Un cucurucho de pepitas de oro

Imagina que te dan un círculo de cartulina de radio 10 cm y te dicen que te llenarán con pepitas de oro el cucurucho que consigas hacer con la cartulina. ¿Cómo debería ser el cucurucho?

Me parece que este problema tiene todas las características de un buen problema: es natural, el enunciado es fácil de entender, la solución no es nada evidente “a primera vista” pero se puede obtener con los métodos de la ESO (bueno, si nos ayudamos de un software que represente la función volumen que se obtiene, y que nos permita obtener de forma aproximada el máximo de la función). Puede incluso plantearse, a nivel puramente manipulativo, al final de primaria.

Y es que los conos son cuerpos bastante aburridos si nos limitamos a calcular volúmenes y superficies con las fórmulas estándar, pero mucho mas interesantes si en lo que respecta a las fórmulas nos limitamos a la del volumen, y nos planteamos luego problemas basados en las relaciones entre el objeto tridimensional y su desarrollo plano, como ya comenté en esta entrada.

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La enseñanza y la realidad

Hoy le he lanzado esta pregunta a mis hijas en la comida: ¿qué es lo mas interesante que has aprendido hoy en el instituto? La mayor (2º de Bachillerato) hasta se la ha tomado en serio, ha reflexionado unos segundos, y ha contestado: “Cómo se hacen las leyes”. Hace el Bachillerato de Ciencias de la Salud, y no ha hecho falta preguntar para que se diera cuenta de que se echaba de menos algún detalle adicional, así que ha añadido: ha sido en Lengua, a cuento del comentario de textos jurídicos.

Mi moraleja es clara: intentar acercarse a la realidad, al menos de vez en cuando, es de lo mas recomendable (y no solo en matemáticas). No sé en qué medida lo consigo, pero lo intento.

Un examen de 4º de ESO

Antes de enseñar el examen en cuestión, unas notas aclaratorias:

Esta entrada no es, en absoluto, un “desahogo de un padre enfadado”. Mi hija ya pasó los cursos mas difíciles, y trabaja razonablemente. Además, claro, tiene en casa ayuda cuando la necesita. De manera que su único problema es que tiene un poco mas difícil – que no imposible – llegar al sobresaliente, que es su objetivo.

Tampoco se trata de lanzarse al deporte de “criticar al profesor”. No conozco personalmente a su profesora, pero estoy convencido de que me encontaría con un perfil similar al que ya he comentado en alguna ocasión: una persona trabajadora, y convencida de que hace lo que puede, dada la formación que tienen sus alumnos, los requerimientos del programa, etc. Algún comentario me ha llegado en la dirección de que pone muchas cosas en el examen para que todo el mundo pueda hacer algo … El problema de fondo aquí, claro, es el aislamiento en que vive una buena parte del profesorado. Y en este punto me parece que las responsabilidades están bastante repartidas: la administración no cuida la formación continua lo que debería, es verdad, pero en estos tiempos cualquier interesado tiene a su alcance experiencias, materiales y puntos de vista distintos: no necesariamente mejores, pero adecuados para promover la reflexión.

Por último, es evidente que se trata solo de “evidencia anecdótica”. No tengo ni idea de lo extendido que está este enfoque en nuestras aulas. El problema es que ¡nadie lo sabe! Estoy intentando arrancar un estudio (anónimo, y con selección aleatoria de aulas) pero de momento sin éxito. No me he dado por vencido …

Para terminar, un dato relevante es, claro, el tiempo dedicado al examen: 1 h 20 minutos. Supongo que un día venceré la pereza y lo haré completo; de momento la opinión que tengo es solo “de primera vista”. Y prefiero reservarla, por ahora, para escuchar antes las vuestras.

