¿Por qué recurren al móvil para calcular el doble de 16?

Justo antes de navidades vi un par de tuits de @unmatematico que decían

Alumnos de ingeniería que usan la calculadora para operaciones del tipo “32 – 24”, “-3-2+1” [sic] y cosas similares

Acabo de ver dos más muy buenas “2x2x4” y “9-16”. Realmente tenemos un problema …

Creo que muchos hemos visto cosas similares. En mi caso, la última que recuerdo es la que da título a esta entrada. Contesté al tuit, preguntando por las posibles causas, y @druizaguilera contestó con esta lista:

  1. prohibición en primaria + uso indiscriminado en secundaria (y sin instrucciones)
  2. poco trabajo del cálculo mental
  3. pocas (nulas) estrategias personales de cálculo
  4. pereza

Contesté diciendo que estoy esencialmente de acuerdo (algo se podría matizar, porque obviamente 3 es consecuencia directa de 2), pero que me falta una, y es el exceso de cálculo tradicional, sobre todo en primaria. A esto @unmatematico contestó diciendo que no veía claro el mecanismo por el cual el exceso de cálculo en primaria podría llevar a usar la calculadora para operaciones como las mencionadas en la universidad, y me comprometí a exponer mis reflexiones, con el espacio adecuado, en una entrada del blog. Aquí está.

Es verdad que no es imposible trabajar tanto los algoritmos tradicionales como las estrategias de cálculo mental. De hecho, esto es lo que se debería hacer, porque es lo que figura en nuestro currículo de primaria (junto con la iniciación en el uso de la calculadora, y el decidir qué método usar en cada caso). Pero no es sencillo, porque las estrategias para el cálculo mental son distintas (a veces, casi contrapuestas) a las rutinas que se adquieren con los algoritmos tradicionales. De hecho, la principal dificultad que se encuentran mis alumnos para avanzar en el cálculo mental es que tratan de imitar mentalmente lo ya conocido para el papel. También se puede uno encontrar el caso contrario: el niño que ha desarrollado estrategias personales para el cálculo de sumas y que, al empezar en el cole con el algoritmo en columna pierde la comprensión del proceso de suma que había desarrollado.

Me parece que el problema tiene difícil solución mientras sigamos empeñados en que los niños aprendan a hacer divisiones con divisores de tres cifras, como la del ejemplo, sacada de un libro de 5º para la LOMCE y de un problema “realista”: una panadería hace 15408 barras de pan, y pone 237 en cada cesta. ¿Cuántas cestas necesita?

barras-pan

Nota final: encima, seguimos empeñados en comprimir la escritura de la división, en lugar de escribir ese 237 \times 5 que figura en la ayuda. Creo que estamos bastante solos en el mundo a la hora de comprimir así la división. Desde luego, no se hace en los países anglosajones. ¿Algún lector de habla hispana nos comenta cómo se escriben estas divisiones en su país?

Segunda nota final: la entrada me ha quedado menos convincente de lo que la imaginaba antes de empezar. Es un tema que daría para estudios y trabajos de aula.

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Las calculadoras “modernas”

El otro día me llegó (vía @tocamates) un tuit de @JosePolLezcano que enlazaba una calculadora que imita la aritmética del lápiz y papel: y (un ejemplo, en la imagen). Además de suma, resta, multiplicación y división, tiene también el algoritmo de la raíz cuadrada, y la factorización (con la rayita y todo).

calculadora-Alicia

No me pude resistir al impulso de contestar que no me parecía buena idea, y a continuación tuvimos un breve e interesante debate, que concluyó con mi compromiso de escribir una entrada sobre el tema. Aquí está.

Se trata de reflexionar sobre el tipo de calculadora; sobre el tema de los algoritmos tradicionales de la aritmética ya he escrito, por ejemplo aquí. Supongamos por tanto que hemos decidido que el alumno debe aprender a hacer divisiones como la del ejemplo (o un poco mas cortas, este detalle no me parece relevante para esta discusión). Desde mi punto de vista, la pregunta clave es: ¿ayuda una calculadora como esta en el aprendizaje (es decir, en la mecanización) del algoritmo? Me parece que no: desde luego, lo más cómodo para el alumno, y para el profesor, es una calculadora que diga que donde puse un 7 debería haber un 8, pero no me parece que eso aporte nada al aprendizaje (ni siquiera al de la rutina). Puestos a corregir la división con ayuda de una calculadora (lo que no me parece mala idea), creo que sería mucho más adecuado aprovechar esta situación para mostrar al alumno que lo que está haciendo en el primer paso es dividir 869 entre 325, que el cociente es 2 y el resto 219. La inmensa mayoría de los alumnos no son conscientes de esto, ¡nadie se lo dice!

Por supuesto que la calculadora “moderna” es más cómoda, pero debería estar claro que lo más cómodo no siempre es lo más formativo …

¿Andando o en autobús?

Parece que la comparación entre ir andando como equivalente al cálculo mental e ir en coche o autobús como equivalente al uso de la calculadora está haciendo fortuna en las últimas semanas.

