El área lateral del cono

Tengo pendiente una entrada sobre el problema del exceso de fórmulas en el cálculo de áreas y volúmenes de figuras tridimensionales, pero antes quiero presentar hoy un ejemplo que me parece perfecto para ilustrar la problemática: el cálculo del área lateral del cono. En todos los libros de secundaria que he visto (sí, también en los de Singapur), se despacha el tema con la conocida fórmula A_l = \pi r g. Por supuesto que en algunos casos la fórmula se presenta con la correspondiente deducción, en tanto que en otros no. Pero cada vez estoy más convencido de que eso no es tan relevante en un caso como este. Por mucho cuidado que pongamos en deducir la fórmula, si luego los problemas se resuelven con la aplicación directa de la fórmula, lo que quedará para la gran mayoría de los alumnos será eso (bueno, realmente para una parte significativa de los alumnos quedará … nada, porque olvidarán esa fórmula pocas semanas después del examen correspondiente).

Por supuesto que en algunos casos hay que recurrir a la fórmula, no pretendo tener que deducir el volumen de la esfera cada vez que se presente el cálculo correspondiente. En esa próxima entrada que mencionaba antes lo que quiero es hacer una propuesta concreta del conjunto de fórmulas con el que creo que tendríamos que trabajar en este tema.

Pero el caso del área lateral del cono me parece un ejemplo perfecto en el que lo más formativo es prescindir de la fórmula. Cuando desarrollamos la superficie del cono, lo que se obtiene es un sector circular de radio la generatriz del cono, y del que para calcular su área solo necesitamos conocer el ángulo central. Este ángulo se puede obtener simplemente de igualar la longitud del arco de circunferencia del desarrollo con la circunferencia de la base del cono (en la figura). Por supuesto, la fórmula A_l = \pi r g se obtiene simplemente calculando el valor del ángulo y sustituyéndolo en la fórmula del área del sector circular.

cono

Me parece claro que la única ventaja del uso de la fórmula es la rapidez en la resolución del problema, y desde luego ese sería un factor decisivo si mi trabajo fuera hacer tales cálculos durante unas horas al día. Sin embargo, si de lo que se trata es de aprender geometría, creo que las ventajas del enfoque que prescinde de la fórmula son evidentes:

  • se trabaja el tema del desarrollo del cono. Un alumno que ha calculado un par de áreas laterales sin recurrir a la fórmula no volverá a tener dudas sobre qué se obtiene al desarrollar un cono.
  • se repasa el área del sector circular. Algún lector quizá objete que en este caso se está recurriendo a una fórmula, pero como escribí en la entrada anterior sobre el cálculo de áreas de figuras planas, esta es una de las fórmulas que no aparece en mi lista, porque se reduce a una aplicación de la proporcionalidad.
  • por último, y sobre todo, se deja claro que las matemáticas no son un conjunto de técnicas y fórmulas inconexas, sino una disciplina fuertemente interconectada. Aprender matemáticas es, en gran medida, entender esas conexiones.

Por supuesto, lo que me encuentro en mis alumnos de magisterio cuando les presento este enfoque es bastante resistencia. Llevan años acostumbrados a otra cosa. Pero creo que no me engaño al pensar que convenzo a una parte significativa de ellos de las ventajas de este enfoque. Una vez que se resignan a que tienen que entenderlo (en el problema correspondiente, les prohíbo explícitamente el uso de la fórmula), descubren que, al fin y al cabo, ¡no es tan difícil!

 

 

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10 pensamientos en “El área lateral del cono

  1. Yo soy de los culpables de explicar la fórmula pero no volver a reproducir el razonamiento en los ejercicios/problemas. He de decir que la (poca) geometría 3D de 2º de ESO es un tanto aburrida (para el profesor) debido a que hay contenidos que no se pueden explicar adecuadamente y a que hay pocos razonamientos puramente tridimensionales: en casi todos los problemas hay que considerar un problema plano que surge al considerar o bien dos segmentos concurrentes, o bien dos rectas…
    Por otro lado, piensa en el lugar que ocupan esos contenidos en el curriculum: ¿se vuelven a utilizar, en Matemáticas o en otras materias? Con suerte aparecerá algún problema de optimización en 1º o 2º de bachillerato en el que haya que trabajar con un cono, una esfera o un cilindro. Por aquel entonces aplicar la fórmula del volumen será suficiente…

    • Y yo también lo haría en tu situación, supongo. No pretendo criticar la labor del profesor, sino reflexionar exactamente sobre los temas que planteas: qué lugar ocupan estos contenidos en el currículo, cómo los contenidos no se reutilizan y por tanto se olvidan, y ese tipo de cosas. Creo que todos nos sorprenderíamos si preguntáramos a estudiantes que están terminando Matemáticas II por el área de un sector circular (sin haber repasado el tema antes, claro).
      Pero me parece especialmente interesante esta frase: “hay contenidos que no se pueden explicar adecuadamente”. Estoy de acuerdo, por supuesto. Pero lo que habría que hacer con los contenidos que no se pueden explicar adecuadamente es eliminarlos del currículo!

      • Totalmente de acuerdo con la última frase.Pero es que precisamente en la geometría de 2º y 3º de la ESO se pueden explicar y razonar adecuadamente todos los contenidos, sólo hace falta tener las herramientas adecuadas (y no me refiero a máquinas, no).

      • No me voy a quedar con la curiosidad. Entiendo que te refieres a materiales para el aula, ¿correcto? Porque la falta de tiempo no me parece clasificable como herramienta 🙂

  2. Bueno, me refería sobre todo a la capacidad y a las ganas del profesor, aunque ciertos materiales también ayudan, claro. Pero por lo que veo y oigo no estoy segura de que siempre haya una voluntad por demostrar y deducir, que es algo que no tiene por qué ser sólo para los muy inteligentes, precisamente las demostraciones geométricas en estos niveles son visuales e intuitivas, y creo que son una forma magnífica de introducir a los alumnos en lo que es una demostración o deducción lógica. Y cosas como el área del círculo por el método exhaustivo van preparando la cabeza para entender el concepto de límite. La falta de tiempo está ahí, pero ya se hablado aquí de que no parece faltar tiempo para cuentas y algoritmos repetitivos que no sé si son tan necesarios. Un saludo.

    • Pues te agradezco de verdad la aclaración, porque me parece muy interesante (y la suscribo al 100%). Yo añadiría a tu arranque sobre capacidad y ganas también la idea de qué son las matemáticas de algunos profesores. Este aspecto me pilla muy sensible, tras una interesante (sin ironía) conversación que he tenido esta misma mañana con la profesora de matemáticas de mi hija. Pero no quiero escribir sobre ello en caliente, y no sé si me atreveré a hacerlo en frío. Gracias de nuevo por el comentario.

  3. Además de los argumentos expuestos, con los que coincido, en relación a la inconveniencia de presentar esta fórmula a los alumnos, sumo otro. La belleza de esta fórmula deriva de su simplicidad pero ésta no se puede apreciar si no se compara con el cálculo del área del cono cuando no se dispone de esa fórmula.

    • Estoy de acuerdo, y tu comentario señala un matiz que por desgracia veo ahora mismo muy, muy lejano. ¿Cómo conseguir que nuestros alumnos tengan la oportunidad de poder apreciar la belleza de las matemáticas? El cambio debe ser muy profundo.

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