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Técnicas versus conceptos

La conferencia de clausura de la jornada sobre innovación que mencioné en la entrada anterior fue impartida por Michèle Artigue. No la conocía (soy un recién llegado al campo de la educación matemática) pero se trata sin duda de una primera figura a nivel internacional. Recientemente ha recibido nada menos que el premio Felix Klein en el año 2013 y la medalla Luis Santaló en el año 2014, dos de las distinciones mas importantes en el área.

La primera parte de su conferencia la dedicó a presentar unos materiales sobre los que estaban trabajando. Me parecieron interesantes. La idea era modelar con Geogebra problemas de persecución. Ahora no encuentro una referencia, pero cuando la consiga volveré a hablar sobre este tema.

Después su conferencia se deslizó hacia aspectos mas abstractos de la didáctica. Antes de seguir, una aclaración preventiva: no pretendo cuestionar el interés de esta didáctica mas abstracta. Lo único que digo es que demasiadas veces peca de excesivamente académica, y alejada de la realidad de las aulas y que, por tanto, puede no resultar del todo accesible e interesante para el profesor de a pie. Este problema no es, desde luego, exclusivo de la didáctica. De hecho, creo que los matemáticos caemos en este error con bastante frecuencia. Para dar un ejemplo en el que he caído personalmente, empeñarse en hablar de epsilones y deltas – o del Teorema de Bolzano – a futuros ingenieros. Y también ocurre en otras áreas alejadas de las matemáticas. La mas prominente me parece el bombardeo de análisis sintáctico y morfológico en los estudios de Lengua de nuestra secundaria.

Total: que en esos aspectos abstractos de la didáctica me perdí completamente, y estuve distraído unos minutos hasta que escuché una expresión ya oída, la teoría antropológica de lo didáctico. Ya me había topado con la etiqueta en alguno texto, sin llegar a entender casi nada, así que intenté concentrarme de nuevo en la conferencia, para ver si conseguía sacar alguna idea en claro. Nuevo fracaso: la jerga me resulta incomprensible. Si algún lector sabe algo del tema, y puede expicar en qué consiste en lenguaje accesible a profanos, le estaré sinceramente agradecido.

De manera que nuevos minutos de distracción, hasta que escuché una frase, pronunciada con total convicción. que captó de nuevo mi atención. Creo que, textualmente (habla un castellano bastante correcto), Artigue dijo: “Pensar que, gracias a las TIC, podemos prescindir de las técnicas y centrarnos en el estudio de los conceptos es un profundo error”. Es una frase que suscribo completamente, pero se trata solo de la entrada al problema, claro. Es una pena que no hubiera tiempo para profundizar en el tema (era ya el final de la conferencia, no hubo turno de preguntas, y la reunión terminaba justo entonces) porque me parece una de las grandes cuestiones de la educación matemática en nuestros días.

Desde mi punto de vista, la clave es que existe una fuerte relación entre algunas técnicas y los conceptos. Dicho de otra forma: para comprender de forma adecuada ciertos conceptos es importante adquirir cierta soltura técnica. Ahora bien, creo que es crucial entrar en el detalle. Por poner un ejemplo sencillo: estoy de acuerdo en que hacer divisiones es importante para comprender los problemas de reparto y, en general, para adquirir sentido numérico. Ahora bien, si el valor fundamental del cálculo de divisiones es éste, es muy posible que tengamos que revisar cómo hacer las divisiones, y qué divisiones hacer. Por una razón muy sencilla: el algoritmo tradicional de la división se diseñó con un objetivo muy distinto, que no es otro que poder hacer divisiones exactas con enteros grandes. Si este objetivo ha quedado obsoleto (personalmente, creo que sí), es muy posible que el algoritmo tradicional haya quedado también obsoleto. Revisar los currículos con esta idea en la cabeza puede ser una tarea apasionante. Si hubiera que hacer un concurso sobre el algoritmo mas caduco, por superfluo a la hora de ayudar a la comprensión conceptual, mi voto creo que sería para la Regla de Ruffini. ¿Y el suyo?