La derivada en 1º de Bachillerato (II)

Parece que está claro que el tema de cómo tratar la derivada en 1º de Bachillerato genera cierto debate. Me parece muy bien, siempre ha sido uno de los objetivos de este blog. Sigue en la lista una entrada sobre cómo se trata la introducción de la derivada en otros lugares, pero antes de eso me ha parecido conveniente aclarar los datos sobre uno de los argumentos más repetidos (no sólo en los comentarios, también siempre que hablo del tema con amigos profes). Se oye con bastante insistencia eso de que las derivadas se complican enseguida porque “es lo que les van a pedir en selectividad”. Como digo, es una tarea que tenía pendiente, y este debate me ha decidido a vencer la pereza y lanzarme a ello. Estos son los ejercicios que involucran una derivada en las PAU de Madrid en los últimos cuatro años, aquellos a los que tengo fácil acceso en mi universidad.

  • Junio de 2010:
    Opción A, ej. 4. Preguntan los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) = \ln(x^2+4x-5).
  • Septiembre de 2010:
    Opción B, ej. 2. Preguntan representación e intervalos de concavidad de la función  f(x) = \displaystyle \frac{3x^2+5x-20}{x+5}.
  • Junio  de 2011:
    Opción A, ej. 3. Extremos absolutos de la función f(x)=\sqrt{12-3x^2}.
    Opción B, ej. 1. Para qué valor de a la función \displaystyle f(x)=\frac{ax^4+1}{x^3} tiene un mínimo relativo en x=1. Para ese valor, encontrar los extremos absolutos.
  • Septiembre de 2011:
    Opción A, ej. 1. Hallar el conjunto de puntos en los quela función f(x)=\sqrt{x^2-9x+14} tiene derivada.
  • Junio de 2012:
    Opción A, ej. 3. Dada f(x)=x^3+ax^2+bx +c, hallar a, b y c para que f alcance en x=1 un mínimo relativo y tenga en x=3 un punto de inflexión.
    Opción B, ej. 1. Dada $\displaystyle g(x)=(\ln x)^x$, calcula g'(e).
  • Septiembre de 2012:
    Opción A, ej. 1. Dada la función definida a trozos f(x)=3x+A si x\leq 3 y f(x)=-4+10x-x^2 si x>3, halla los puntos en que la derivada se anula y los extremos absolutos en el intervalo  [4,8].
    Opción B, ej. 2. Calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de f(x)=x^2 \sin x (en un punto dado).
  • Junio de 2013:
    Opción A, ej. 3. Ecuación de la recta tangente en un punto a la gráfica de \displaystyle f(x)=\frac{x^3}{(x-3)^2}.
    Opción B, ej. 1. Extremos absolutos y puntos de inflexión de f(x)=2\cos^2 x en el intervalo [-\pi/2,\pi/2].
  • Septiembre de 2013:
    Opción A, ej. 1. Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función \displaystyle f(x) = \frac{4}{x-4}+\frac{27}{2x+2}.
    Opción B, ej. 3. Ecuación de la recta tangente en un punto a la gráfica de \displaystyle f(x) = \frac{x}{x^2+1}.

Mi conclusión es clara: la mayoría de los ejercicios de cálculo de derivadas que he visto en el cuaderno de mi hija tras dos semanas de derivadas en 1º de Bachillerato son más complicados que los que aparecen en la PAU. Insisto: ya sé que la intención es la mejor, y por supuesto no tengo claro cómo de generalizado está este enfoque, pero todo me hace pensar que no vamos por buen camino. Y, por supuesto, tampoco estoy diciendo que este problema sea específico del bachillerato. En la Universidad, en muchos aspectos, caemos en el mismo tipo de errores.

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12 pensamientos en “La derivada en 1º de Bachillerato (II)

  1. A mí, el problema grave no me parece que esté en la laboriosidad o no de las derivadas que haya que hacer… el problema está en que no se entienda lo que implica derivar o integrar.
    Piensa en cuantos alumnos que hayan estudiado física pueden entender realmente que dada la distancia recorrida en función de la velocidad inicial, la aceleración y el tiempo, pueden deducir la de velocidad instantánea. O al revés.

