Rouché-Frobenius, ¿matemáticas escolares?

Vaya por delante, admiro profundamente a @edusadeci, y la labor de divulgación que hace en su canal #Derivando. Pero esta mañana no he podido evitar contestar cuando he visto este tweet suyo, en el que habla del Teorema de Rouché-Frobenius como de “matemáticas escolares”. Y me he visto obligado a contestar porque me parece que calificar al Teorema de Rouché-Frobenius como “matemáticas escolares” incide en el mayor error que recorre todo nuestro currículo de matemáticas, y es precipitar el estudio de multitud de contenidos.

No creo que exista ningún país en el que el teorema de Rouché-Frobenius se estudie en un nivel preuniversitario. Desde luego, no se hace en Francia, la patria de Eugène Rouché y famosa por su exigente Baccalaureat. Escribir esta breve entrada ha sido una buena excusa para echar un vistazo a su examen análogo a nuestra Selectividad, PAU, EvAU, o como queramos llamarla. En este enlace se puede acceder al examen de matemáticas S, el científico. Por cierto, ha sido solo una lectura rápida, pero a primera vista ese examen me ha gustado bastante. Desde luego, fuera del alcance de la mayoría de nuestros alumnos de 2º de Bachillerato, por lo que requiere de razonamiento y comprensión. Equilibrado, con algunas preguntas en contexto (real, no pseudo) y otras más teóricas. Desde luego, ni rastro de nuestra famosa pregunta “Discute este sistema en función de …”, que vale el 30% del examen y a la que se le dedica al menos un mes en la mayoría de nuestras aulas de 2º del Bachillerato de Ciencias.

Lo dicho: he visto unos cuantos países ya, y en ninguno he encontrado rastro de este teorema, antes de llegar a la universidad. Si algún lector puede darme un ejemplo le estaré agradecido, creedme.

Y el problema, claro, es que no es un caso aislado, sino un fallo de diseño de todo nuestro currículo de matemáticas.

 

 

 

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Dibujos + LaTeX -> Ipe

Hace un par de meses Macías López, un compañero de Galicia, me preguntó por la herramienta que uso para las presentaciones de mis asignaturas de Magisterio. Me comprometí a escribir una entrada sobre el tema, para presentar la herramienta, porque creo que puede ser útil para muchos lectores. El programa se llama Ipe:  http://ipe.otfried.org/

Es un programa de uso gratuito, y tiene versiones para Windows y para Unix. Lo conozco de mi etapa de investigador. El autor es un investigador en Geometría Computacional (Otfried Cheong) que hizo el programa un poco como Donald Knuth creó TeX: no había ningún programa que le gustara para hacer dibujos para su trabajo, así que se puso a programarlo. La primera versión es de 1993, y desde entonces ha evolucionado mucho, desde luego. Una de las muchas cosas que me gustan es que está abierto a los comentarios de la comunidad: si hay alguna nueva funcionalidad que se demanda, y no es muy difícil de incorporar, es muy posible que la siguiente versión la tenga.

No puedo entrar en detalles técnicos, porque mis conocimientos de informática son de simple usuario. Si tuviera que describirlo, diría que es un programa que produce gráficos vectoriales, de calidad, y lo que es crucial, el texto lo gestiona con LaTeX. Yo trabajo con MikTeX, y la integración es perfecta, pero no he visto apenas problemas de compatibilidad con otras plataformas LaTeX.  La siguiente imagen es un ejemplo de lo que se puede hacer, y creo que me atrevo a afirmar de que no es difícil; como decía antes, no me considero ningún manitas. Estoy convencido de que cualquier usuario medio de LaTeX puede hacer algo como esto a las pocas horas de usar Ipe.

