Las fracciones

Las fracciones son sin duda uno de los escollos fundamentales en el aprendizaje de las matemáticas elementales. Desde mi punto de vista, hay dos tipos de razones para ello:

  • la mayor parte del tiempo se dedica a la aritmética, a las cuentas, sin prestar suficiente atención a los conceptos involucrados. Esto hace que los alumnos, en el mejor de los casos, hagan correctamente las cuentas, pero en demasiadas ocasiones no sepan interpretarlas. En otros muchos casos, por supuesto, el no entender el sentido de las operaciones abre la puerta a todo tipo de errores.
  • el concepto de fracción no es sencillo de presentar ni de entender. En particular, una fracción, desde el punto de vista elemental, tiene las tres interpretaciones de la figura:
    1. una parte de un objeto. En la figura (1), están pintados de verde los 3/5 de una barra.
    2. la solución a un problema de reparto: si tenemos 3 chocolatinas y las queremos repartir entre cinco niños, por igual, a cada niño le toca 3/5 de chocolatina.
    3. un punto de la recta numérica (es decir, un número racional).

La interpretación (1) es seguramente la más indicada para el primer contacto (en algunos países, este primer contacto se produce ya en el primer ciclo, y en todos los que he visto en el segundo ciclo). Este primer contacto no incluye la aritmética, ni siquiera una introducción. Pero cuando se inicia el estudio más sistemático de las fracciones, en el tercer ciclo de primaria (y en cursos equivalentes en la mayoría de los países que he mirado  – cursos K 5 y 6), es esencial que se entiendan estas tres interpretaciones de una fracción. Si uno se para a pensarlo, la equivalencia de la interpretación (2) con la (1) no es tan evidente para un niño que se enfrenta al problema por primera vez. Creo que la mejor forma de presentarla es la sugerida en la figura: dividimos cada chocolatina en 5 partes iguales, y le damos una a cada niño.

Pero además de entender las tres posibles interpretaciones, se debería elegir una básica, para dar una definición de fracción y para, sobre todo, darle sentido a la aritmética. Desde mi punto de vista, la representación (3) es la más adecuada. Esta podría ser una definición:

Def: La fracción p/q representa el siguiente punto de la recta numérica:  tomamos el intervalo (0,1) y lo dividimos en q partes iguales. Ahora, contamos desde el cero p de esas partes.

De acuerdo: admito que esta opción no pasa la prueba de ser formalmente válida a los ojos de un matemático. Pero creo que este es uno de los puntos clave de lo que empecé a llamar en la entrada anterior Matemáticas para la docencia: el rigor y el formalismo que se extendieron por las matemáticas desde finales del siglo XIX (y que tan buenos resultados ha dado desde muchos puntos de vista) no deberían convertirse en un obstáculo para la enseñanza de las matemáticas básicas. En particular, en enseñanza primaria y secundaria, lo ideal sería encontrar el correcto equilibrio entre rigor – que no rigorismo – y el uso adecuado de los conceptos elementales intuitivos.

Estas son las principales ventajas de tomar la opción (3) como la fundamental para el estudio de las fracciones:

  1. la fracción se ve, desde el primer momento, como “un número más”. Nos evitaríamos así el problema que creo que todos hemos visto, del estudiante que, ante la solución 3/5 de un problema, no queda satisfecho, y sólo da el problema como resuelto “de verdad” si escribimos 0’6.
  2. el concepto de fracción equivalente se introduce sin ninguna dificultad. Dos fracciones son equivalentes cuando representan el mismo punto. Llegar a la comprobación algebraica sería un segundo paso, que se trabajaría con ejercicios.
  3. los problemas de comparar fracciones, o estimarlas, o expresarlas como números mixtos, pasan a ser más intuitivos, al poderse visualizar en el mismo entorno que los números ya conocidos.
  4. por último, y más importante, la aritmética de las fracciones se ve, desde el primer momento, como una extensión de la aritmética conocida. De la misma forma que la suma 2+3 se visualiza en la recta numérica yuxtaponiendo los segmentos que representan al 2 y al 3, se le puede plantear al niño el problema de sumar 3/5 y 1/2. Y cuando hablo del “problema” estoy diciendo, por supuesto, que lo propondría sin hablar antes de comunes denominadores, ni nada por el estilo. El niño, con la ayuda de papel cuadriculado – o milimetrado – debería descubrir que el denominador me fija la unidad, y que como ya ha hecho en otros contextos debe sumar cantidades en unidades homogéneas. Si ya se ha entendido antes el concepto de fracción equivalente, el aprendizaje por descubrimiento es aquí perfectamente posible. Por esta vía se puede seguir para la multiplicación y división de fracciones, pero esto será el tema de una próxima entrada, esta ya se ha hecho demasiado larga.