    • Pues en el fondo es verdad lo que dices, pero tengo que hacer dos matices que me parecen relevantes:
      – hacer cálculos complicados (y mucho más si es demasiado pronto) puede hacer que muchos alumnos se desanimen, que sientan que no pueden con las mates …
      – el tiempo es un bien escaso, y todo lo que le dediquemos a calcular lo estaremos quitando de esas otras cosas que tan poco se cuidan, y que son las realmente importantes.

  2. En cierto modo las derivadas de funciones encadenadas hasta el infinito juegan el mismo papel que los tradicionales “castillos” de fracciones, las ecuaciones con denominadores desorbitados, las raíces cuadradas de números con muchas cifras (hechas mediante el consabido algoritmo) o cualquier otro mecanismo que implique ser meticuloso (y poco más): supone la asunción por parte del profesor de que no va a llegar más allá en la comprensión de los conceptos y que solo puede conseguir un grado satisfactorio de imitación del razonamiento.
    Mi duda consiste en si esta asunción se produce con la experiencia frustrante de muchos años de fracasar en el empeño o si hay profesores que ya comienzan por darse por derrotados y evitan las actividades que necesiten de la comprensión profunda de los conceptos. Lo que tengo claro es que para todo no hay tiempo.

    • Completamente de acuerdo, esas prácticas que mencionas, y otras por el estilo, forman parte del mismo patrón. Lo que no está claro es en cuántas aulas “reinan”, y menos las razones del profesorado. Pero cada vez tengo más claro que esto es un ingrediente básico en la explicación de los problemas de nuestro sistema educativo: fracaso escolar, abandono temprano, problemas de formación de muchos estudiantes al llegar a la universidad … Y también de acuerdo con que no hay tiempo para todo. Lo que creo que habría que hacer (y lo que veo que hacen en otros países que he mirado) es pensar con cuidado hasta dónde llegar en la complejidad de los cálculos, desde luego simplificarlos con respecto a lo que se ve por aquí en demasiadas aulas, y dedicar ese tiempo sobrante a la comprensión de los conceptos, la resolución de problemas, etc.

  3. Pues puedo estar equivocada, pero tengo la sensación de que esas prácticas reinan en bastantes aulas. ¿Razones? Imagino que muchas y variadas, aunque ahí van algunas que se me ocurren: falta de herramientas y de seguridad en sí mismos de muchos profesores para abordar cosas distintas (¿alguien sabe qué porcentaje de profesores de matemáticas en España son matemáticos?), inercia, miedo a tener problemas o directamente pereza… y un alejamiento de la realidad de lo que realmente necesita la sociedad en cuanto a la formación de nuestros ciudadanos, sea por ignorancia o por desidia. Espero no resultar despreciativa o demasiado negativa, pero no percibo que en los institutos se discuta mucho sobre qué enseñar y cómo, sino más bien de cómo eludir problemas o dificultades. Afortunadamente existen islas como este blog (enhorabuena) que muestran que hay gente que sí reflexiona sobre el asunto, pero me temo que somos minoría.

    • Muchas gracias por el comentario. Mi impresión es que los factores que menciona tienen su peso, la cuestión es en qué medida la situación es reversible, o cómo se puede luchar contra ello. El tema de la formación en matemáticas también lo tengo muy presente. En una reunión sobre el máster de secundaria tuve ocasión de preguntárselo al entonces subdirector general de profesorado, y confesó que nadie tenía ese dato …

      • ¿Nadie tiene ese dato? Será porque no quieren, porque cuando se accede a la administración, ya sea como funcionario o como interino hay que presentar la titulación, y supongo que lo mismo sucederá en los centros privados. Parece que a la administración no le preocupa mucho la formación matemática de sus profesores.

      • Podrían tenerlo, de eso no hay duda. Pero la respuesta me dejó pocas dudas de que no lo tienen. Sobre el porqué no lo tienen, ah! ahí ya entramos en el resbaladizo terreno de las especulaciones … Es posible que alguna comunidad autónoma los tenga (aunque me sorprendería).

