Uso y abuso de las fórmulas I – Áreas

Este verano las fórmulas han estado de moda. Primero, la de sostenibilidad de las pensiones; luego, la fórmula para el cálculo de las becas. Por supuesto, la reacción ante ellas ha sido la de siempre, en la línea con el aviso que cuentan los autores de libros de divulgación: con cada fórmula que aparezca en el libro perderás lectores. Las fórmulas no son más que un aspecto del lenguaje de las matemáticas, aunque es verdad que uno de los aspectos que puede resultar menos intuitivo. Sobre todo, si como con muchas otras cosas cometemos el error de introducir demasiadas y demasiado pronto, sin dedicarle el tiempo adecuado a la comprensión. Un tema en el que me parece que esto queda muy claro es en el cálculo de áreas, al final de primaria y durante la ESO. Voy a dedicar esta entrada a reflexionar sobre el uso de las fórmulas para el cálculo de áreas de figuras planas. Creo que todos los profesores de final de bachillerato, y primeros cursos universitarios nos hemos escandalizado ante alumnos que no recordaban fórmulas básicas. Me parece que la principal razón es que hay realmente demasiadas fórmulas, y que deberíamos pensar con cuidado cuáles son realmente necesarias.

Como primer ejemplo de fórmula superflua (bueno, más que superflua, diría perjudicial), pondría la del área de un polígono regular, en la figura.

area-n-gono

No se trata sólo de que la fórmula aparezca muchas veces sin justificación. Por mucho trabajo que nos tomemos en deducir la fórmula en clase, si después lo que hacemos al resolver los problemas es recurrir a la fórmula, lo que quedará en la cabeza de la mayoría de los alumnos será esa fórmula final (bueno, quedará durante un tiempo, claro, porque es un tipo de conocimiento que no integran en sus esquemas mentales, un conocimiento no significativo, y que la mayoría olvidarán un tiempo después). ¿Qué ventaja tiene esta fórmula sobre el hecho de que un polígono regular de n lados se puede descomponer en n triángulos iguales? Por el contrario, yo si le veo una ventaja a esta segunda opción: se inserta en cosas que ya se conocen, y permite repasar el área del triángulo cada vez que se resuelve un problema de esta forma. Se trata de un ejemplo de manual de aprendizaje significativo.

 ¿Y los trapecios? El otro día pregunté en mi clase de 3º de magisterio por el tema. Muy pocos, claramente por debajo del 10%, recordaban la fórmula para el área de un trapecio. De nuevo, una fórmula fácil de deducir pero, ¿merece la pena? ¿No es mucho mejor que se den cuenta de que un trapecio se descompone fácilmente en dos triángulos, ambos de altura h, uno con base b y otro con base a? En este caso, además, hacerlo así permite trabajar triángulos en posiciones “no usuales”, una fuente de problemas para muchos alumnos hasta bien avanzada la secundaria.

trapecioPero sin duda las fórmulas que primero eliminaría de las aulas son las de la longitud de un arco de circunferencia y el área de un sector circular.

sector-circular

¿Por qué? Pues porque cada vez que las usamos estamos desperdiciando una magnífica oportunidad de repasar el concepto de proporcionalidad. Peor aún, cada vez que las utilizamos estamos reforzando esa imagen de las matemáticas elementales como un conjunto de recetas y fórmulas arbitrarias, sin conexión entre sí, y estamos perdiendo una magnífica oportunidad de mostrar las matemáticas como lo que son: un conjunto coherente y unificado de principios, conceptos y relaciones, donde abundan las conexiones entre distintas áreas, y donde nada es porque sí. Adaptando el título del blog a el tema del cálculo de áreas, diría que lo que hace falta es más razonamiento y menos fórmulas.

Para terminar, voy a atreverme a hacer un resumen de las fórmulas que creo necesarias para el tema de figuras planas:

  • área de los paralelogramos y de los triángulos
  • longitud de la circunferencia y área del círculo

¿Olvido alguna?

Por supuesto, cuando pasamos al tema de volúmenes de sólidos y área de superficies la situación empeora. Revisaré este tema en una próxima entrada.

Esta entrada participa en la edición 4.123105 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Cifras y Teclas.

Las estaciones. Día y noche

Esta noche he hecho un vuelo transoceánico y, al mirar la pantalla de información del vuelo, donde se veían las zonas día/noche, me ha llamado la atención que, en lugar de las típicas fronteras de tipo sinusoidal, esta vez lo que se veía de noche era un rectángulo perfecto. La verdad, no lo había pensado nunca, y he tardado unos segundos en encontrar la explicación: ¡Claro, estamos justo en el equinoccio de otopo!
Me pregunto cuántos de los pasajeros se habrán dado cuenta y cuántos se habrán preocupado por la explicación. Pregunta retórica, claro, se de sobras que casi ninguno. Pero me parece que en este tema los educadores tenemos una buena cuota de responsabilidad: desde que un niño entra en el colegio en primaria, y hasta que sale del sistema educativo, en lugar de fomentar la curiosidad, el acostumbrarle a buscar el porqué de las cosas, lo que hacemos es anestesiarle esa curiosidad (por supuesto, estoy hablando en general).
Me he dado cuenta de que hace bastante que no escribo de interdisciplinariedad, y que el tema de las estaciones se presta perfectamente. ¿Habéis preguntado a alguien alguna vez el porqué de las estaciones? Los “buenos estudiantes”, en general, recuerdan que la razón no es la distancia entre la tierra y el sol, sino la inclinación con que los rayos solares llegan a la tierra. Ahora bien, si queremos rascar un poco más, y preguntamos por qué esa inclinación cambia a lo largo del año, la cosa se complica un poco más. Y me parece que es una idea para una actividad perfecta para secundaria, idealmente coordinada con la asignatura de tecnología, o la de ciencias, o la que se pueda. Creo que es tema a caballo entre las ciencias y la geometría (la gran olvidada de las matemáticas): el fenómeno es muy relevante en ciencias, por supuesto, pero la explicación es geometría pura. Me parece que es perfectamente posible que un grupo de alumnos construya un modelo sol-tierra, que vean cómo el ángulo con el que llegan los rayos del sol va cambiando cuando la tierra gira, que vean cómo eso afecta a los periodos día/noche, y que vean cómo se representan esas regiones del globo terráqueo en un planisferio. Una actividad que les podría hacer pensar bastante, y sin una sola cuenta …