He estado retrasando esta entrada buscando el tiempo para hacer un pequeño manual introductorio, pero no va a ser posible. Me voy a conformar con algunos comentarios:

  • El manual y esta wiki están muy bien escritos, son concretos y van a lo importante. Vamos, como si los hubiera escrito un científico competente.
  • Ipe incorpora algunas construcciones geométricas. En este aspecto se queda muy lejos de Geogebra, por supuesto. Pero se le pueden añadir funcionalidades. De esto no sé nada, pero creo que con conocimientos informáticos medios se le pueden añadir funcionalidades, con añadidos que llaman “ipelets”.
  • Hay esencialmente dos formas de usar Ipe. La primera, más sencilla, es usarlo para hacer dibujos, que luego se pueden incorporar a otro documento. La segunda, usar Ipe para hacer presentaciones completas. En esta segunda versión, Ipe se convierte en una especie de PowerPoint. Esta segunda forma de uso requiere algo más de trabajo para empezar, en particular con el manejo de las “hojas de estilo” (style sheets) que definen las propiedades de la presentación. Creo que puede ayudar disponer de una presentación para tomarla de ejemplo. Aquí la dejo. El formato del archivo es pdf, pero es editable con Ipe. Otra cosa que me gusta de la aplicación es que tiene un formato de archivo propio (.ipe), pero también se puede trabajar con formato pdf, y estos son archivos que cualquiera puede ver con un visor pdf pero que Ipe puede editar. En este otro enlace hay un repositorio de presentaciones. No sé si son editables o no (hay una forma de que el pdf resultante no sea editable, para que la presentación no sea cambiada sin el permiso del autor, claro), pero seguro que es útil para hacerse una idea de las cosas que se pueden hacer con este programa.

Si algún lector se anima, y tiene alguna duda concreta, los comentarios pueden ser una buena vía para mantener la comunicación. Espero que Ipe os sea útil. En mi caso, es posible que sea el programa que más he usado durante los últimos 15 años.

La EvAU de Singapur

Me he forzado a sacar un rato para escribir una entrada, aunque sea breve, porque hace unos días estuve en Valladolid, invitado por la sociedad de profesores Miguel de Guzmán y por el centro de formación de profesorado, para presentar las ideas básicas de las matemáticas de Singapur, y quedé más o menos comprometido en enseñarles cómo es una prueba de nivel pre-universitario allí.

Una de las cosas más importantes que trato de transmitir es que van más despacio en el desarrollo curricular. Una pregunta que siempre surge es: vale, pero entonces, ¿hasta dónde llegan? Mi contestación siempre es que el ir más despacio y haciendo las cosas con calma les permite, a la larga, llegar más lejos (y, sobre todo, con mayor profundidad). Creo que una buena forma de hacerse a la idea es ver la prueba final que tienen, su análogo a nuestra EvAU (EBAU, o como se llame en cada lugar), la prueba de matemáticas previa al acceso a la universidad.

No es del todo inmediato, porque tienen tres niveles de matemáticas preuniversitarias, H1, H2 y H3, en orden creciente de dificultad. No he encontrado datos sobre cuántos alumnos se decantan por cada una de ellas, pero por los programas parece que las H3 son unas matemáticas realmente avanzadas, pensadas para los alumnos excelentes, y que llegan, por ejemplo, a ecuaciones diferenciales. Las H1 parecen ser las matemáticas básicas preuniversitarias, lo que seguramente podríamos equiparar a nuestras matemáticas aplicadas para ciencias sociales. Las H2 quedarían, por tanto, como las análogas a nuestro examen de Matemáticas II. Al final pongo el enlace a una edición de la prueba. Creo que hay varias cosas que nos pueden resultar llamativas:

  • La extensión. El examen tiene dos partes, de tres horas cada una. Es verdad que cualquier prueba puede tener efectos secundarios negativos, el conocido “teaching to the text”. Si un examen está bien pensado, y es exhaustivo, este problema puede tener consecuencias limitadas.
  • las tablas de fórmulas que aparecen al principio son parte del material que los alumnos pueden usar durante el examen. No hace falta memorizar fórmulas: ni identidades trigonométricas, ni tablas de primitivas. Una calculadora gráfica también es parte del equipamiento estándar.
  • pero lo más importante es la profundidad de la prueba, claramente fuera del alcance de nuestros estudiantes al terminar el bachillerato.

