Las reglas de divisibilidad

Ahí siguen en el nuevo currículo de primaria ya publicado en el BOE: “Conoce y aplica los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 9 y 10”. Resulta curiosa la elección de los posibles divisores, porque si al final de primaria hay que hablar de un “criterio de divisibilidad por 2”, o por 10, es que la cosa va muy mal … Por otra parte, ¿por qué 9 si, y 4 y 8 no? Pero no quiero entrar hoy en discusiones curriculares, sino que me gustaría centrarme en las matemáticas.

Lo primero que habría que aclarar es que, más que reglas de divisibilidad, de lo que habría que hablar es de cálculo de restos (naturalmente, sin necesidad de hacer la división). Y me parece un matiz importante: cuando empiezo a tratar el tema con mis alumnos de magisterio, todos tienen claro cuándo un número es divisible por 5. Sin embargo, si escribo en la pizarra 5427 y les pregunto que cuál es el resto al dividir entre 5, pocos tienen claro que la respuesta es inmediata, y que no hace ninguna falta calcular el cociente. En el caso del divisor 5 (y, naturalmente, para el 2 y el 10) es realmente muy sencillo, y no veo ninguna razón para que los alumnos no lo tengan totalmente claro al terminar primaria. De hecho, creo que trabajarlo junto con la división es una buena forma de profundizar en la comprensión de la división con resto.

Durante mis dos primeros cursos en la Facultad de Educación, traté este tema con la maquinaria de las congruencias. La primera razón para hacerlo fue que el cálculo de congruencias me parece una oportunidad excelente para “pensar desde cero”. El tema no es difícil, pero eso de que 2+1 = 0 (módulo 3), es algo que pone a prueba la capacidad de abstracción de los alumnos. Sigo pensando lo mismo pero, teniendo en cuenta el escaso tiempo disponible, y las dificultades que seguimos detectando en contenidos más básicos, pensamos que lo mejor era dejar el cálculo de congruencias fuera del programa. Lo que hemos hecho estos últimos cursos es tratar el tema con el punto de vista de “aritmética con restos”, que resulta más rápido y mucho más cercano a los contenidos de primaria.

Volviendo a las “reglas de divisibilidad”, la siguiente, en orden de dificultad, es la del 4. Entender que para calcular el resto al dividir por 4 es suficiente considerar las unidades y las decenas es una aplicación básica de las descomposiciones de números, y de que 100 es múltiplo de 4. La observación es la de siempre: no tiene ningún sentido dedicarle horas y horas a ejercicios de descomposiciones numéricas, a lo largo de toda la primaria, cuando la mejor forma de entenderlas de verdad es verlas en acción. Una vez vista la del 4, no cuesta ningún trabajo incluir la del 8.

Y llegamos a las del 3 y el 9. Veamos cómo se puede calcular el resto de 85 al dividir por 3. Como 85 = 80 + 5, el reparto de 85 caramelos entre 3 niños se puede organizar, en etapas, de la siguiente forma: repartimos grupos de 10, y de cada grupo nos sobra, de momento, 1 caramelo. Por tanto, tras esta primera etapa tenemos pendientes de repartir 8 + 5 caramelos. Con este sencillo argumento, ya sabemos que el resto de 85 al dividir por 3 es el mismo que el resto de 8 + 5 al dividir por 3. Una vez entendida la propiedad para números de dos cifras, me parece sencillo ver cómo se extiende al caso general. Lo único que hace falta es darse cuenta de que todas las potencias de 10 tienen resto 1 al dividir por 3. Naturalemente, el caso del 9 es exactamente igual, precisamente porque las potencias de 10 también tienen resto 1 al dividir por 9.

¿Tiene sentido llevar este planteamiento a un aula de primaria? Creo que sí, pero me falta la experiencia de aula para estar más convencido. De lo que sí estoy convencido es de que, si se piensa que no se pueden – o que no hay tiempo para – explicar cómo funcionan ciertas reglas de divisibilidad, lo que habría que hacer es eliminarlas completamente del programa. ¿Qué se perdería? Cuando, a la hora de factorizar un número, se necesite comprobar si es divisible por 3, siempre existe la opción de hacer la división. El problema de introducir la regla sin explicación es el de siempre: hacemos un poco más profundo ese pozo de las matemáticas como conjunto inextricable de rutinas y recetas varias.