Primero fue esta carta al director de El País de  Ricardo Moreno Castillo (el autor de “Panfleto antipedagógico”):

La utilidad de las calculadoras es indudable, como lo es la de los coches, pero no se ha de olvidar que así como el caminar sigue siendo un saludable ejercicio, también lo sigue siendo el cálculo mental. A mi juicio, las calculadoras no deben de ser usadas antes de los 14 años.

Hace unos días, un tuit de @notemates

Operar sin calculadora para ejercitar la mente es como ir al cole sin bus, andando para hacer ejercicio.

Las analogías suelen tener su peligro, pero creo que esta no es del todo mala. Sin embargo, si queremos que nos sirva para progresar en el debate creo que hace falta algo más de informacion.

Imaginemos que nos encontramos con una pareja de amigos debatiendo cómo ira su hijo al cole durante el curso próximo: “yo creo que es mejor que vaya en autobús”, dice él. “Pues yo creo que es mejor que vaya andando”, responde ella. Falta algo, ¿verdad? Si no conocemos la edad del niño y, sobre todo, a qué distancia está el colegio, es difícil hacerse una idea del sentido de la conversación.

Pues creo que lo mismo pasa con el debate sobre el cálculo mental y las calculadoras. Si la cuenta que hay que hacer es 12+9, que es el equivalente a que el colegio esté a dos manzanas en un barrio bien urbanizado, está claro que la cuenta se debería hacer de cabeza, sin mayor esfuerzo. Por el contrario, si el colegio estuviera a 10 km, que yo lo consideraría equivalente a tener que calcular 39876 \times 829, supongo que todos asumimos que el niño usará, en ambos casos, una tecnología propia del siglo XXI.

En resumen: creo que si queremos progresar en el debate no queda mas remedio que concretar qué nos parece adecuado para ser abordado con técnicas de cálculo mental/natural, qué cálculos creemos destinados a la calculadora, y si quedan cálculos en algún terreno intermedio.

La raíz cuadrada

La verdad es que hasta hace un par de años había dado por hecho que el algoritmo tradicional para el cálculo de la raíz cuadrada había desaparecido de nuestras aulas. Supongo que la razón era sencillamente que mis hijas “se libraron” de él. Quizá en algún momento comentaron algo en clase, pero nunca las vi calculando en casa, ni lo prepararon para un examen.

Estos últimos años aprovecho cualquier ocasión para hablar con profesores, y he descubierto con algo de sorpresa que la situación puede ser algo diferente. Como siempre, por supuesto, no existen datos sobre lo que se está haciendo en las aulas, y los currículos no concretan lo suficiente. En la figura se puede ver lo que dicen sobre el tema tanto el currículo de la LOE como el nuevo de la LOMCE. ¿Forma parte del currículo el algoritmo tradicional para el cálculo de la raíz cuadrada? Bueno, creo que es tan defendible una cosa como la contraria …

raiz-cuadrada-curriculo

La “opinión de los libros de texto” (mayoritarios) no es difícil de adivinar, dada su inclinación al “cuanto mas mejor”. En la figura se pueden ver dos ejemplos, los dos de ediciones recientes. Mi premio especial va para el ejemplo de la derecha, desde luego, no solo por el tamaño del número (118527) sino, sobre todo, por terminar con el resto (191), y dejarlo ahí, como si interpretar el resto de una raíz cuadrada fuera algo sencillo, o remotamente similar al resto de la división …

raiz-cuadrada-textos

Algunos países ya han eliminado el algoritmo de la división con divisores de dos o mas cifras, y seguro que muchos otros muchos se lo están pensando. Mientras, nosotros seguimos atascados en temas que han superado hace tiempo en otros lugares. No he encontrado referencia a este tema en ningún currículo/texto de otros países, y si no me diera mucha vergüenza emular al gran Donald Knuth casi me atrevería a ofrecer 10 € a cualquier lector que encontrara un ejemplo de este algoritmo fuera de nuestro país. Me parece un ejemplo perfecto de ese problema de educación viejuna del que se empieza a escribir con cierta regularidad en otros foros.

Una nota aclaratoria que ya me he acostumbrado a hacer siempre que hablo sobre estos temas es que por supuesto que los alumnos deben aprender a estimar raíces cuadradas, y a encontarlas si el tamaño del número es el adecuado. Creo que hacer esto con métodos de cálculo mental – cálculo natural enseña mucho mas sobre qué significa la raíz cuadrada que reproducir la receta del algoritmo tradicional.

Y una nota final: en algún debate algún profesor me ha dicho que “trabajar el algoritmo no hace daño”. Bueno, puede que no; pero me parece discutible argumentar (con toda la razón) que no hay tiempo suficiente para tratar de forma adecuada los temas del currículo, y a la vez invertir parte de ese tiempo en el algoritmo de la raíz cuadrada. Además, puede ser cierto que a algunos niños les “gusta calcular” (yo nunca tuve ningún problema con ello, hice bastantes raíces cuadradas, y no tengo mal recuerdo de ello) pero hay otros alumnos a los que se les atraviesa el cálculo, por razones variadas, y que crecen con la sensación de que no valen para las matemáticas (o de que las matemáticas son un rollo inútil).