Proporcionalidad inversa

Se trata sin duda de uno de los conceptos mas escurridizos de la aritmética elemental. Cuando pregunto por el tema en clase al principio, los alumnos solo saben contestarme eso de “cuando una disminuye, la otra aumenta”. Pero si les pido detalles y les pregunto, por ejemplo, si el precio de un producto y su demanda son magnitudes inversamente proporcionales, ya que la demanda crece cuando el precio disminuye, entonces el silencio es total …

El primer problema que les planteo es el siguiente:

Un grupo de amigos hacen una excursión por el desierto y llevan reservas de agua para 12 días. Sin embargo, hace mas calor de lo normal, y beben el 50% mas de lo previsto. ¿Cuándo se les termina el agua?

Inmediatamente surge la respuesta de “6 días”. Pero entonces les planteo: bien, y si hubieran bebido el doble de lo previsto, ¿cuánto les habría durado el agua? Creo que es el momento del curso en el que el conflicto cognitivo es mas evidente en las miradas de la mayoría de los alumnos. Una vez que se dan cuenta de que 6 no puede ser la respuesta correcta, la siguiente propuesta suele ser 9, por aquello de “la mitad de la mitad” (está claro que nuestro cerebro es lineal). Hay que esperar unos minutos mas para que algún alumno dé con la respuesta correcta, normalmente con un argumento del tipo: “como beben el 50% mas, consumen en un día el agua que tenían previsto beber en 1,5 días. Por tanto, a los 8 días terminan el agua”.  Una de las cosas que mas me gustan de este ejemplo es que, al evitar darles una cantidad concreta, suelo conseguir que ni siquiera intenten recurrir a la regla de tres.

Reconozco que no es un tema sencillo, pero me parece simplemente terrible la forma en que es tratado en los textos que conozco. Y los problemas mas habituales, con pintores y demás, por supuesto enfocados a su resolución con la correspondiente regla de tres. Me parece que sería mucho mas útil centrar el estudio en las magnitudes físicas, que están estudiando en la asignatura correspondiente, y que además son mucho mas realistas que los ejemplos usuales: la velocidad y el tiempo en un movimiento rectilíneo uniforme, y la presión y el volumen de un gas a temperatura constante. Creo que desde el lado de la física las cosas no funcionan mucho mejor, a juzgar por las caras que observo al enunciar la Ley de Boyle-Mariotte en términos de proporcionalidad inversa. No he hecho una búsqueda exhaustiva, pero en el texto de 4º que tengo en casa lo que dice es que V y 1/P son magnitudes proporcionales. Vamos, el error habitual: tirar por el camino mas “sencillo” … que no lleva a ningún sitio. La proporcionalidad inversa es seguramente el concepto de las matemáticas básicas donde la interdisciplinariedad debería jugar un papel mas importante, por evidente y útil.

Mi objetivo final en este tema es que mis alumnos entiendan que si en un movimiento uniforme la velocidad aumenta el 20%, el tiempo de viaje no disminuye el 20% (los resultados en este punto, discretos, sigo dándole vueltas a cómo hacerlo mas comprensible).

Termino con dos problemas que me gustan especialmente. El primero, uno de esos problemas que aparecen en libros de aritmética clásica, y con los que nuestros alumnos encuentran bastantes dificultades, ya que se trata de razonar, y no de operar:

Una nave sale de Nápoles hacia Barcelona y hace su viaje en 30 días. Otra sale de Barcelona hacia Nápoles y hace el viaje en 20 días.
¿En qué punto del trayecto se encuentran? (Se supone, claro, que las dos naves van por la misma ruta y que cada una de ellas mantiene durante todo el viaje la misma velocidad).

Y el segundo, de cosecha propia, pensado para convencerles de que hay alternativas mejores que la regla de tres compuesta:

Una ciudad medieval dispone de provisiones para 6 meses. Justo antes de ser sitiados por un ejército enemigo, la cuarta parte de su población huye, y al verse sitiados deciden reducir la ración diaria a 2/3 de la prevista. ¿Cuánto tiempo les durarán las provisiones?

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