¿y si le restamos 7?, etc. El cálculo mental realmente formativo es el que requiere poner en juego propiedades numéricas para su ejecución. Supongamos por ejemplo que preguntamos: ¿cuántas son 12 x 7? Si no se está mínimamente acostumbrado al cálculo mental, la reacción natural será seguramente imitar mentalmente el algoritmo usual del papel. Pero hay una alternativa más natural: si el niño tiene claro que 12 x 7 son «12 veces 7», como explicamos en la entrada sobre las tablas de multiplicar, es más sencillo pensar que «12 veces 7» son «10 veces 7 mas 2 veces 7», es decir, 70 + 14 = 84. Podría exponer varios ejemplos más de trucos para hacer operaciones mentalmente de forma sencilla, pero no estoy proponiendo que al niño le enseñemos una lista de técnicas de cálculo mental. Lo realmente formativo es que el propio alumno vaya descubriendo este tipo de trucos, porque por el camino irá desarrollando lo que se suele conocer como sentido numérico. Algunos autores, para dejar claro que se están refiriendo a este tipo de cálculo mental, hablan de «cálculo pensado» o «cálculo inteligente».

Merece la pena insistir en este punto: el objetivo es que el alumno desarrolle sus propias estrategias de cálculo, porque para ello tendrá que manejar de forma creativa las propiedades de los números. Lo ideal es que el cálculo mental con una operación empiece antes del aprendizaje del algoritmo tradicional, pues en caso contrario habrá que luchar contra la tendencia de querer imitar sin papel lo que ya sabemos hacer en el papel.

Veamos un momento qué ocurre con la propiedad distributiva: la propiedad dice que $(10+2) \times 7 = 10 \times 7 + 2 \times 7$ y es la que hemos utilizado en el cálculo de 12 x 7 presentado en el primer párrafo. Por supuesto, no hace ninguna falta haber oído mencionar la propiedad distributiva para entender el cálculo anterior y, de hecho, la situación es la contraria: practicar y entender cálculos como el del primer párrafo es lo que nos ayuda a entender la propiedad distributiva. En lugar de practicar el cálculo mental, para interiorizar la propiedad distributiva, lo que se suele hacer en los libros de primaria es repetir mecánicamente esquemas de cálculo como el de la figura. ¿No es lo normal que, después de cosas como ésta, muchos niños piensen que las matemáticas son un conjunto de recetas mágicas y muchas veces sin ninguna utilidad?

Un último comentario: no voy a entrar en el tema de hasta dónde se debería calcular mentalmente. Básicamente, porque en este tema lo más importante es el camino, lo que se aprende mientras se practica el cálculo, y la importancia de hasta donde se llega es, desde mi punto de vista, relativa. Pero sí creo que nos sorprenderíamos de hasta donde llegarían los niños si le dedicaran al tipo de cálculo mental propuesto, digamos, el 10% del tiempo que le dedican en la actualidad a hacer cuentas rutinarias en el papel.

Las tablas de multiplicar

Las tablas de multiplicar son quizá uno de los primeros escollos en el aprendizaje de las matemáticas. Con ellas, muchos niños descubren lo aburridas que pueden ser, y para algunos niños son una pesadilla durante años. Quizá el lector esté esperando, dado el título del blog, que cuestione la necesidad de aprender las tablas de multiplicar. No va a ser así. Para que quede claro: opino que el aprendizaje de las tablas de multiplicar debe ser uno de los objetivos irrenunciables de la formación básica en matemáticas. ¿Por qué? Pues porque sin tablas de multiplicar no es posible el cálculo mental, ni la estimación, ni el desarrollo del sentido numérico (sobre estos temas hablaremos en próximas entradas, por supuesto). Otro tema muy distinto es cómo y cuándo deben enseñarse las tablas de multiplicar. Adaptando el título del blog a este tema concreto, lo resumiría diciendo: más reflexión, menos cantilena.

Para plantear un buen enfoque metodológico de la enseñanza de las tablas, hay que primero revisar cómo se debe introducir la multiplicación. La multiplicación en primaria no es más que una herramienta para hacer más rápido sumas repetidas: el sentido de $4 \times 7$ es «cuatro veces siete», es decir, $7+7+7+7$ . Y es fundamental que el niño asimile suficientemente esta idea antes de empezar con ningún tipo de aprendizaje memorístico. Por ejemplo, se pueden hacer «problemas de multiplicar» antes de «saber multiplicar».

