La derivada en 1º de Bachillerato

Hoy una minientrada, con un anuncio y un comentario para intentar iniciar un debate.

El anuncio es el de la Escuela de Educación Matemática Miguel de Guzmán.  La organizan de forma conjunta la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas y la Real Sociedad Matemática Española. Será en Madrid, del 9 al 11 de julio. La inscripción es gratuita y se cierra el 30 de junio. El objetivo es que sea un punto de encuentro para todos los niveles educativos, y personalmente estaría encantado de que consiguiéramos que asistieran maestros de primaria interesados en las matemáticas.

Y sobre las derivadas, un breve comentario con el ánimo de iniciar un debate: mi hija estudia 1º de Bachillerato, y empezaron el estudio de las derivadas hace dos semanas. Hoy me encuentro en su cuaderno cosas como estas: \displaystyle y = \ln \sqrt {\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}   o   y = x^{\ln (x+1)}. Y hasta parece que ha tenido suerte, porque preguntándole a una amiga del otro grupo me dice: “nuestro profesor nos ha avisado de que los ejercicios del libro son demasiado fáciles”.

Como siempre que comento un tema así: nada más lejos de mi intención que criticar a los profesores, sé que lo hacen con la mejor intencion, para que “aprendan más”. Pero estamos errando el tiro completamente. No sé cómo de generalizado está este enfoque, pero me temo que concuerda bastante con lo que luego vemos en las aulas del primer curso universitario: demasiados alumnos que no entienden absolutamente nada … Como digo, mi idea hoy es sólo tratar de animar el debate. Estoy preparando una entrada hablando del estudio de las derivadas que he visto en un libro para preparar el A-level (la prueba preuniversitaria de Singapur y otros países anglosajones).

Nuevos currículos de primaria en España y en Singapur: una comparación reveladora

Hace poco me he enterado de que en Singapur también están revisando los currículos de matemáticas. Aquí están todos, y aquí el nuevo de primaria. Algún lector habrá reaccionado con cierta sorpresa (reconozco que yo lo hice, al menos, con curiosidad). Vaya, Singapur, que no sale de los primeros puestos de las pruebas internacionales de referencia desde hace años, revisando sus currículos. Por supuesto que en cuanto me fue posible me lancé sobre el documento, y de verdad que recomiendo su lectura. Los capítulos previos a la exposición de los contenidos curriculares me parecen modélicos en su exposición de en qué consiste enseñar y aprender matemáticas. Este es el primer párrafo del documento:

As in all previous reviews, the 2010 full-term review aims to update the syllabuses so that they continue to meet the needs of our students, build a strong foundation in mathematics, and make improvement in the school mathematics education. It takes into consideration the analyses of students’ performances in national examinations as well as international studies such as TIMSS and PISA. This review also takes on board the curriculum-wide recommendations from envisaging studies into the overall Singapore   curriculum such as seeking a better balance between content and skills, creating opportunities to develop 21st century competencies, promoting self-directed and collaborative learning through ICT-based lessons, and developing assessment to support learning.

Muchas cosas me han llamado la atención. Empezando por el aspecto organizativo, la reforma ha arrancado el año 2013 en primer curso de primaria, y se irá extendiendo al resto de los cursos de la etapa de forma progresiva. De hecho, hasta ahora sólo han publicado la parte correspondiente a los dos primeros cursos. Nosotros, en cambio, empezamos el curso próximo en 1º, 3º y 5º. Si un vistazo al currículo no fuera ya suficiente para comprobar que aquí nada ha cambiado, la medida de implantarlo directamente en 5º sería en sí misma prueba suficiente.

Pasando ya a un análisis de fondo, quizá lo más relevante del nuevo currículo de Singapur es la inclusión de las “experiencias de aprendizaje” como uno de los ejes vertebradores del currículo. Aunque ya se hablaba de ellas en la versión anterior, se hacía en la parte introductoria, un poco de pasada. Ahora están al mismo nivel que los contenidos. Me parece una idea muy interesante, porque es una forma muy potente de transmitir a los maestros qué tipo de actividades se recomiendan para tratar los diferentes contenidos. Como ejemplo, en la figura se pueden ver los contenidos y las experiencias de aprendizaje correspondientes a la suma y la resta en primer curso. Aquí está de nuevo el enlace al documento completo, que me parece absolutamente recomendable para cualquiera interesado en la enseñanza de las matemáticas elementales.

learning-experiences-addition-subs-1-con-contenidos

Los contenidos también me parecen muy bien pensados. Un ejemplo: comparemos lo que se hace en nuestro currículo para la multiplicación (las tablas de 0, 1, 2, 5 y 10, así, de entrada), con la figura, que es lo que aparece en primer curso en Singapur.

multiplicacion-division-Singapur-2013

Ya en 2º aparecen las tablas de multiplicar (la última figura). Eso sí, la del 2, 3, 4, 5 y 10. (Cualquier mención a las tablas del 0 y el 1 habría hecho que se tambaleara mi convencimiento de que en Singapur están haciendo estas cosas bastante bien).

tablas-multiplicar

Las reglas de divisibilidad

Ahí siguen en el nuevo currículo de primaria ya publicado en el BOE: “Conoce y aplica los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 9 y 10”. Resulta curiosa la elección de los posibles divisores, porque si al final de primaria hay que hablar de un “criterio de divisibilidad por 2”, o por 10, es que la cosa va muy mal … Por otra parte, ¿por qué 9 si, y 4 y 8 no? Pero no quiero entrar hoy en discusiones curriculares, sino que me gustaría centrarme en las matemáticas.