Aquí está la prueba (la versión original, en inglés).

Espero que la siguiente entrada no se demore otros 7 meses … Y espero poder escribir pronto sobre alguno de los proyectos en los que estoy involucrado, y que me tienen colapsado.

A vueltas con los libros de texto

Como cada comienzo de curso, hemos asistido al cruce de argumentos habitual sobre el tema de los libros de texto, su excesivo coste, el buen o mal uso que se hace en las aulas, hasta he llegado a ver que el libro de texto, como concepto en sí mismo, no porque sea de mala calidad, es en parte responsable del fracaso escolar

Como llevo un tiempo sin escribir sobre el tema, creo que es hora de volver a tratarlo. Me gustaría centrarme en los aspectos puramente educativos, y para tratar de evitar que un posible debate se desvíe por otros caminos, voy a empezar con una serie de comentarios preventivos.

  • Sí, desde hace unos meses estoy involucrado en un proyecto editorial. No, esa no es la causa de que defienda, con los matices que sea, las ventajas de unos buenos libros de texto. La flecha de la causalidad va en dirección contraria: como siempre he pensado que un buen libro de texto es una buena herramienta, tanto para el profesor como para el alumno, cuando ha surgido la ocasión no he dudado en involucrarme en un proyecto que trata de llevar mejores textos de matemáticas a nuestras aulas.
  • Muchas de las quejas que se escuchan sobre el excesivo coste de los libros de texto en España pueden estar bastante justificadas. Pero eso puede tener que ver con el excesivo número de asignaturas que hay en todos nuestros niveles educativos (bueno, ahí la universidad es una excepción, creo que reducir el número de asignaturas en los grados fue lo más positivo de la “reforma Bolonia” de hace unos años).
  • Desde luego, el coste de los libros de texto no debería ser una barrera para el acceso a la educación de los niños de familias en situaciones económicas difíciles. Y me parece perfectamente defendible que los libros de texto los deberíamos pagar entre todos, vía impuestos, y no las familias. Pero es una decisión política, que se debe tomar en los foros correspondientes.
  • Un lugar común es que a las editoriales no les interesa la educación, que “solo quieren ganar dinero”. Bueno, eso es bastante cierto, ya lo pensaba y nada de lo que he visto últimamente me ha hecho cambiar de opinión. Pero eso no pasa solo con las editoriales y la educación, sino con casi todo en la sociedad en que vivimos, empezando por ejemplo con temas igual de importantes, como la alimentación o la sanidad. Si estamos tranquilos con respecto a lo que comeremos mañana (al menos, los que tenemos la suerte de disfrutar de una situación económica desahogada) no es porque tengamos alrededor entes solidarios que se preocupen de nuestras necesidades, sino porque confiamos en el afán de lucro del panadero, el supermercado, o el restaurador que ponen a nuestra disposición lo necesario, a cambio, claro, de un pago. El tema de la sanidad tiene todavía más aristas, como el papel de los laboratorios farmacéuticos en algunos de los escándalos que han surgido últimamente, el problema de la distribución de medicamentos en los países menos desarrollados, o la falta de investigación en el desarrollo de nuevos antibióticos, por las pocas perspectivas de rendimiento económico que tiene. Creo que los gobiernos deberían tener un papel mucho más activo en este tema, y corregir muchas de las prácticas que vemos. Lo que no me parece una alternativa es recomendar a los ambulatorios que cultiven sus propias cepas de penicilina. En resumen: no creo que sea ningún problema que las editoriales quieran ganar dinero. Creo que el problema es que en España lo consigan con productos tan mediocres.
  • Seguiré usando el término “libro de texto”, aunque es evidente que estamos en un proceso de cambio, y que no está nada claro qué tipo de materiales veremos en nuestras aulas dentro de 10 años, creo que falta mucho por aprender sobre las implicaciones cognitivas de distintas opciones, y hay datos como éste, como mínimo, dan que pensar.

Paso ya al debate estrictamente educativo.