Un detalle importante es la «propiedad conmutativa», o que «el orden de los factores no altera el producto». Desde luego, no se trata de que el alumno «se lo crea» como una «verdad revelada». Por otra parte, si uno se para a pensarlo un momento, el hecho de que si tenemos en una mesa 7 bolsas con 4 caramelos cada una, y en otra mesa 4 bolsas con 7 caramelos cada una, en las dos mesas hay los mismos caramelos, no es en absoluto evidente. Como en muchas otras situaciones, la geometría viene en nuestra ayuda. Con el rectángulo de la figura a la vista, es sencillo darse cuenta de porqué $4 \times 7 = 7 \times 4$ . Por supuesto, también se puden usar otros ejemplos, como huevos en una huevera, árboles en una plantación regular, soldados en un desfile, etc.

Una vez entendido el concepto de la multiplicación, y utilizado suficientemente en ejercicios, juegos, y en la resolución de problemas, se puede empezar con la parte memorística de aprender las tablas de multiplicar. La verdad es que no existe un consenso sobre cuál es la mezcla óptima entre aprendizaje rutinario y memorístico (algo de ello es imprescindible en este tema concreto) y otro tipo de actividades que incluyan más reflexión. Pero sí me atrevo a plantear los siguientes puntos:

el cero no debería aparecer en las tablas de multipicar. Si el niño ha asimilado que $4 \times 7$ es «4 veces 7», no tiene ningún sentido plantearse cuánto es «cero veces 5» o «7 veces cero». Por supuesto, en algún momento hay que darle sentido a multiplicar por cero, pero hacerlo cuando se están aprendiendo las tablas y terminando de asimilar el sentido de la operación sólo puede confundir al niño.
en el aprendizaje de las tablas no se debe olvidar el sentido de la multiplicación. Para ello, sería conveniente que la palabra «veces» no desaparezca, y decir algunas veces las tablas utilizándola, en lugar de la palabra «por». Y aquí llegamos a un detalle crucial. Repase el lector en voz alta la tabla del 4 (o cualquier otra, evidentemente), pero utilizando la palabra «veces» en lugar de «por». Algo no encaja, ¿verdad? La idea de la tabla del 4 es ir añadiendo 4 unidades cada vez, y eso no se corresponde con «4 veces 1», «4 veces 2», «4 veces 3», etc. Pero así es como se aprende en España:
$4 \times 1 = 4, \, 4 \times 2 = 8, \,4 \times 3 = 12, \ldots$
La conclusión es clara: la tabla del 4 debería aprenderse así:
$1 \times 4 = 4, \, 2 \times 4 = 8, \,3 \times 4 = 12, \ldots$
No conozco ningún estudio sobre este tema (espero sacar adelante uno este próximo curso), pero creo que este simple detalle podría tener un impacto significativo en el proceso de aprendizaje de las tablas de multiplicar.
las tablas no tienen por qué aprenderse en orden consecutivo: 2, 3, 4, 5, … Sería mucho mejor empezar por las más fáciles: 2, 5, 9, 4, 3, y dejar para el final las más problemáticas. Si cuando se está aprendiendo la tabla del 6 ya se conocen esas cinco, y se domina la propiedad conmutativa, buena parte del trabajo ya está hecho.
hay multitud de recursos para «practicar jugando», y desde luego es muy conveniente utilizarlos. También hay observaciones matemáticas sencillas, que combinan multiplicación y reflexión. Por ejemplo, se pueden practicar los cuadrados perfectos antes de dominar las tablas. Una vez que se dominan, se puede estudiar un día en clase la siguiente observación: si tomamos un cuadrado perfecto, por ejemplo $5 \times 5 = 25$ , el producto de los números anterior y siguiente a 5 es una unidad menor que $5 \times 5$ . Los niños pueden comprobar que esto es cierto para cualquier número, no sólo para el 5, practicando las tablas, y hasta quizá consigamos que alguno de nuestros alumnos encuentre este hecho «interesante». Además, les podemos enseñar la razón de por qué esto es siempre así, por supuesto sin tener que recurrir al álgebra. En la figura tenemos una «demostración sin palabras» de esta propiedad.