    • Hola, he entrado por casualidad en esta espacio y no puedo menos que entrar al trapo de tu comentario. Pertenezco al grupo de personas a las que en tu comentario te refieres. Aunque no lo hago en la actualidad, he impartido clase en centros de enseñanza oficiales, he trabajado con buenos profesores y no “tan buenos” ¿Qué es para mí un buen profesor? Pues para mí, fundamentalmente es un buen comunicador, se puede “saber pero no transmitir”, y hay mucho de esto último, profesores que hacen de una asignatura tan bella algo “difícil de digerir”, profesores que con su rigurosidad matemática en lugar de acercar, alejan y hacen incomprensible este mundo, para mí mágico, y de esto, pecan muchos profesores a los que tú defiendes. Es primordial primero empatizar para poder comunicar, no crees?
      Un saludo
      Mila

      • Lo primero, bienvenida al debate.
        No estoy seguro, pero creo entender que te refieres a que los matemáticos (precisando, los titulados en matemáticas) pecan/pecamos muchas veces de dar una visión demasiado abstracta, y alejada del estudiante promedio. Si te refieres a eso, estoy completamente de acuerdo.
        No tiene sentido priorizar contenidos frente a metodología, ni conocimientos frente a capacidad de transmitir. Sencillamente, hacen falta las dos cosas.

  4. Sr. Ramos, llego tarde tanto a ésta discusión como a éste blog.

    Me permito hacer un par de observaciones:

    La complejidad de los cálculos requeridos en un examen de selectividad no me parece un criterio adecuado para valorar el grado de dificultad de las tareas encomendadas a los alumnos de bachillerato. Hay un detalle que contamina la discusión: la bajada de la natalidad. Ante la merma constante de aspirantes a ingreso a la universidad se impone la necesidad de articular exámenes de selectividad que no seleccione y que dejen pasar a todos. Si las cohortes de alumnos se duplican de la noche para la mañana y en consecuencia se endurecen las PAU para seleccionar un poco al personal entonces qué haremos, ¿pedir cálculos más difíciles? No pretendo acusar a nadie y menos a vd. pero creo que debería tenerse en cuenta que una institución que necesita alumnos para sobrevivir los va a buscar donde sea necesario.

    En todo lo demás estamos de acuerdo por simple pragmatismo: qué podemos hacer con el tiempo disponible buscando siempre un sano equilibrio. Buscar éste sano equilibrio se me antoja una empresa demasiado complicada para una sola persona; se necesitaría un batallón de matemáticos, psicólogos y estadísticos para pulir el asunto convenientemente. Estoy convencido de que el abuso del diseño espiral de los programas de estudio españoles introduce un alto grado de ineficiencia en el sistema (los chinos, por ejemplo, no suelen repetir contenidos del curso anterior) pero puedo estar equivocado y que las recetas chinas no sean las adecuadas para nuestro país. ¿Cómo lo demuestro si no tengo capacidad para persuadir a mis compañeros de departamento?

    • Muchas gracias por su comentario.
      Sobre la dificultad de los cálculos, la dirección de mi queja es que me parece que cada vez mas en 2º de Bachillerato el tema de derivadas se reduce al cálculo formal, cuando creo que se debería reducir esa parte para poder dedicar tiempo a problemas mas conceptuales.
      No estoy del todo de acuerdo en el detalle de la simplificación para “captar alumnos”: desde que recuerdo, e hice la selectividad hace ya 30 años, el porcentaje de aprobados siempre fue al menos del 90%. Siempre ha sido, sencillamente, una demanda social.
      Sobre el problema del aprendizaje en espiral, totalmente de acuerdo. Cada vez estoy mas convencido de que es uno de los problemas de fondo de nuestro currículo. En Singapur (que ya me atrevo a decir que conozco bastante bien) tampoco repiten, lo que les deja el tiempo necesario para ver las cosas con la calma suficiente. Luego repasan los conceptos fundamentales, por supuesto. Pero repasar no es lo mismo que “volver a ver”. Justo hoy tratamos este tema en el máster de formación del profesorado, donde a mis alumnos les doy algún texto de Singapur para que lo comparen con los nuestros, y casi siempre lo que mas les llama la atención es ese detalle: que ven las cosas “de una vez”.

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