Lo primero que habría que aclarar es que, más que reglas de divisibilidad, de lo que habría que hablar es de cálculo de restos (naturalmente, sin necesidad de hacer la división). Y me parece un matiz importante: cuando empiezo a tratar el tema con mis alumnos de magisterio, todos tienen claro cuándo un número es divisible por 5. Sin embargo, si escribo en la pizarra 5427 y les pregunto que cuál es el resto al dividir entre 5, pocos tienen claro que la respuesta es inmediata, y que no hace ninguna falta calcular el cociente. En el caso del divisor 5 (y, naturalmente, para el 2 y el 10) es realmente muy sencillo, y no veo ninguna razón para que los alumnos no lo tengan totalmente claro al terminar primaria. De hecho, creo que trabajarlo junto con la división es una buena forma de profundizar en la comprensión de la división con resto.

Durante mis dos primeros cursos en la Facultad de Educación, traté este tema con la maquinaria de las congruencias. La primera razón para hacerlo fue que el cálculo de congruencias me parece una oportunidad excelente para “pensar desde cero”. El tema no es difícil, pero eso de que 2+1 = 0 (módulo 3), es algo que pone a prueba la capacidad de abstracción de los alumnos. Sigo pensando lo mismo pero, teniendo en cuenta el escaso tiempo disponible, y las dificultades que seguimos detectando en contenidos más básicos, pensamos que lo mejor era dejar el cálculo de congruencias fuera del programa. Lo que hemos hecho estos últimos cursos es tratar el tema con el punto de vista de “aritmética con restos”, que resulta más rápido y mucho más cercano a los contenidos de primaria.

Volviendo a las “reglas de divisibilidad”, la siguiente, en orden de dificultad, es la del 4. Entender que para calcular el resto al dividir por 4 es suficiente considerar las unidades y las decenas es una aplicación básica de las descomposiciones de números, y de que 100 es múltiplo de 4. La observación es la de siempre: no tiene ningún sentido dedicarle horas y horas a ejercicios de descomposiciones numéricas, a lo largo de toda la primaria, cuando la mejor forma de entenderlas de verdad es verlas en acción. Una vez vista la del 4, no cuesta ningún trabajo incluir la del 8.

Y llegamos a las del 3 y el 9. Veamos cómo se puede calcular el resto de 85 al dividir por 3. Como 85 = 80 + 5, el reparto de 85 caramelos entre 3 niños se puede organizar, en etapas, de la siguiente forma: repartimos grupos de 10, y de cada grupo nos sobra, de momento, 1 caramelo. Por tanto, tras esta primera etapa tenemos pendientes de repartir 8 + 5 caramelos. Con este sencillo argumento, ya sabemos que el resto de 85 al dividir por 3 es el mismo que el resto de 8 + 5 al dividir por 3. Una vez entendida la propiedad para números de dos cifras, me parece sencillo ver cómo se extiende al caso general. Lo único que hace falta es darse cuenta de que todas las potencias de 10 tienen resto 1 al dividir por 3. Naturalemente, el caso del 9 es exactamente igual, precisamente porque las potencias de 10 también tienen resto 1 al dividir por 9.

¿Tiene sentido llevar este planteamiento a un aula de primaria? Creo que sí, pero me falta la experiencia de aula para estar más convencido. De lo que sí estoy convencido es de que, si se piensa que no se pueden – o que no hay tiempo para – explicar cómo funcionan ciertas reglas de divisibilidad, lo que habría que hacer es eliminarlas completamente del programa. ¿Qué se perdería? Cuando, a la hora de factorizar un número, se necesite comprobar si es divisible por 3, siempre existe la opción de hacer la división. El problema de introducir la regla sin explicación es el de siempre: hacemos un poco más profundo ese pozo de las matemáticas como conjunto inextricable de rutinas y recetas varias.

Un último comentario: una vez más se dejan fuera del currículo los casos más interesantes. Comprobar que la condición para que un número sea múltiplo de 6 es que lo sea de 2 y de 3 contribuye a mejorar la comprensión de los conceptos de múltiplo y de mínimo común múltiplo. El cálculo del resto me parece una oportunidad perfecta para una actividad de trabajo de aula. Se puede proponer calcular diversos restos al dividir por 2, por 3 y por 6, y buscar patrones en los resultados. Una vez detectado el patrón, entenderlo en términos de “reparto de caramelos” podría estar al alcance de muchos alumnos.