¿Por qué este blog?

Después de haber escrito una entrada sobre cada nivel educativo (con excepción de la etapa de Infantil -espero atreverme a escribir algo sobre la educación infantil en un futuro próximo), creo que tiene sentido poner en limpio, tanto para los lectores como para mi mismo, las razones que me animan a seguir con este proyecto.

En primer lugar, no conozco ningún blog con este enfoque. Por supuesto, hay estupendos materiales de divulgación matemática (varios de ellos en la lista de enlaces de la derecha) y creo que hacen una labor estupenda. Sin embargo, mucha de la divulgación es algo así como «tratamiento sintomático»: las matemáticas académicas son aburridas e inútiles, vamos a presentar otros materiales que sean más divertidos y que nos permitan que algunos niños le cojan algo de gusto a las matemáticas. Repito: creo que la labor es útil, y que con que tenga éxito con un pequeño porcentaje de niños, estará totalmente justificada. Sin embargo, también creo que algo tendría que intentar hacerse para intentar arreglar el problema de fondo, el que las matemáticas académicas sean aburridas e inútiles.

Las medidas están claras: mejorar la formación del profesorado, reformar los planes de estudio, aumentar la valoración social de las matemáticas, y quizá alguna cosa más. Bueno, estoy de acuerdo, y me pondría a ello si fuera Ministro de Educación. Pero también creo que desde una posición un poco más modesta, se pueden sugerir algunos pequeños cambios en la buena dirección. Unos cambios que intenten paliar los problemas de aprendizaje que se detectan en las aulas, y expuestos de manera que sean fácilmente accesibles para los profesores interesados.

Espero que el contenido de futuros posts termine de aclarar estas ideas.

El Teorema de Bolzano

Para cumplir con el compromiso de cubrir en este blog los tres ciclos educativos, le dedicaré esta entrada a un tema de las matemáticas a nivel universitario. Y empezaré con una aclaración. A pesar de haber estado la mayor parte del tiempo dando clases a estudiantes de ingeniería (17 de un total de 20 años) debo reconocer que en este nivel mis ideas están menos claras que en lo que respecta a las matemáticas de la enseñanza primaria y la secundaria. Y creo que la razón es la siguiente: tengo una idea bastante clara de qué matemáticas debería conocer un estudiante que termina primaria y secundaria (y cómo se le deberían contar para que las haya entendido y pueda ponerlas en práctica). Sin embargo, no tengo tan claro qué matemáticas debe conocer, y cómo debe utilizarlas, un químico, un ingeniero de telecomunicación, un informático …

Por supuesto, alguna idea sí tengo en particular sobre las dos titulaciones en las que he pasado más tiempo (Ingeniería de Telecomunicación e Ingeniería Informática). Pero aún en estos casos, no es sencillo conseguir la visión general adecuada.

En todo caso, mi objetivo en este post es tratar un problema más general. Una actitud muy extendida entre los matemáticos es la siguiente: las matemáticas tienen un valor formativo intrínseco. Por tanto, si se le explican matemáticas a un ingeniero, la «estructura mental» que adquiere durante el estudio es muy útil, y esto justifica por sí solo el estudio de esta materia.

Estoy totalmente de acuerdo con esta última frase, pero en mi opinión el razonamiento es incompleto: las matemáticas serán útiles a los alumnos que las hayan entendido. Si por culpa de que los contenidos no son adecuados para la titulación, o no sabemos convencer a los alumnos de que, en efecto, sí son adecuados, o los presentamos de forma demasiado abstracta, será difícil que los estudiantes capten el valor del aprendizaje de las matemáticas. El resultado será seguramente que sólo un pequeño porcentaje de alumnos – quizá los que tengan más gusto por las matemáticas – disfrutará de las ventajas mencionadas en el párrafo anterior.

Un ejemplo concreto, para terminar (y justificar el título del post). Hace 10 años explicaba Cálculo I a estudiantes de Ingeniería de Telecomunicación, y me parecía que demostrar el Teorema de Bolzano era esencial. Encontré hace poco una cita de Henri Poincarè, y creo que en ella se explicita muy bien el problema. La traducción es mía y la cita está tomada de esta página de Morris Kline.

