El área lateral del cono

Tengo pendiente una entrada sobre el problema del exceso de fórmulas en el cálculo de áreas y volúmenes de figuras tridimensionales, pero antes quiero presentar hoy un ejemplo que me parece perfecto para ilustrar la problemática: el cálculo del área lateral del cono. En todos los libros de secundaria que he visto (sí, también en los de Singapur), se despacha el tema con la conocida fórmula $A_l = \pi r g$ . Por supuesto que en algunos casos la fórmula se presenta con la correspondiente deducción, en tanto que en otros no. Pero cada vez estoy más convencido de que eso no es tan relevante en un caso como este. Por mucho cuidado que pongamos en deducir la fórmula, si luego los problemas se resuelven con la aplicación directa de la fórmula, lo que quedará para la gran mayoría de los alumnos será eso (bueno, realmente para una parte significativa de los alumnos quedará … nada, porque olvidarán esa fórmula pocas semanas después del examen correspondiente).

Por supuesto que en algunos casos hay que recurrir a la fórmula, no pretendo tener que deducir el volumen de la esfera cada vez que se presente el cálculo correspondiente. En esa próxima entrada que mencionaba antes lo que quiero es hacer una propuesta concreta del conjunto de fórmulas con el que creo que tendríamos que trabajar en este tema.

Pero el caso del área lateral del cono me parece un ejemplo perfecto en el que lo más formativo es prescindir de la fórmula. Cuando desarrollamos la superficie del cono, lo que se obtiene es un sector circular de radio la generatriz del cono, y del que para calcular su área solo necesitamos conocer el ángulo central. Este ángulo se puede obtener simplemente de igualar la longitud del arco de circunferencia del desarrollo con la circunferencia de la base del cono (en la figura). Por supuesto, la fórmula $A_l = \pi r g$ se obtiene simplemente calculando el valor del ángulo y sustituyéndolo en la fórmula del área del sector circular.

Me parece claro que la única ventaja del uso de la fórmula es la rapidez en la resolución del problema, y desde luego ese sería un factor decisivo si mi trabajo fuera hacer tales cálculos durante unas horas al día. Sin embargo, si de lo que se trata es de aprender geometría, creo que las ventajas del enfoque que prescinde de la fórmula son evidentes:

se trabaja el tema del desarrollo del cono. Un alumno que ha calculado un par de áreas laterales sin recurrir a la fórmula no volverá a tener dudas sobre qué se obtiene al desarrollar un cono.
se repasa el área del sector circular. Algún lector quizá objete que en este caso se está recurriendo a una fórmula, pero como escribí en la entrada anterior sobre el cálculo de áreas de figuras planas, esta es una de las fórmulas que no aparece en mi lista, porque se reduce a una aplicación de la proporcionalidad.
por último, y sobre todo, se deja claro que las matemáticas no son un conjunto de técnicas y fórmulas inconexas, sino una disciplina fuertemente interconectada. Aprender matemáticas es, en gran medida, entender esas conexiones.

Por supuesto, lo que me encuentro en mis alumnos de magisterio cuando les presento este enfoque es bastante resistencia. Llevan años acostumbrados a otra cosa. Pero creo que no me engaño al pensar que convenzo a una parte significativa de ellos de las ventajas de este enfoque. Una vez que se resignan a que tienen que entenderlo (en el problema correspondiente, les prohíbo explícitamente el uso de la fórmula), descubren que, al fin y al cabo, ¡no es tan difícil!

PAU en Madrid, junio de 2014. ¿Algo se mueve?

Tras las últimas entradas sobre las derivadas y la PAU, me parece natural hacer algún comentario sobre el examen de hoy en Madrid (si algún lector me envía exámenes de otras comunidades, estaré encantado de enlazarlos aquí). Me ha parecido un paso (quizá pequeño, pero seguramente lo más que se podía esperar) en la buena dirección. No hay grandes cálculos, y la comprensión conceptual tiene más peso que otras veces (o eso me parece). Quizá me equivoque, pero me ha parecido que a los alumnos no les parecía sencillo (nada sorprendente, seguramente era distinto de lo que se esperaban, de aquello para lo que habían estando entrenándose – creo que esa es la palabra adecuada, sí). Ahora solo falta que el mensaje cale en todas esas aulas donde se siguen calculando montones de derivadas y primitivas … porque hacen falta para selectividad.

Los libros de texto

Casi invariablemente, cuando surge este tema de conversación alguien pronuncia la frase «Un buen profesor no necesita un libro de texto». Es difícil discrepar, pero creo que se trata de una salida en falso al problema. Creo que la frase merece dos acotaciones:

Un «buen profesor». Es verdad que hay profesores y, en general, centros, que están haciendo un trabajo estupendo con una metodología que excluye los libros de texto. Sin embargo, creo que no es realista esperar que esto se convierta en la norma general del sistema escolar. Todos los esfuerzos que se hagan para mejorar la formación del profesorado redundarán en la calidad del sistema, pero inexorablemente el profesor medio será … medio.
«Necesita»: bueno, necesitar puede ser mucho decir, y es verdad que no es razonable que un profesor dependa completamente de un texto, y no tenga iniciativa para prescindir de él de vez en cuando. Los libros de texto son simplemente un recurso (eso sí, desde mi punto de vista el que debería ser más relevante).

