La división: una operación con dos significados

Quede claro desde el principio: soy consciente de que el tema del que quiero hablar hoy es bien conocido en didáctica. Algún día intentaré escribir sobre por qué las ideas más relevantes de la didáctica llegan tan poco a las aulas.

El problema con la división es que casi toda la energía se dedica al algoritmo, y se deja en segundo lugar su significado. Y me pongo el primero en la lista de pecadores: ya he escrito varias entradas sobre el algoritmo de la división, y esta es la primera sobre su significado. Consideremos estos dos problemas:

  • Miguel lleva 30 caramelos al colegio, y los quiere repartir por igual entre sus 5 amigos. ¿Cuántos caramelos debe darle a cada uno?
  • Miguel lleva 30 caramelos al colegio y los reparte por igual entre sus amigos. Si le da a cada amigo 5 caramelos, ¿cuántos amigos tiene?

Si nos planteamos esa pregunta tan extendida (y tan poco conveniente) de si el problema es de sumar, o de restar o de … la respuesta para ambos es la misma: son “problemas de dividir”. Sin embargo, el significado de la división es diferente en cada caso. Creo que la forma más sencilla de darse cuenta es pensar en cómo resolvería la situación Miguel si se le planteara a los 5 años, sin ningún conocimiento de los algoritmos tradicionales de la aritmética. Lo que haría en el primer caso, seguramente, sería ir dando caramelos a sus amigos, de uno en uno y por turnos, hasta que se acabaran. Sin embargo, en el segundo caso haría grupos de 5 caramelos, hasta averiguar que le salen 6 de tales grupos.

El primer sentido de la división se conoce como división partitiva, y tiene el sentido de reparto; el segundo es la división cuotativa, y responde a la pregunta de cuántas veces cabe el divisor en el dividendo. Si hacemos el esfuerzo de ponernos en el lugar del alumno que empieza a estudiar la división, llegaremos a la conclusión de que no es tan sencillo concluir que los dos significados se traducen en el mismo algoritmo. Y el problema es que la división cuotativa se trabaja muy poco. El sentido partitivo es, claramente, el más intuitivo, y el mejor para introducir la división, y así se hace siempre. Pero habría que trabajar también el sentido cuotativo de la división, y esto se hace mucho menos. El problema se hace evidente cuando llegan las fracciones y aparece la diferencia más llamativa entre los dos significados de la división: en la división partitiva el divisor es, necesariamente, un número entero; sin embargo, en la división cuotativa, el divisor puede no ser entero. Los alumnos (quizá una mayoría) luchan por dar sentido a eso de “dividir por 1/2” porque se están enfrentando al problema de falta de comprensión adecuada del sentido cuotativo de la división.

Mi impresión es que este detalle no es suficientemente conocido entre los docentes. Y de nuevo me pongo el primero en la lista. Leí sobre el tema preparando mis clases de magisterio del curso pasado, después de llevar un par de cursos bastante perplejo ante las dificultades de una parte significativa de mis alumnos al tratar problemas como “Un grupo de amigos compra 6 pizzas y se las reparten por igual. Si cada amigo come 2/3 de pizza, ¿cuántos amigos son en el grupo?”

Por supuesto, se trata de uno de esos problemas que,una vez detectado, tiene fácil solución. Ya desde el principio, al proponer problemas (antes de presentar el algoritmo), habría que trabajar ambos sentidos de la división.

Una vez más, un problema que se hace evidente en secundaria pero cuyo origen está en la enseñanza primaria.

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20 pensamientos en “La división: una operación con dos significados

  1. dos cosas:
    1. Ésto pasa por “culpa” de la propiedad conmutativa de la multiplicación
    2. Creo que lo problemas o se tendrían que resolver mentalmente, (con algún registro escrito para liberar “memoria” o con calculadora. La tradición de hacer resolver el algoritmo tiene la intención oculta y perversa de ejercitar más la mecánica de los algoritmos

    • 1. Tiene que ver con ello, desde luego. Si no se trabaja bien la multiplicación, es muy complicado que la división vaya bien.
      2. Totalmente de acuerdo, pero en esta entrada decidí, por una vez, no hablar de algoritmos – siguiendo uno de tus consejos 🙂

  2. Muy interesante los dos sentidos de la división. Otra cosa que he visto no pocas veces es que al hacer divisiones con números mayores (por ejemplo 300:6=50) se sorprenden cuando comprueban que 6×50 da 300!! Parece que no se trabaja lo suficiente esa conexión entre división y multiplicación. Creo que no vendrían mal más ejercicios de “comprobación” de la división (con la multiplicación), sobre todo al comienzo, para no olvidarse de esa conexión.

    • Por supuesto que no se trabaja, totalmente de acuerdo. Se hacen cuentas, y cuentas, y cuentas. Pero pensar en interpretar los resultados, y en la relación entre las operaciones, es fundamental, y se hace muy poco.