«Cuando un alumno empieza a estudiar matemáticas en la Universidad, tiene un concepto de fracción, una idea de continuidad, y del área de una superficie curva; considera evidente, por ejemplo, que una función continua no puede cambiar de signo sin anularse. Si el profesor le dice: «No, eso no es evidente; debemos demostrarlo», ¿qué pensará el infortunado estudiante? Pensará que las matemáticas son sólo una acumulación arbitraria de sutilezas inútiles; quizá le disgustará, o quizá se divertirá con ello, como con un juego, y llegará a un estado mental análogo al de los sofistas griegos. ¿Se puede entender una teoría si se construye desde el principio en la forma definitiva que impone el rigor lógico? No, no puede entenderse, sólo se aprende de memoria.»

La ecuación de 2º grado

Veamos hoy algo de Álgebra de secundaria. Los alumnos aprenden el desarrollo del cuadrado del binomio, es decir, que $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ , y dedican unas sesiones a hacer cuentas con la fórmula para familiarizarse con ella. Por supuesto, para la mayoría son cálculos puramente formales, que no entienden en absoluto, y muchos de ellos escribirán en el futuro expresiones como $(x+3)^2 = x^2 + 9$ .

Además, y me parece aún más importante, en ningún momento ven una situación en que este desarrollo algebraico sea útil para algo (bueno, seguramente lo utilicen para simplificar expresiones algebraicas que se les plantean para usar el cuadrado del binomio, pero creo que no es honesto contar esto como una aplicación).

Seguramente en el mismo curso estudian la ecuación de 2º grado, y aprenden a obtener soluciones de expresiones como $x^2+6x-7=0$ . Lo que aprenden es que hay una fórmula mágica que dice cuáles son las soluciones de la ecuación genérica $ax^2+bx+c=0$ . Y lo aprenden de forma que uno puede ver a un alumno (con la asignatura aprobada) que recurre a la fórmula para resolver la ecuación $x^2-9 = 0$ .

¿No sería mucho más razonable enseñar que la ecuación de 2º grado se revuelve completando cuadrados? Es decir, si tenemos que resolver la ecuación $x^2+6x-7=0$ , lo que hay que hacer es darse cuenta de que esa ecuación se puede escribir como $(x+3)^2-16=0$ y que, por tanto, $x+3=\pm 4$ . Es decir, las soluciones son $x=1$ y $x=-7$ . No ha sido necesiaria ninguna «fórmula mágica», sólo cuentas sencillas … y el desarrollo del binomio.

Sí, lo sé, aplicar la fórmula es más rápido, pero si lo que queremos es ser rápidos, nada puede competir con recurrir a una calculadora y apretar una tecla. No creo que aplicar la fórmula de manera mecánica y repetitiva tenga mucho más valor matemático que resolver la ecuación con una calculadora. Sin embargo, si lo que uno quiere es que se produzca un aprendizaje significativo, estoy convencido de que es más provechoso hacer los cálculos más «pensados», sin recurrir a fórmulas mágicas. En todo caso, tras haber resuelto varias ecuaciones de la forma «lenta», uno podría introducir la fórmula general (el cálculo que demuestra que la fórmula general no es más que repetir el agrupamiento de cuadrados en la ecuación genérica $ax^2+bx+c=0$ no estará al alcance de la mayoría de los alumnos).

No entienden el problema

Esta es quizá la frase que más se escucha a los profesores de los primeros cursos de primaria, cuando algunos niños empiezan a mostrar dificultades en la resolución de problemas. Por ejemplo, el niño pregunta: ¿es de sumar o de restar? El tema llega al absurdo de que en algunos libros se llegan a dar recetas del tipo: «Si en el problema aparecen estas palabras … seguramente se hará sumando».

Cuando aparece este problema, el diagnósico suele ser el mencionado «no entiende el problema». Mi diagnóstico es que seguramente esté ocurriendo algo muy distinto, y es que el niño no conecta los algoritmos que le han enseñado para sumar, restar, multiplicar y dividir con los conceptos correspondientes. Los lectores escépticos deberían pararse un momento a pensar en la conexión entre «la receta» que el niño ha aprendido para dividir dos números, y el concepto de repartir una cantidad en partes iguales (y algo parecido podría decirse sobre el resto de las operaciones aritméticas). Creo que sería muy interesante hacer estudios sobre este tema, pero en su ausencia quiero mostrar un ejemplo de una forma completamente distinta de hacer las cosas.

