La raíz cuadrada

La verdad es que hasta hace un par de años había dado por hecho que el algoritmo tradicional para el cálculo de la raíz cuadrada había desaparecido de nuestras aulas. Supongo que la razón era sencillamente que mis hijas “se libraron” de él. Quizá en algún momento comentaron algo en clase, pero nunca las vi calculando en casa, ni lo prepararon para un examen.

Estos últimos años aprovecho cualquier ocasión para hablar con profesores, y he descubierto con algo de sorpresa que la situación puede ser algo diferente. Como siempre, por supuesto, no existen datos sobre lo que se está haciendo en las aulas, y los currículos no concretan lo suficiente. En la figura se puede ver lo que dicen sobre el tema tanto el currículo de la LOE como el nuevo de la LOMCE. ¿Forma parte del currículo el algoritmo tradicional para el cálculo de la raíz cuadrada? Bueno, creo que es tan defendible una cosa como la contraria …

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La “opinión de los libros de texto” (mayoritarios) no es difícil de adivinar, dada su inclinación al “cuanto mas mejor”. En la figura se pueden ver dos ejemplos, los dos de ediciones recientes. Mi premio especial va para el ejemplo de la derecha, desde luego, no solo por el tamaño del número (118527) sino, sobre todo, por terminar con el resto (191), y dejarlo ahí, como si interpretar el resto de una raíz cuadrada fuera algo sencillo, o remotamente similar al resto de la división …

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Algunos países ya han eliminado el algoritmo de la división con divisores de dos o mas cifras, y seguro que muchos otros muchos se lo están pensando. Mientras, nosotros seguimos atascados en temas que han superado hace tiempo en otros lugares. No he encontrado referencia a este tema en ningún currículo/texto de otros países, y si no me diera mucha vergüenza emular al gran Donald Knuth casi me atrevería a ofrecer 10 € a cualquier lector que encontrara un ejemplo de este algoritmo fuera de nuestro país. Me parece un ejemplo perfecto de ese problema de educación viejuna del que se empieza a escribir con cierta regularidad en otros foros.

Una nota aclaratoria que ya me he acostumbrado a hacer siempre que hablo sobre estos temas es que por supuesto que los alumnos deben aprender a estimar raíces cuadradas, y a encontarlas si el tamaño del número es el adecuado. Creo que hacer esto con métodos de cálculo mental – cálculo natural enseña mucho mas sobre qué significa la raíz cuadrada que reproducir la receta del algoritmo tradicional.

Y una nota final: en algún debate algún profesor me ha dicho que “trabajar el algoritmo no hace daño”. Bueno, puede que no; pero me parece discutible argumentar (con toda la razón) que no hay tiempo suficiente para tratar de forma adecuada los temas del currículo, y a la vez invertir parte de ese tiempo en el algoritmo de la raíz cuadrada. Además, puede ser cierto que a algunos niños les “gusta calcular” (yo nunca tuve ningún problema con ello, hice bastantes raíces cuadradas, y no tengo mal recuerdo de ello) pero hay otros alumnos a los que se les atraviesa el cálculo, por razones variadas, y que crecen con la sensación de que no valen para las matemáticas (o de que las matemáticas son un rollo inútil).

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20 pensamientos en “La raíz cuadrada

  1. Yo creo que ese algoritmo (igual que lo de las divisiones u operar con grados, minutos y segundos en el estudio de los ángulos, por ejemplo) se sigue enseñando fundamentalmente por inercia, por pereza y para evitarse problemas. Porque cuando un profesor se empeña en hacer pensar (lo cuál sí que requiere esfuerzo, tanto al alumno como al docente) muchos chicos (y algunos padres despistados) se revelan. Y no nos engañemos, para hacer cosas interesantes en clase hay que formarse, leer, buscar y pensar mucho, dada la escasez de libros de texto innovadores. Como además lo que pasa dentro de las aulas no parece importar demasiado a nadie “de arriba”, me temo que el estilo viejuno disfrazado de “cultura del esfuerzo” tiene bastante futuro, sobre todo si la legislación es así de ambigua.