    • Muchas gracias por el comentario, me hace mucha ilusión que este blog esté llegando a algunos profes de primaria. Y enhorbuena por el post sobre el tema. Al final, todo se reduce a lo mismo: hay que detenerse en el significado de las operaciones, no sólo en el algoritmo.

  3. Un post realmente interesante. Yo reconozco también que, con ese nombre (partitiva y cuotativa) es la primera vez que veo descrito el fenómeno. Mi pregunta, como tantas veces, es: ¿Y cómo consiguen los alumnos aprehender el concepto si no lo han trabajado explícitamente? Porque un porcentaje alto sigue llegando al concepto.
    Respecto a lo comentado por Andrea, una anécdota: después de ver por ejemplo que 30:5=6, pregunto cuánto es 300:50. Siempre hay alguien que dice 60.
    Yo he decidido ser cada vez más pesado con mis alumnos. En los problemas pregunto siempre por la estrategia a seguir y después no dejo pasar ninguna operación sin preguntar qué significa el resultado. Los primeros días de 1º suelen pensar que me refiero a cuánto da. Luego se van acostumbrando a decir a qué magnitud aluden.

    • Bueno, la terminología puede no ser del todo estándar. En inglés dicen “quotative”, y quizá cuotativa no sea una traducción del todo correcta. También he visto referirse a este significado como el de “substracciones repetidas”. Con respecto a la pregunta sobre el aprendizaje, es desde luego la clave: los alumnos son los que aprenden, y nuestro papel es intentar facilitar su aprendizaje. La diferencia entre una buena y una mala práctica es la proporción de los alumnos que consiguen aprender.
      La pregunta del 30:5 es también un clásico, desde luego. Hace unos años llegó a publicarse en papel una columna, de las que había antes en la contraportada de El País, en la que se decía que era imposible una cifra de deuda. No recuerdo el detalle, pero el argumento era que no podía ser que la deuda de EEUU fuera de 1200 millones de dólares, porque entonces al dividir esos 1200 millones de dólares entre los 400 millones de ciudadanos americanos, la deuda que le tocaría a cada uno sería de 3 millones de dólares …
      Sobre interpretar el resultado de cada operación, completamente de acuerdo. Desde el 2º año en magisterio me di cuenta de que era imprescindible para que se cuidaran de darle sentido a lo que estaban intentando hacer para resolver un problema.

  4. Como siempre, tocas temas interesantísimos y, como siempre, muy bien explicados, Pedro. ¡Me encanta tu blog!

    Mi hijo acaba de empezar (hace 15 días) en 2o de Primaria en un cole en Costa Rica y mi visión de lo que están haciendo es aún incompleta. Lo que sí que puedo decir del libro que siguen (que es de USA) y también del que estuvo trabajando en verano (también de USA), es que las fracciones se ven a la par que la suma y la resta, y no esperan a la multiplicación. Los conceptos de 1/2, 1/3, ó 4/6 como una parte de un todo ya están introducidos cuando empiezan a multiplicar. Trabajan de manera gráfica tanto las fracciones como las equivalencias entre fracciones (ojo, no he visto que manejen aún, por ejemplo, 6/4).

    Mi experiencia personal con mi hijo es que el concepto de fracción ha entrado con mucha más naturalidad que el de división partitiva y, con diferencia, que la cuotativa. Entender que 2/6 es igual que 1/3 –insisto, una vez representado gráficamente–, ha sido mucho más sencillo que los repartos de peces en cestas.

    • Muchas gracias por el comentario, Belén.
      Sobre las fracciones, esa es también mi impresión. Las fracciones propias sencillas están perfectamente al alcance de los chicos desde el principio de primaria, e introducirlas poco a poco es la mejor forma de que interioricen el concepto.

      • Tienen la fantástica costumbre de poner algún ejercicio de avance con cosas de lo que no han visto. Encuentro uno de esos justo al final del tema de fracciones, con una imagen de 2 círculos cortados por la mitad, 3/2 coloreados y varias respuestas a elegir la cantidad correcta. Cuando venga el peque del cole miro a ver si lo sabe hacer, que me has dejado con la curiosidad ahora a mi 🙂

  5. Es mi primera vez en este blog. Soy Docente de Primaria, en Uruguay. Encontré este artículo justamente buscando ampliar mis conocimientos sobre el tema. Obviamente que dispongo de literatura de Didáctica de la Matemática y de la Disciplina propiamente dicha. Pero al comenzar el año escolar, inmediatamente me di cuenta de que los niños no “tenían” apropiado el sentido relacionado con la división cuotativa. Es verad, casi no se trabaja y cuando incursionan en el campo racional enloquecen y nosotros con ellos. Justo hoy estuve trabajando los dos sentidos y solitos pudieron “descubrirlo”, luego de semanas de trabajo secuenciado.
    Gracias por compartir conocimientos tan útiles.

  6. Pingback: Los “problemas de ciclistas” | Más ideas, menos cuentas. Un blog sobre educación matemática.

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