En este artículo se describen algunas ideas generales sobre la enseñanza de las matemáticas en Holanda (que es uno de los países que figura, de forma constante, en buenas posiciones en los estudios internacionales sobre aprendizaje de las matemáticas). Una de las cosas que más me llamó la atención en el artículo es leer que los algoritmos tradicionales de la suma y la resta no se aprenden hasta 4º de primaria (sí, no hay ningún error, cuando los niños tienen 9 años). ¿Que qué hacen hasta entonces, si «no saben ni sumar ni restar»? Pues … hacen matemáticas.

Veamos un ejemplo sacado de ese mismo artículo. En la clase de 3º el maestro plantea el siguiente problema:

Hoy tenemos la reunión con los padres. Asistirán un total de 81 personas, y la reunión será en una sala con mesas de esta forma (dibuja un rectángulo en la pizarra). En cada mesa se pueden sentar 6 personas. ¿Cuántas mesas necesitaremos?

Los niños se ponen a trabajar (recordemos que no conocen los algoritmos de la suma ni la resta, mucho menos, por supuesto, el de la división). El maestro se pasea por la clase y da alguna indicación cuando lo considera necesario. Tras 10 minutos de trabajo, estos son algunos ejemplos del trabajo realizado:

¿Qué se ha conseguido con este enfoque?

En primer lugar, los niños se han enfrentado a un problema, es decir, a algo que no puede resolverse con una mera aplicación rutinaria de la última técnica aprendida en clase. Por tanto han tenido que ser creativos y han desarrollado sus propias estrategias de resolución. Estas son algunas de las capacidades más valiosas para cualquier persona, y las matemáticas bien presentadas son una herramienta excelente para desarrollarlas.
En segundo lugar, han adquirido una profunda comprensión del problema del reparto, de lo que se llamará cociente y lo que será el resto. Cuando se les presente el algoritmo correspondiente, la comprensión será más completa.

Presentación

Llevo 20 años dedicado a la enseñanza de las matemáticas. Durante los últimos cursos me he dedicado a la formación de futuros profesores, tanto de primaria como de secundaria, y esto me ha permitido tomar contacto con esos niveles educativos. Me atrevo a decir que tengo una visión general (aunque por supuesto incompleta) del sistema de enseñanza de las matemáticas en España, desde los 6 años hasta la universidad.

Cada vez que se hace un estudio internacional, los conocimientos matemáticos de los alumnos españoles se sitúan en la parte media-baja de la tabla, y estas noticias llegan al gran público, por ejemplo, cada vez que se publican los resultados del estudio PISA (los resultados de PISA 2012 se publicarán dentro de un año aproximadamente). En general, diría que existe un consenso sobre el hecho de que el sistema no proporciona un conocimiento matemático satisfactorio, ni para los alumnos que precisan de un conocimiento matemático sólido para proseguir con sus estudios universitarios, ni para los alumnos que deberían haber adquirido una alfabetización matemática suficiente para desenvolverse como ciudadanos.

El título de este blog pretende marcar la dirección en la que, desde mi punto de vista, debería moverse el sistema para obtener mejores resultados. Por supuesto, como todo título es simplificador: cuando hablo de más ideas, quiero decir que el estudio de las matemáticas debería girar sobre todo alrededor de las ideas y conceptos básicos, trabajando de modo reflexivo sobre ellos. Menos cuentas quiere decir no sólo menos «aritmética tradicional» sino también menos procedimientos rutinarios que se memorizan sin comprenderlos, de forma puramente mecánica. Espero que próximos posts terminarán de aclarar estas ideas.

El segundo objetivo declarado de este blog es servir de punto de encuentro entre los diferentes niveles educativos. Creo que otra de las causas de las disfunciones del sistema es la falta absoluta de relación entre los integrantes de los diferentes niveles educativos: primaria, secundaria y unversidad.

Más ideas, menos cuentas. Un blog sobre educación matemática.

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