    • De acuerdo con la inercia y el evitarse problemas. Si un profesor quiere cambiar, muchas veces tendrá en contra a buena parte de su departamento, a los alumnos, y seguramente a los padres. Por eso me parece importante que el currículo concrete mas. Lo de la pereza lo veo menos: hay montones de contenidos, de actividades y de problemas en los libros de texto. Puede que no sean perfectos, pero muchos de ellos son claramente mas interesantes que estos algoritmos, y no se trabajan lo suficiente porque “no da tiempo”.
      Sobre lo que pasa en las aulas: ese es el problema, a nadie parece importarle demasiado. Muchas gracias por tu comentario.

      • Claro que hay pereza: conozco a mucha gente que no usa geogebra ni la hoja de cálculo en clase porque no saben usarlas por no ponerse a aprender algo “nuevo” (es decir, posterior a cuando aprobaron la oposición) y por eso prefieren hacer lo que ya se saben muy bien, como los algoritmos. Y encima miran con recelo esas cosas diferentes, como si fueran jugar y perder el tiempo (aunque tal vez lo primero es cierto, yo creo que el juego es mucho más matemáticas de verdad que las cuentas).

      • Me he explicado mal. No niego que haya pereza para aprender cosas nuevas; lo que digo es que no sé si la pereza explica la insistencia en los algoritmos. Hay otras muchas cosas que se podrían hacer, que están en los libros de texto, y para las que “no hay tiempo”.

  2. Supongo que muchos compañeros del primer ciclo de la ESO enseñarán el algoritmo por la necesidad de concreción con alumnos pequeños: si solo enseñas a estimar raíces (y la estimación es una habilidad que hay que entrenar) los alumnos no van a tener la seguridad de saber “qué da” esa nueva operación que les han enseñado. Seguridad que suelen tener en los demás temas, por lo menos hasta que llegan al 2º ciclo; no me sorprendería que parte de la culpa del fracaso habitual al trabajar los irracionales, el logaritmo o las razones trigonométricas de ángulos cualesquiera se deba a la falta de un algoritmo susceptible de ser aplicado “a mano”.
    Ahora bien, el párrafo anterior no explica por qué usar el algoritmo “de la caja” y no el derivado del método de Newton, p.ej. Imagino dos razones: 1)el de la caja lo conoce todo el mundo (profesores y, quizás más importante por la presión social, padres/madres) 2) forma parte de la tradición.
    Por último, todos los años que doy en 1º de ESO me propongo no hablar de este algoritmo y todos los años hay algún alumno que me pregunta si lo podemos dar. Media sesión/sesión entera a llenar encerados…

    • Lo que dices en el primer párrafo tiene sentido, pero me parece que no es algo inevitable, sino seguramente motivado porque el aprendizaje de las matemáticas durante primaria está demasiado centrado en los cálculos tradicionales. Un profe que quiera luchar contra ese estado de cosas encontará inevitablemente resistencias. Pero la realidad es incontestable: en matemáticas, casi nada se puede calcular “a mano”. Podemos engañarles un año mas, con el algoritmo de la raíz cuadrada, o podemos enfrentarnos en ese momento a la realidad …
      Newton, la verdad, no lo veo en ese momento. Me parece un ejercicio perfecto para bachillerato, pero en 1º de ESO sería igual de esotérico que el algoritmo tradicional, o mas. Muchas gracias por tu comentario.

      • Yo de hecho creo que hay que engañarles en muchos casos: el ejemplo más obvio es el de los números reales, concepto que es imposible de entender en el instituto, y que es inevitable de identificar con los decimales. A veces el tratamiento de un concepto no es coherente con el ente matemático relacionado porque hay que saber amoldarse a la capacidad de la mente a esas edades.
        Por otro lado, el método de Newton lo mencionaba como alternativa más rápida, no porque tuviese interés didáctico. Y contestando a otro comentarista, los padres conocen el algoritmo porque lo han estudiado, aunque es claro que la mayoría necesitaría refrescarlo (y ya no digo entender por qué funciona)

      • En efecto, el de los números reales es un buen ejemplo, al que se puede dar la vuelta: no me parece nada obvio que sea necesario mencionarlos siquiera antes de la etapa universitaria (y dentro de la etapa universitaria, habría que pensar con calma si es tema para alguien mas que para estudiantes de matemáticas).
        En cuanto al algoritmo de Newton, si el criterio es la rapidez, mi propuesta sería la calculadora. No me parece que se pierda nada desde el punto de vista didáctico, las dos alternativas son igual de “mágicas”.
        Sobre el conocimiento de los padres: lo estudiaron, es cierto, pero lo tienen completamente olvidado. Sería algo mucho mas que refrescarlo …

