Los “problemas de ciclistas”

Dos ciclistas están en dos pueblos distintos, a una distancia de 112 km. Empiezan a pedalear, a la vez, para encontrarse. Uno va a 18 km/h, y el otro a 22 km/h. ¿Cuánto tiempo tardan en encontrarse? (Debes resolver el problema sin usar razonamientos algebraicos, y dar el resultado en horas, minutos y segundos).

Este es un problema que, con variantes, planteo cada año a mis estudiantes de Matemáticas I. Tras varios años de observar los patrones de respuesta de los alumnos, he detectado varias cosas interesantes, y que creo que pueden ser de interés para algunos lectores.

La primera observación es que, cuando no les permites usar el álgebra, la mayoría (hablo al menos de 3/4 partes de los alumnos, que sí lo intenta, porque hacen otros probleas de la hoja) no consiguen hacer nada. Este detalle de prohibirles el álgebra es un tema de reflexión en sí mismo, desde luego. Encantado de recibir ideas al respecto, y ya tengo apuntado el tema para una futura entrada. De momento, me limitaré a decir que, desde mi punto de vista, el uso del álgebra para resolver problemas como éste empobrece el aprendizaje de la aritmética.

En la clase en la que tratamos los problemas, los alumnos a los que pregunté –y que habían hecho algo– empezaron con la idea de que “es lo mismo que si los dos ciclistas se movieran a una velocidad de 20 km/h”. Tratar de convencerles (a ellos y al resto de la clase) de que también es lo mismo que si un solo ciclista se mueve a 40 km/h, costó sorprendentemente mas. De hecho, creo que no lo conseguí hasta que no cambié ciclistas por pintores, la carretara por una valla (y los km por m, por aquello de las “matemáticas realistas”).

Pero la segunda parte me parece también interesante: el problema que tenemos ahora es cuánto se tarda en recorrer 112 km si nos movemos a 40 km/h. Supongo que entendieron que esa prohibición del álgebra se extendía a “fórmulas de la física” (así le llaman a cosas como e=v.t) — y aquí acertaron, esa era mi idea–. Lo que hicieron entonces es razonar que en 2 horas recorren 80 km, en media hora mas otros 20 km, y continuaron dividiendo hasta la solución final. Ya se que algún lector puede estar pensando que no eran “soluciones independientes”. Fueron tres grupos, y digamos que pregunté lo suficiente para convencerme de que sus razonamientos sí eran personales, además de que en los tres casos se trataba de alumnos que apuntan muy buenas maneras en la asignatura.

Y todo esto, a pesar de que la semana anterior habíamos trabajado en la teoría la división, y nos habíamos parado en sus dos significados. Esta dificultad no me sorprendió, ya lo había visto otros años (por eso el problema estaba formulado de esta forma; si la distancia hubiera sido de 120 km, no habrían tenido ningún problema con esta parte). Resulta realmente llamativa la dificultad de comprensión de la división cuando el cociente o el divisor no son números enteros. La causa la tengo clara: demasiadas divisiones hechas en primaria, con poca atención a su significado.

 

El rechazo a las matemáticas: un apunte

No es mi intención adentrarme en el tema del rechazo a las matemáticas, tan importante y sobre el que tanto se ha escrito. Pero es que la estupenda entrada de mi compañero David Orden Siete consejos para evitar que tu hijo odie las matemáticas (perfecta para unos padres cuyos hijos están entrando en el sistema escolar) ha coincidido con las tareas de 2º de Bachillerato que están empezando a llegar a mi casa estos días … No estoy diciendo que a la entrada de David le falta nada, porque yo tampoco tengo un remedio para el problema que quiero comentar, pero estoy seguro de que muchos padres que hayan leído la entrada, y que tengan hijos que ya hayan avanzado un poco en primaria, se habrán preguntado: vale, muy bien, pero ¿qué hago cuando mi hijo de 4º de primaria trae a casa, día tras día, 15 divisiones (o trabajos equivalentes en otros cursos)? Por supuesto que no tengo ni idea de lo extendido que está este problema, ¡nadie la tiene!

El dilema que plantea esa situación es realmente complicado, y desde luego no me atrevo a dar ningún consejo para afrontarla. Lo que sí tengo claro es que ese problema (el exceso de tareas rutinarias) está detrás del poco aprecio, o directamente aversión, de mucha gente ante las matemáticas. El primer día de clase dedico cierto tiempo para hablar con mis alumnos nuevos de magisterio sobre su actitud ante las matemáticas. El rechazo a las matemáticas no es generalizado, ni mucho menos. Diría que cerca de la mitad de la clase tiene un actitud positiva, o al menos neutra, ante la materia. Como he comentado alguna vez, creo que el perfil de los estudiantes de magisterio ha cambiado algo en los últimos años. Pero cuando pregunto a esa otra mitad de alumnos con rechazo, o sentimiento de incompetencia, o ambas cosas, la respuesta que encuentro muchas veces tiene que ver con el problema del tedio y la incomprensión de las tareas rutinarias que comento.