En resumen, a «Un buen profesor no necesita un libro de texto» yo contestaría «Un buen libro de texto es un recurso valioso para cualquier profesor (y para todos los alumnos)».

Lo que me resulta más llamativo es que la frase con la que empezaba esta entrada se suele usar para quitarle importancia al problema de la falta de calidad de los libros de texto. Porque si en algo he encontrado una casi completa unanimidad al hablar de estos temas es que nuestros libros de texto, especialmente de primaria, dejan mucho que desear.

Una petición que he oído con frecuencia para intentar mejorar ese nivel es recuperar la autorización administrativa que era necesaria hasta 1998. La verdad, soy muy escéptico ante la posibilidad de que tal trámite tuviera algún impacto positivo. Richard Feynman, el famoso físico, participó en 1964 en la comisión del Estado de California encargada de elegir los libros de texto de matemáticas que se usarían en los colegios públicos del estado. Mi amigo Sergio Cabello me pasó la referencia de este texto (en inglés) en el que, con su divertido estilo, Feynman plasmó su experiencia como miembro de la comisión. Su lectura me parece recomendable y bastante reveladora.

¿Qué hacer entonces? Cuando hace ya tres años descubrí los libros de primaria de Singapur, que me llamaron la atención enseguida, dediqué cierto tiempo a intentar contactar con editoriales con la idea de hacer algo similar, o directamente de hacer una versión española de los textos. Por cierto, sé que el centro Felix Klein de Didáctica de las Matemáticas, de Chile, está haciendo una adaptación de los textos, pero no la conozco. La verdad es que alguna editorial (de las importantes) tomó la propuesta en consideración, pero la contestación final fue: «no lo vemos aquí, es demasiado distinto». Conseguí callarme la respuesta que se me habría escapado hace 20 años (¡pues claro que es distinto, es varios órdenes de magnitud mejor!) y me puse a considerar el enfoque posibilista, e intentar una versión que pudiera gustar a una editorial pero con un enfoque suficientemente distinto. Bastaron un par de conversaciones con autores con experiencia en esas lides para quitarme la idea de la cabeza. Decidí dedicar la energía que tendría que haber invertido en la lucha con la posible editorial en empezar a generar el material que quiero presentar hoy. ¿Que dónde acabará? De momento no lo sé, pero la investigación a la que le dedico el resto de mi tiempo de trabajo te prepara para todo. Muchas veces inviertes semanas en trabajar un problema. A veces sale, y a veces no …

El punto de vista con el que he hecho los libros (bueno, de momento medios libros) es pensar en qué me gustaría tener a mi si el próximo septiembre me tocara empezar a dar clase en 1º de primaria. Y lo que me gustaría es tener unas transparencias para proyectar en una pantalla, o en una pizarra digital, y poder presentar imágenes y hablar con los niños sobre ellas. La primera parte está casi lista, a falta de algún dibujo y una posible revisión cuando la comunidad de Madrid apruebe el nuevo currículo (aunque, desde luego, las tablas del 0 y el 1 no aparecerán en este texto!). Es aproximadamente la mitad del curso: transparencias parte A. Por supuesto, sé que no en todas las aulas hay pizarra digital o pantalla disponible, y he preparado una versión para papel (es en color, pero pensada para poder ser imprimida en blanco y negro, en ningún momento se hace referencia a «ese cuadrado azul»). También hay una guía para el maestro, con algunas indicaciones. Son indicaciones breves, quizá demasiado breves para algunos. Mi impresión general es que este tipo de cosas suelen ser demasiado extensas, y prefiero ser breve para resaltar las ideas fundamentales. Es posible que me haya excedido. Encantado de recibir opiniones de posibles usuarios en el correo masideas.menoscuentas de gmail. De hecho, si algún colegio de los alrededores de Madrid se planteara usar el material, podríamos organizar algún tipo de seminario. Por último, falta mencionar el cuaderno de ejercicios. Me parece muy importante que los niños puedan hacer los ejercicios sin tener que volver a copiar los enunciados, y de forma organizada. Es verdad que la lectoescritura es importante, y que requiere práctica. Pero el tiempo de matemáticas debería estar dedicado … a las matemáticas.

Termino con dos detalles: la versión completa estará lista antes de agosto y, por supuesto, para el curso 2015-2016 habrá libro de 2º …

Los datos de la Comunidad de Madrid sobre la PAU

Creo que uno de los grandes problemas de nuestro sistema educativo es la falta de datos fiables, y en general me inclino por que necesitamos más datos en casi todas partes. Pero lo único peor que no dar datos es dar datos que puedan generar incentivos perversos, y eso es lo que puede estar haciendo la Comunidad de Madrid con los datos de los institutos y la PAU (selectividad).