  • El primer argumento que se suele escuchar es que “un buen profesor no necesita un libro de texto”. Eso es cierto, sin duda. Un buen docente (o, mejor, un equipo bien cohesionado) bien formado y trabajador puede hacer un trabajo estupendo sin libros de texto. Lo sé, conozco ejemplos. La pregunta importante es si esa práctica es generalizable a todo el sistema escolar. No es fácil conseguir datos fiables de esto, pero las informaciones que me llegan es que, en los países donde parece que las cosas funcionan razonablemente bien, uno de los factores que ayudan son unos buenos libros de texto. Si algún lector conoce algún país donde parezca que los resultados educativos son buenos, y que ha decidido prescindir de los libros de texto, me encantaría explorar el caso.
  • El problema es cuando se le da la vuelta a la afirmación anterior, cometiendo la falacia más común, la de dar la vuelta a una implicación que solo funciona en un sentido, y se afirma, o se transmite, que los profesores que usan libros de texto es porque no son tan buenos, o tan trabajadores, o les falta iniciativa. Y creo que esta visión se ha extendido bastante, en particular en nuestros centros de formación de maestros. La visión mayoritaria es que un buen maestro elabora sus propios materiales, y en lugar de prepararles para elegir buenos textos y usarlos bien se les prepara para que elaboren unidades didácticas. Aquí la universidad está a la cabeza, porque la ANECA, el organismo que rige la carrera profesional de los profesores universitarios (hay que ser evaluado por ella cada vez que queremos progresar), decidió hace años “dar puntos” a los profesores que elaboran sus propios materiales. Puestas así las cosas, cuando el profesor X tiene que impartir el curso próximo una asignatura como Cálculo para Ingenieros, tiene dos opciones:
      • recurrir a uno de los 3 ó 4 manuales estándar de la asignatura, que son los usados en las mejores universidades del mundo. Además de que no recibirá ninguno de esos puntos si opta por esto, tendrá que luchar contra lo poco acostumbrados que estarán sus alumnos a usar un libro de texto. La mayoría habrán recurrido a ellos solo para hacer algún trabajo, y para hacer los ejercicios K y L de la página J.
      • elaborar sus propios apuntes. En este caso, los alumnos estarán más contentos, y el profesor recibirá esos puntitos de la ANECA. Por supuesto, nadie comprobará si esos apuntes son buenos, malos o regulares. Esta situación me temo que va a peor, porque se está trasladando al procedimiento de evaluación de la docencia que están implementando cada vez más universidades, presionadas por la superioridad en ese sentido.

    Aunque cada vez es más complicado saber qué se hace en cada sitio (una consecuencia creo que desafortunada del desarrollo de los entornos de ayuda al aprendizaje virtual), no es difícil imaginar hacia dónde se deslizan las cosas con la actual estructura de incentivos …

  • Lo que me resulta más llamativo es que esta situación de una mayoría de estudiantes nada acostumbrados a usar con criterio libros de texto convive con el énfasis que se pone en la importancia del “aprender a aprender”. Es verdad que en estos tiempos cualquiera que quiera aprender algo tiene a su disposición materiales estupendos, pero me parece difícil que alguien que está aprendiendo tenga el criterio para elegir algunos de entre los más adecuados. Ya sé que hay experiencias realmente sorprendentes sobre lo que se puede conseguir en esta dirección, lo que no conozco es comparativas con lo que habrían conseguido esos niños con buenos libros de texto y buenos maestros a su alrededor.
  • Una imagen que escuché en una presentación de Marshall Cavendish, que no había oído, y que me ha gustado mucho, es esta analogía con la música: el libro de texto es la partitura, y el profesor es el intérprete. Me encanta el jazz, y por supuesto que valoro la música improvisada, pero también soy consciente de lo que aporta un buen intérprete a cualquier partitura, por muy escrita que ya esté. En el aula, un docente no tiene por qué limitarse a seguir mecánicamente el libro de texto, como a veces se critica. Cuando un niño dice “no lo entiendo”, o hace una pregunta interesante, o hace algo mal, la reacción del profesor para conducir la situación, localizar la dificultad de aprendizaje, o buscar un enfoque alternativo que solucione el problema, es lo que diferencia al docente excelente del bueno, o del menos bueno.
  • En resumen, a la afirmación del principio de “un buen profesor no necesita un libro de texto” (que como dije suscribo) contrapondría esta otra, que también me parece cierta: “un buen libro de texto es una excelente herramienta para cualquier profesor (y para los alumnos)”.