Para poner un ejemplo concreto, exactamente del mismo problema aunque correspondiente a un curso posterior, estos son los deberes que llegaron a mi casa, para hacer de miércoles a jueves (2º de Bachillerato):

2014-09-deberes(1) En el ejercicio 1 la frase “utilizando el método de Gauss” está tachada porque aún no lo han visto. Lo que tenían que hacer era la “fuerza bruta”: 4 ecuaciones, 4 incógnitas, y paciencia …

Como siempre digo, no se trata de “criticar al profesor”. De hecho, cuando tras reprimirme durante todo el curso pasado, fui a hablar con la profesora de mi hija una vez terminado el curso, me encontré con un perfil de profesor sobre el que no había pensado lo suficiente, y al que le estoy dando vueltas desde entonces: me pareció una profesora muy trabajadora, preocupada por que sus alumnos aprendan y muy convencida de que estaba haciendo lo que tenía que hacer. El único problema es que su idea de qué son las matemáticas, y en qué consiste por tanto aprender matemáticas, no coincide con la mía.

Esta entrada participa en la Edición 5.6: Paul Erdős del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Cifras y Teclas.

La formación matemática de los maestros

Hoy el Instituto Nacional de Evaluación Educativa publica esta entrada sobre la formación matemática de los maestros. Supongo que la culpa es mía, por haberme extendido demasiado, pero han recortado la versión original que les envié, sin prevenirme. No han cambiado nada relevante; todas las ideas importantes están ahí, pero la sintaxis ha sufrido algo … Para no llevarme mas collejas de las que me merezco, aquí está la versión completa.

Jornada de educación matemática en Segovia

Tengo pendiente una reseña sobre la Escuela Miguel de Guzmán. Estoy esperando a recopilar los enlaces a las presentaciones, y me está llevando mas tiempo del esperado. En cualquier caso, antes de fin de mes presentaré lo que tenga, antes de que mis ideas se enfríen del todo.

Hoy quería simplemente hacer un pequeño anuncio de dos jornadas interesantes sobre educación matemática que tendrán lugar próximamente. La primera, la jornada que organiza la feemcat el próximo 4 de octubre. Estaré en Barcelona ese fin de semana, pero tendré que repartir mi tiempo entre esa jornada y el certamen de Ciencia en Acción.

La otra actividad, una jornada en Segovia: Las metodologías innovadoras en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas (14 y 15 de noviembre). Aquí está el segundo anuncio. La verdad, me ha hecho ilusión que por primera vez en mi presentación aparezca “… y autor del blog Mas ideas, menos cuentas”. Pero lo que espero con más ganas de esa jornada es tener por fin ocasión de coincidir con Tony Martín. El título de su ponencia: Las matemáticas de la educación primaria en el siglo XXI creo que da en la diana. Es un debate que ha empezado en algunos sitios, pero que en nuestro país es inexistente. Y hasta que no decidamos en qué consiste la alfabetización matemática básica del siglo XXI será imposible dirigir nuestros esfuerzos en la dirección adecuada. Este verano le estuve dando vueltas a la idea de intentar montar algún tipo de reunión. Mi título era “Las matemáticas elementales en el siglo XXI”. Había dejado aparcada la idea por falta de tiempo y energía, pero es posible que este próximo noviembre reciba un nuevo impulso …

Libro de 1º de Primaria

Con algo de retraso, pero aquí está el material prometido:

Como ya decía en la entrada anterior sobre este tema, el punto de vista con el que he hecho los libros es pensar en qué me gustaría tener a mi si me tocara empezar a dar clase en 1º de primaria. Y lo que me gustaría es tener unas transparencias para proyectar en una pantalla, o en una pizarra digital, y poder presentar imágenes y hablar y trabajar con los niños sobre ellas. Esto es el “libro de texto para proyectar”, dividido en dos partes. Por supuesto, sé que no en todas las aulas hay pizarra digital o pantalla disponible, y hay también una versión para papel, el “libro de texto para imprimir” (es en color, pero pensada para poder ser imprimida en blanco y negro, en ningún momento se hace referencia a “ese cuadrado azul”). También hay una guía del profesor, con algunas indicaciones. Son indicaciones breves, quizá demasiado breves para algunos. Mi impresión general es que este tipo de cosas suelen ser demasiado extensas, y prefiero ser breve para resaltar las ideas fundamentales. Es posible que me haya excedido. Por último, hay dos cuadernos de ejercicios.

Encantado de recibir cualquier tipo de comentario que surja del uso de los materiales, tanto si se trata de un uso puntual como si alguien se lanza a usarlo como base del curso. Pueden ser comentarios a esta entrada o mensajes al correo masideas.menoscuentas de gmail.