Un último comentario: una vez más se dejan fuera del currículo los casos más interesantes. Comprobar que la condición para que un número sea múltiplo de 6 es que lo sea de 2 y de 3 contribuye a mejorar la comprensión de los conceptos de múltiplo y de mínimo común múltiplo. El cálculo del resto me parece una oportunidad perfecta para una actividad de trabajo de aula. Se puede proponer calcular diversos restos al dividir por 2, por 3 y por 6, y buscar patrones en los resultados. Una vez detectado el patrón, entenderlo en términos de “reparto de caramelos” podría estar al alcance de muchos alumnos.

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6 pensamientos en “Las reglas de divisibilidad

  1. Creo que en primaria se tendria que incluir alguna explicacion sobre las leyes de divisibilidad. Especialmente para el 4 y el 9. No esperaria que la mayoria de los estudiantes lo entiendan (aunque me gustaria equivocarme), pero creo que algunos estudiantes lo entenderian. Si un par de estudiantes pueden enterderlo, pues hay un par de estudiantes que se dan cuenta que las leyes no son un accidente, pero tienen una razon de ser.
    Por otro lado, si esperaria que los profesores de mates de primaria entendieran este tipo de argumentos.

    • De acuerdo, pero con un comentario: creo que la del 3 va antes que la del 9, por aquello de la factorización y la simplificación de fracciones …
      Muy cierto lo que dices: aunque no las entendieran, que vieran que tienen una explicación es un valor en sí mismo. Y, de acuerdo con mi experiencia, sí, una buena parte de los estudiantes de magisterio lo entienden, no es tan complicado … Lo más difícil es que se paren a pensar sobre la división. Un ejercicio que me gusta mucho es por ejemplo, el siguiente: sabiendo que 23×17=391, ¿cuál es el cociente y el resto de la división de 411 entre 17? Las caras de sorpresa que se ven cuando descubren lo sencillo que es son de lo más divertido …

  2. Una curiosidad: en 1º de ESO solemos estudiar criterios que ni siquiera se corresponden con los restos; por ejemplo, el habitual para el 7 no es el sugerido por las potencias de 10 módulo 7 (1,3,2,6,4,5), que es poco práctico , sino el que afirma que un número 10a+b es múltiplo de 7 si y solo si a-2b lo es (y esos dos números no son congruentes módulo 7, en general)

    • Estuve dudando si decir algo sobre el criterio del 7, pero me venció la pereza … No recordaba el argumento. Pero tras tu comentario no me he podido resistir a investigarlo (y no ha sido trivial, es un truco que no sale a sí como así, y no es fácil de encontrar). En efecto, 10a+b es congruente, módulo 7, con 10(a-2b) (y la regla se generaliza a números de más de dos cifras, claro).
      Pero, ¿de verdad que está en el temario de 1º de la ESO? Me parece inexplicable. Una receta difícil de entender, y que no aporta gran cosa, porque el trabajo entre comprobarlo con la regla y haciendo la división no es tanto … Me parece un ejemplo perfecto de contenido totalmente prescindible …

      • A decir verdad, he oído opiniones de todo tipo sobre incluir o no este criterio (yo estoy en contra pero no de modo vehemente como en otras áreas), pero a veces hay alumnos que, al ver que hay criterios para los primos 2, 3, 5 y 11, preguntan interesados por el 7. Este año me ha sucedido, se lo comenté en un momento pero básicamente para que se convenciesen de que era más rápido dividir y ver el resto.

  3. Bueno, este enfoque es completamente distinto, desde luego. Una cosa es tratarlo como contenido curricular, y otra comentarlo ante una pregunta de un alumno … Al menos tus alumnos tienen más suerte que yo con ese tema: recuerdo que a mi me contaron que para el 7 “no había criterio de divisibilidad” …

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