Y en física, ¿no es un poco disparatado?

Parece mentira, creía que estaba curado de espantos, pero me he llevado otra buena sorpresa, esta vez con la física. Resulta que esta es la ecuación que se les presenta a los alumnos para estudiar las ondas:

y(x,t) = A \sin (\omega t + k x - \varphi_0)

Y esta vez he comprobado que no se trata del libro de texto, sino que aparece explícitamente en el currículo de la LOMCE:

pag. 275 del currículo (BOE 03-01-2015)

Criterios de evaluación:

4. Interpretar la doble periodicidad de una onda a partir de su frecuencia y su número de onda.

Estándares de aprendizaje:

4.1 Dada la expresión matemática de una onda, justifica la doble periodicidad con respecto a la posición y al tiempo.

Tengo claro que nunca había visto la ecuación formulada en esos términos, y conste que estudié – y aprobé – la física de 1º de una ingeniería en los 80. También tengo claro que cuando trabajaba con mis alumnos de Ingeniería de Telecomunicación, me daba por satisfecho si manejaban con cierta solvencia la ecuación que yo había visto hasta ahora, que presenta la onda solo como función del tiempo y(t) = A \sin (\omega t  - \varphi_0)

¿Realmente pretendemos que los alumnos en bachillerato entiendan las funciones de dos variables? Mi sensación es la de una de esas películas de Buster Keaton: vamos en un tren, cuesta abajo, y con los frenos estropeados. Y descubrimos que el maquinista se ha vuelto loco, y que sigue echando carbón en la caldera …

 

Una nota sobre formación matemática de maestros

Este artículo de El Diario, de @hcebolla,  habla sobre calidad de profesores, y creo que su lectura merece la pena. Pero lo que me ha dejado impactado es este gráfico:

TEDS-M-España-EEUU

Los datos corresponden al estudio TEDS-M sobre formación matemática de maestros (en concreto, de estudiantes de último año de la antigua diplomatura de magisterio de primaria). Los datos de la izquierda son los resultados de los diferentes centros de formación de maestros españoles que participaron (casi todos los pertenecientes a universidades públicas, y algunos de universidades privadas). Los datos de la derecha corresponden a los centros de EEUU. Como en casi todo estudio, la variabilidad en los resultados de los centros estadounidenses es llamativa, pero también me resulta de lo más llamativa la uniformidad (en la mediocridad) de los resultados de los centros españoles.

No conozco otro estudio con esta uniformidad. En PISA 2012, por ejemplo, los resultados por comunidades autónomas variaron entre los 517 puntos de Navarra y los 461 puntos de Extremadura. En TEDS-M, donde la unidad de estudio es de menor tamaño, lo esperable sería que la variabilidad fuera mayor.

Llevo unos días dándole vueltas al tema, y sigo tan perdido como al principio, de forma que en lugar de aventurar una explicación prefiero abrir la puerta a un posible debate.

Hipónimos e hiperónimos

Somos el país de la taxonomía, nos encanta dar nombres, clasificar, y luego poder pedir a nuestros alumnos que memoricen todo lo que se nos ocurra. Resulta simplemente kafkiano que, en un descanso de una lectura de un Trabajo Fin de Grado, en el que compruebas una vez más que muchos de nuestros graduados tienen serios problemas para expresarse con una mínima corrección, puedas escuchar a tu hija, que cursa 1º de Bachillerato, que está estudiando un examen de lengua, y está repasando los sustantivos hipónimos e hiperónimos.
Simplemente, estamos locos.