Ya de por sí puede ser cuestionable que los datos se publiquen sin ningún tipo de información sobre las características sociológicas del alumnado, que me parece imprescindible para poder hacerse una idea del valor añadido del centro, pero en el caso de la información sobre la PAU la cosa es bastante peor. Lo que se puede ver sobre un centro es un diagrama como el de la figura, donde se muestran las notas obtenidas en la PAU por los alumnos del centro y las notas medias de la comunidad (o los porcentajes de aprobados, o alguna otra variante).

No hace falta ser un experto en gestión educativa para darse cuenta de que estos datos pueden generar incentivos perversos. Si un centro está interesado en mejorar sus resultados, la tentación de subir el nivel de exigencia en 2º de Bachillerato, y que se presenten menos alumnos, pero mejor preparados, es muy, muy real. No tengo idea de si esto está pasando, pero lo frustrante es que sería realmente fácil de evitar: bastaría con presentar los datos completos, de alumnos matriculados en el centro, alumnos que superan 2º de Bachillerato, y luego los resultados de la PAU. Algunas veces, hacer las cosas mejor es realmente sencillo!

La derivada en 1º de Bachillerato (II)

Parece que está claro que el tema de cómo tratar la derivada en 1º de Bachillerato genera cierto debate. Me parece muy bien, siempre ha sido uno de los objetivos de este blog. Sigue en la lista una entrada sobre cómo se trata la introducción de la derivada en otros lugares, pero antes de eso me ha parecido conveniente aclarar los datos sobre uno de los argumentos más repetidos (no sólo en los comentarios, también siempre que hablo del tema con amigos profes). Se oye con bastante insistencia eso de que las derivadas se complican enseguida porque «es lo que les van a pedir en selectividad». Como digo, es una tarea que tenía pendiente, y este debate me ha decidido a vencer la pereza y lanzarme a ello. Estos son los ejercicios que involucran una derivada en las PAU de Madrid en los últimos cuatro años, aquellos a los que tengo fácil acceso en mi universidad.

Junio de 2010:
Opción A, ej. 4. Preguntan los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x) = \ln(x^2+4x-5)$ .
Septiembre de 2010:
Opción B, ej. 2. Preguntan representación e intervalos de concavidad de la función $f(x) = \displaystyle \frac{3x^2+5x-20}{x+5}$ .
Junio de 2011:
Opción A, ej. 3. Extremos absolutos de la función $f(x)=\sqrt{12-3x^2}$ .
Opción B, ej. 1. Para qué valor de a la función $\displaystyle f(x)=\frac{ax^4+1}{x^3}$ tiene un mínimo relativo en x=1. Para ese valor, encontrar los extremos absolutos.
Septiembre de 2011:
Opción A, ej. 1. Hallar el conjunto de puntos en los quela función $f(x)=\sqrt{x^2-9x+14}$ tiene derivada.
Junio de 2012:
Opción A, ej. 3. Dada $f(x)=x^3+ax^2+bx +c$ , hallar a, b y c para que f alcance en x=1 un mínimo relativo y tenga en x=3 un punto de inflexión.
Opción B, ej. 1. Dada $\displaystyle g(x)=(\ln x)^x$, calcula g'(e).
Septiembre de 2012:
Opción A, ej. 1. Dada la función definida a trozos $f(x)=3x+A$ si $x\leq 3$ y $f(x)=-4+10x-x^2$ si $x>3$ , halla los puntos en que la derivada se anula y los extremos absolutos en el intervalo [4,8].
Opción B, ej. 2. Calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f(x)=x^2 \sin x$ (en un punto dado).
Junio de 2013:
Opción A, ej. 3. Ecuación de la recta tangente en un punto a la gráfica de $\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{(x-3)^2}$ .
Opción B, ej. 1. Extremos absolutos y puntos de inflexión de $f(x)=2\cos^2 x$ en el intervalo $[-\pi/2,\pi/2]$ .
Septiembre de 2013:
Opción A, ej. 1. Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $\displaystyle f(x) = \frac{4}{x-4}+\frac{27}{2x+2}$ .
Opción B, ej. 3. Ecuación de la recta tangente en un punto a la gráfica de $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x^2+1}$ .

Mi conclusión es clara: la mayoría de los ejercicios de cálculo de derivadas que he visto en el cuaderno de mi hija tras dos semanas de derivadas en 1º de Bachillerato son más complicados que los que aparecen en la PAU. Insisto: ya sé que la intención es la mejor, y por supuesto no tengo claro cómo de generalizado está este enfoque, pero todo me hace pensar que no vamos por buen camino. Y, por supuesto, tampoco estoy diciendo que este problema sea específico del bachillerato. En la Universidad, en muchos aspectos, caemos en el mismo tipo de errores.

Más ideas, menos cuentas. Un blog sobre educación matemática.

Archivos mensuales de junio 2014