La elusiva propiedad distributiva

Me sabe muy mal criticar a un profesor, pero creo que hasta que no reconozcamos todos en voz alta que tenemos un problema muy grave con la formación del profesorado, no habrá ninguna posibilidad de que comience a arreglarse. Acabo de recibir 3 whatsapp de mi hija  (3º de la ESO), que transcribo literalmente:

  • me acaba de decir mi profe que lo que se aplica al multiplicar dos monomios o polinomios no es la distributiva
  • que la distributiva solo tiene uno y esto tiene muchos multiplicadores
  • y yo en plan pero es la misma propiedad distributiva 😥

¿Qué hago ante esto? ¿Me atrevo a sugerirle a mi hija que se lance a preguntar mañana que entonces qué propiedad se está utilizando?

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El cálculo mental

Es difícil sobrevalorar la importancia del cálculo mental en la formación matemática de un alumno de primaria o de secundaria. Antes de entrar en detalles, tengo que dejar claro a qué me refiero con cálculo mental. No se trata de preguntar a un niño: ¿cuántas son 8 x 5? Y cuando conteste, a otro, ¿y si le restamos 7?, etc. El cálculo mental realmente formativo es el que requiere poner en juego propiedades numéricas para su ejecución. Supongamos por ejemplo que preguntamos: ¿cuántas son 12 x 7? Si no se está mínimamente acostumbrado al cálculo mental, la reacción natural será seguramente imitar mentalmente el algoritmo usual del papel. Pero hay una alternativa más natural: si el niño tiene claro que 12 x 7 son “12 veces 7”, como explicamos en la entrada sobre las tablas de multiplicar, es más sencillo pensar que “12 veces 7” son “10 veces 7 mas 2 veces 7”, es decir, 70 + 14 = 84. Podría exponer varios ejemplos más de trucos para hacer operaciones mentalmente de forma sencilla, pero no estoy proponiendo que al niño le enseñemos una lista de técnicas de cálculo mental. Lo realmente formativo es que el propio alumno vaya descubriendo este tipo de trucos, porque por el camino irá desarrollando lo que se suele conocer como sentido numérico. Algunos autores, para dejar claro que se están refiriendo a este tipo de cálculo mental, hablan de “cálculo pensado” o “cálculo inteligente”.

Merece la pena insistir en este punto: el objetivo es que el alumno desarrolle sus propias estrategias de cálculo, porque para ello tendrá que manejar de forma creativa las propiedades de los números. Lo ideal es que el cálculo mental con una operación empiece antes del aprendizaje del algoritmo tradicional, pues en caso contrario habrá que luchar contra la tendencia de querer imitar sin papel lo que ya sabemos hacer en el papel.

Veamos un momento qué ocurre con la propiedad distributiva: la propiedad dice que  (10+2) \times 7 = 10 \times 7 + 2 \times 7 y es la que hemos utilizado en el cálculo de 12 x 7 presentado en el primer párrafo. Por supuesto, no hace ninguna falta haber oído mencionar la propiedad distributiva para entender el cálculo anterior y, de hecho, la situación es la contraria: practicar y entender cálculos como el del primer párrafo es lo que nos ayuda a entender la propiedad distributiva. En lugar de practicar el cálculo mental, para interiorizar la propiedad distributiva, lo que se suele hacer en los libros de primaria es repetir mecánicamente esquemas de cálculo como el de la figura. ¿No es lo normal que, después de cosas como ésta, muchos niños piensen que las matemáticas son un conjunto de recetas mágicas y muchas veces sin ninguna utilidad?

Un último comentario: no voy a entrar en el tema de hasta dónde se debería calcular mentalmente. Básicamente, porque en este tema lo más importante es el camino, lo que se aprende mientras se practica el cálculo, y la importancia de hasta donde se llega es, desde mi punto de vista, relativa. Pero sí creo que nos sorprenderíamos de hasta donde llegarían los niños si le dedicaran al tipo de cálculo mental propuesto, digamos, el 10% del tiempo que le dedican en la actualidad a hacer cuentas rutinarias en el papel.