    • Desde mi punto de vista, la pregunta clave es: ¿debemos usar la tecnología para enseñar el algoritmo o la tecnología hace irrelevante el algoritmo?
      No creo que la tecnología haga irrelevantes *todos* los algoritmos. Depende de si hacer algo de forma manual aporta un conocimiento que tenga valor (en concreto, que tenga mayor valor que otras cosas que, inevitablemente, dejaremos de hacer, porque el tiempo es finito). En mi opinión, el algoritmo de la raíz cuadrada no pasa esa prueba. Podría ser, como mucho, un tema de trabajo de un taller de matemáticas, para alumnos interesados. Entenderlo es una estupenda aplicación del cuadrado del binomio. Muchas gracias por el comentario.

  3. Opino de esto poco más que como padre. Me alegro de encontrar simpatías entre profesores. Mi hija ha tenido que aprender a hacer raíces cuadradas a mano en contra de mi consejo (le pedí que no se lo estudiara, aunque suspendiera aquel examen). Lo ha aprendido dos veces, porque de un curso a otro se le había olvidado. Y ahora ya lo ha olvidado de nuevo, afortunadamente.

    Conozco a algunos de los profesores de mis hijos. Son, en general, activos e interesados y no entiendo cómo caen en estos, para mí, graves deslices.

    Dice JJ Rodríguez que muchos padres y madres saben el algoritmo de la caja para raíces cuadradas. Hablo por hablar, sin datos, claro, pero lo dudo. Yo no sabría ni cómo empezar. A no ser que se use con frecuencia, se olvida. Y nadie lo usa.

    Y quizá esto de las raíces me preocupa más como síntoma que como hecho.

    Gracias por hablar del tema.

    • Muchas gracias por la aportación. La opinión de los padres es algo que se echa de menos en el sistema.
      Completamente de acuerdo en que es preocupante como síntoma. Si fuera un problema aislado, la trascendencia sería mínima. Pero es un síntoma no solo de los problemas de nuestro enfoque de la enseñanza de las matemáticas, sino de nuestra educación en general: el predominio del aprendizaje de rutinas, técnicas, etc, y el olvido de la parte mas relevante. Me resisto a hablar de competencias, creo que parte del problema es haber reducido este problema a algo casi terminológico, contenidos-competencias, y en si hay que redactar las cosas en infinitivo o no.
      Pensemos en lengua, y en el predominio del análisis sintáctico sobre la práctica (comprensión lectora, expresión oral y escrita) o en inglés, con el exceso de estudio de la gramática, a costa de nuevo de la práctica de la lengua.

  4. Yo llevo nueve años dando clase y nunca lo he explicado. Lo desconozco, de hecho. Lo que sí me he encontrado es más de una discusión con compañeros que lo defienden a capa y espada, que cómo no vas a enseñarlo, que qué vas a hacer si no, insensata. Muchos más de los que jamás imaginé que hubiera. Por suerte (para mí, claro), otros ya lo consideran tan prescindible como el libro de logaritmos. Por cierto, ayer mismo hablaba de logaritmos con unos amigos: creo que es el concepto que tiene el cociente “aparición en Bachillerato/uso posterior u aplicación” más elevado de todo el currículo. Eso si es que se explica la aplicación, que mi experiencia me dice que ocurre bien poco.

    • La gran pregunta es cuántos profesores hay de cada enfoque, y si esa proporción está cambiando … Lo que me parece claro es que, una vez mas, “Spain is different”. No tengo datos concretos, pero estoy convencido de que este tema fue superado hace tiempo en muchos países, entre ellos aquellos donde la educación matemática parece gozar de mejor salud.
      Completamente de acuerdo en el tema de los logaritmos, escribiré sobre ello en algún momento.

