Dos ciclistas están en dos pueblos distintos, a una distancia de 112 km. Empiezan a pedalear, a la vez, para encontrarse. Uno va a 18 km/h, y el otro a 22 km/h. ¿Cuánto tiempo tardan en encontrarse? (Debes resolver el problema sin usar razonamientos algebraicos, y dar el resultado en horas, minutos y segundos).
Este es un problema que, con variantes, planteo cada año a mis estudiantes de Matemáticas I. Tras varios años de observar los patrones de respuesta de los alumnos, he detectado varias cosas interesantes, y que creo que pueden ser de interés para algunos lectores.
La primera observación es que, cuando no les permites usar el álgebra, la mayoría (hablo al menos de 3/4 partes de los alumnos, que sí lo intenta, porque hacen otros probleas de la hoja) no consiguen hacer nada. Este detalle de prohibirles el álgebra es un tema de reflexión en sí mismo, desde luego. Encantado de recibir ideas al respecto, y ya tengo apuntado el tema para una futura entrada. De momento, me limitaré a decir que, desde mi punto de vista, el uso del álgebra para resolver problemas como éste empobrece el aprendizaje de la aritmética.
En la clase en la que tratamos los problemas, los alumnos a los que pregunté –y que habían hecho algo– empezaron con la idea de que «es lo mismo que si los dos ciclistas se movieran a una velocidad de 20 km/h». Tratar de convencerles (a ellos y al resto de la clase) de que también es lo mismo que si un solo ciclista se mueve a 40 km/h, costó sorprendentemente mas. De hecho, creo que no lo conseguí hasta que no cambié ciclistas por pintores, la carretara por una valla (y los km por m, por aquello de las «matemáticas realistas»).
Pero la segunda parte me parece también interesante: el problema que tenemos ahora es cuánto se tarda en recorrer 112 km si nos movemos a 40 km/h. Supongo que entendieron que esa prohibición del álgebra se extendía a «fórmulas de la física» (así le llaman a cosas como e=v.t) — y aquí acertaron, esa era mi idea–. Lo que hicieron entonces es razonar que en 2 horas recorren 80 km, en media hora mas otros 20 km, y continuaron dividiendo hasta la solución final. Ya se que algún lector puede estar pensando que no eran «soluciones independientes». Fueron tres grupos, y digamos que pregunté lo suficiente para convencerme de que sus razonamientos sí eran personales, además de que en los tres casos se trataba de alumnos que apuntan muy buenas maneras en la asignatura.
Y todo esto, a pesar de que la semana anterior habíamos trabajado en la teoría la división, y nos habíamos parado en sus dos significados. Esta dificultad no me sorprendió, ya lo había visto otros años (por eso el problema estaba formulado de esta forma; si la distancia hubiera sido de 120 km, no habrían tenido ningún problema con esta parte). Resulta realmente llamativa la dificultad de comprensión de la división cuando el cociente o el divisor no son números enteros. La causa la tengo clara: demasiadas divisiones hechas en primaria, con poca atención a su significado.
Más ideas, menos cuentas. Un blog sobre educación matemática. 
Muy interesante post, Pedro. Abundando un poco, lo cierto es que se hacen demasiados cálculos sin dimensiones, probablemente la palma se la lleven los números enteros y las fracciones. Habitualmente en 1º de ESO dedico el comienzo de la unidad de proporcionalidad a que dividan cualesquiera dos magnitudes que aparezcan, de los dos modos posibles, y a que les den significado a los números que salen. Por ejemplo, si dividimos 120 km entre 3 horas, prácticamente el 100% de la clase relaciona el número 40 con la velocidad; pero si dividimos 3 entre 120, decidir qué significa el resultado 0’025 es mucho más difícil. Si cambiamos de unidad y dividimos 180 minutos entre 120 km mejora algo su intuición.
Otro ejemplo similar al de los ciclistas, en cuanto a que admite una solución simple sin álgebra, es el de preguntarle a un alumno cuántos años tienen que pasar para que su madre llegue a tener el doble de años que él. Genial la cara que ponen cuando alguno obtiene un resultado negativo.
Muchas gracias por el comentario. Está claro que lo fundamental es saber interpretar la división, y que tener presentes las unidades, al menos con cierta frecuencia, puede ser una buena opción. Yo creo que ejemplos como la velocidad, la densidad, o la presión, deberían ser «ejemplos de cabecera» al tratar la proporcionalidad. Vamos, insistir en la interdisciplinariedad. Y no llegar a los extremos de algunos de mis alumnos, que se quejan de que para hacer algunos problemas, «tienen que saber física».
No había pensado en esa idea de interpretar también la razón inversa. Me parece muy interesante. La probaré dentro de unas pocas semanas. Un ejemplo muy real es el consumo de los coches: lo medimos de una forma en Europa y con su inversa, encima en millas por galón, en EEUU.
Este mismo problema de no entender la división si no es con un resultado entero lo estoy teniendo con una niña de 1 ESO a la que le imparto clases particulares. El problema surgió al intentar calcular un arco de círculo de un ángulo que no fuese divisor de 360, en este caso 220. También empezó a razonar con mitades e intentando dividir en tercios, cuartos, quintos sin llegar a una solución… Realmente llama la atención como han pasado por alto el significado de la división.
Sí, creo que está bastante mas extendido de lo que ninguno pensábamos. La causa es evidente: muchas horas haciendo divisiones, y muy poco tiempo invertido en interpretar esas cuentas.
¡Que recuerdos me trae vd.! ¡La dama y el vagamundo! De Disney, naturalmente.
Golfo y Dama acaramelados pasean por un callejón y le tocan la fibra sensible aun chef de cocina que les ofrece un plato de espaguetis que resulta ser un plato de un solo espagueti larguísimo. En perfecta sincronía Golfo empieza a succionar uno de los extremos y Dama el otro hasta que sus labios se funden en un beso. Con ésta imagen conseguí que mi hijo descubriera que necesitaba dividir por 40 pero antes me aseguré bien de que dominaba los dos significados de la división.
Don Pedro, la necesidad de trabajar magnitudes físicas como la densidad y presión e incluso conceptos físicos desde y dentro de la asignatura de matemáticas y que vd. tanto hecha en falta viene de lejos, de aquellos años en los que se consumó la separación de los estudios de matemáticas y físicas (¿matemáticas modernas?). Ésta separación no llegó a consumarse en Rusia, de hecho en la Rusia soviética las facultades siempre fueron de Ciencias Físico-Matemáticas. Por lo que recuerdo los programas soviéticos de matemáticas de Educación Básica incluían una buena cantidad de contenidos de física y solo en los cursos avanzados aparecían las matemáticas y la física como asignaturas diferenciadas.
La situación ha llegado a tal punto que tengo alumnos que protestan, con toda seriedad, porque para resolver algunos de los problemas que propongo tienen que «saber física» (y la física que tienen que saber se reduce al movimiento uniforme, claro).
Muchas gracias por su comentario.