    • Sobre esto de los logaritmos, ahí va mi experiencia: desde hace unos años, en lugar de hacer “cuentas” o ecuaciones con logaritmos, tanto en 4º de ESO (opción B) como en bachillerato, hacemos problemas con decibelios (si una moto emite 80 dB ¿cuánto ruido harán dos motos?) o con pH (si mezclo un litro de agua con otro de lejía ¿qué pH tendrá la mezcla?) que también suponen operar y resolver ecuaciones, aunque menos enrevesadas (y sobre todo con sentido). Mosqueo por parte de colegas, de muchos alumnos protestones y hasta de padres (no todos, afortunadamente) porque “esto es mucho más lío que lo que hacen los de las otras clases” , “esto es de la clase de física y química, no de matemáticas”, etc. etc.

      • Enhorabuena. Ese es exactamente el enfoque que me parece mas adecuado (y el que he visto en Singapur, por ejemplo). Conozco esa reacción de ¡Pero esto es física!
        Pero la única forma de que eso cambie es que suficientes profesores se animen a dar ese paso.

  5. Hay un algoritmo muy sencillo para calcular raices cuadradas – y tambien cubicas etc – .y que es basicamente el algoritmo de busqueda en conjuntos ordenados – un algoritmo muy usado en informatica – , ademas su convergencia es rapida – tiene un complejidad logaritmica .
    Sea X el numero del que se quiere conocer su raiz . Se toman por tanteo dos numeros MIN , MAX tales que
    MIN * MIN X .Por lo tanto la raiz de X esta en el intervalo [MIN , MAX]
    A continuacin se toma el punto medio del intervalo
    MEDIO = (MAX – MIN) / 2 + MIN .
    Ahora si MEDIO * MEDIO > X se sabe que la raiz cuadrada de X esta en el intervalo [MIN , MEDIO] y si MEDIO * MEDIO < X la raiz se encontrara el
    intervalo [ MEDIO , MAX] . y repite el proceso iterativo en estos nuevos intervalos .
    Como he dicho antes se trata de un algoritmo muy usado en informatica y tambien en la vida diaria , pues es basicamente el mismo algoritmo que se emplea para
    buscar una palabra en un diccionario

    • Por supuesto, en matemáticas hablaríamos de una aplicación del teorema de Bolzano.
      Mi postura es que, antes de decidirnos por un algoritmo u otro habría que reflexionar sobre cuál es el objetivo del algoritmo: poder hacerse a la idea del valor aproximado de, por ejemplo, \sqrt{200}, poder calcular “con lápiz y papel” y con dos decimales \sqrt{200}, entender mejor el concepto de raíz cuadrada, programar un algoritmo para su cálculo, resolver problemas donde aparezcan raíces cuadradas … Creo que cada una de estas alternativas puede llevarnos a un algoritmo diferente (y presionar una tecla de una calculadora es uno de esos algoritmos). Muchas gracias por su comentario.

  6. Bueno, alguien me debe Diez Euros, eso se enseña en México, pero yo estoy con el problema de encontrar o localizar, un método que encontre hace años en un libro de mediados del siglo pasado en España, donde sustituyendo valores en una ecuación algebraica, se podia realizar la raiz cuadrada de cualquier numero sin tanto rollo de la casita y toma aca y me llevo alla, mucho mas sencillo, solo habia que aprenderse la ecuación, pero la he perdido y lo necesito para este fin de semana, por favor si lo encuentran os lo agradecere aun que sea con una botella de vino, gracias.

    • Bueno, creo que no hace falta recurrir a un abogado para comprobar que no llegué a formalizar esa oferta …
      Por otra parte, si me hubiera decidido a hacerla seguramente habría incluido una restricción, y es que ese país donde se enseña tuviera algún tipo de indicador de buen desempeño educativo. Quede claro: tengo un gran respeto por México, tengo buenos amigos mejicanos, y he visitado el país varias veces (el DF, Guanajuato, Oaxaca, San Luis). Precisamente por eso sé que el sistema educativo de México tiene problemas muy profundos. Mi postura es que estoy convencido de que el algoritmo ha desaparecido de las aulas de todos los países que han entrado en el siglo XXI (y sí, en educación creo que España aún no lo ha hecho).
      Sobre el algoritmo: no, no sé nada al respecto. No soy un experto en algoritmos, y no me resulta familiar nada de lo que indica, pero si existiera algo de ese estilo me inclinaría a pensar que podría tratarse de alguna aproximación, quizá basada en un esquema tipo método de Newton.
      Muchas gracias por el comentario.

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