Querría terminar con una aclaración: no pretendo estar inventando nada, este enfoque no es original, pero sí creo que minoritario, y desde luego poco utilizado en España. El libro donde lo he visto mejor contado es

Thomas H. Parker, Scott J. Baldridge. Elementary Mathematics for Teachers. Sefton-Ash Publishing, EE UU, 2004. (Un aviso: acabo de comprobar que sigue sin ser posible comprarlo desde España – tampoco vía Amazon).

Y una petición: si algún lector ya ha usado este enfoque en un aula, o lo hace en el futuro, estaría interesado en recibir información sobre la experiencia.

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Matemáticas para la docencia

Esto iba a ser la entrada Formación matemática de los futuros maestros (II), pero mientras la pensaba me he dado cuenta de que lo que quería decir aquí se aplica por igual a los futuros profesores de secundaria, de ahí el cambio de nombre.

Cuando se habla de la formación matemática de los futuros docentes, el debate universal gira en torno a si lo más importante son los contenidos, o la formación en metodología/didáctica. En este debate, las ideas que me han parecido más interesantes son las del profesor Hung-Hsi Wu, de la Universidad de Berkeley. Su página web es una excelente fuente de material sobre el tema. En particular,  la presentación The mathematics school teachers should know corresponde a una conferencia que impartió en Lisboa en 2010. El resto de esta entrada la dedicaré a presentar lo que me parecen sus ideas fundamentales. Si el lector prefiere la fuente original, cosa siempre aconsejable, el enlace anterior es mi recomendación.

Según Wu, la formación matemática que reciben los futuros docentes en EEUU es en muchos casos poco adecuada por dos tipos de razones:

  1. los contenidos de los cursos a nivel universitario están demasiado alejados de las matemáticas que tendrán que enseñar. Esta suele ser la situación en el caso de los futuros docentes de enseñanza media.
  2. los contenidos se presentan sin poner atención en algunas de las características fundamentales de las matemáticas: precisión, razonamiento lógico, relación entre áreas y conceptos. Esta suele ser la situación en el caso de los futuros docentes de enseñanza elemental.

Mi impresión es que estos comentarios son casi directamente trasladables a la situación española. Creo que no es casualidad que la situación de los dos países en el informe TEDS-M, del que ya hablé en la entrada anterior sobre este tema, sea similar.

La postura del profesor Wu en el debate contenidos-metodología es clara: los contenidos deben dictar la metodología. No se trata de que la metodología (la didáctica) no sea importánte, pero no tiene sentido trabajar las mejores propuestas metodológicas para presentar, por ejemplo, las fracciones, sin una adecuada comprensión del concepto matemático subyacente. Las fracciones son, de hecho, un ejemplo perfecto del punto central de su argumento. Pensemos por un momento en las alternativas de que dispone un profesor de primaria o secundaria que ha recibido una formación matemática completa, en el sentido “tradicional”, para tratar el tema de las fracciones y los números racionales:

  1. una fracción representa una parte de la unidad (trozos de tarta, de pizza, etc).
  2. una fracción es un par ordenado de números enteros (el 2º distinto de cero). Un número racional es un elemento del conjunto cociente obtenido en el conjunto anterior cuando se considera cierta relación de equivalencia.

La opción 1 es la única de la que seguramente dispondrá un profesor de primaria, en tanto que la 2 puede ser parte del conocimiento de un profesor de secundaria que ha cursado estudios de matemáticas. Pero es evidente que la opción 2 no es una alternativa para tratar las fracciones en ningún momento de la enseñanza media. La opción 1 puede ser una alternativa para la primera introducción a las fracciones en primara, pero en cierto momento, que personalmente situaría al final de la primaria o en todo caso al principio de la secundaria, se necesita precisar el concepto de fracción. En particular, para darle un mejor sentido a la aritmética de fracciones.

¿Cuál es entonces la alternativa de Wu para la presentación de las fracciones? Bueno, será el tema de mi próxima entrada, esta ya es demasiado larga. Termino esta entrada diciendo que este tipo de preguntas son centrales en la preparación de los futuros profesores. En EEUU se suele hablar de Mathematical Knoweledge for Teaching, para referirse a este tipo de contenidos, y desde mi punto de vista es el encuentro natural de las visiones desde los contenidos y la didáctica, más tradicionales en nuestro país. Y es el punto de encuentro necesario para lograr una formación más completa de los futuros docentes.

Las matemáticas en La Cuarta Página

No es muy frecuente que las matemáticas sean el tema de una Cuarta Página de El País, uno de los foros de opinión de más prestigio en España.  Creo que muchos estaremos de acuerdo con el fondo del artículo: una buena educación matemática es clave para muchas de las actividades con más proyección en este siglo. Sin embargo, parece deducirse del artículo que los grandes responsables del estado de nuestro sistema educativo somos los profesores. Y en este punto no estoy tan de acuerdo. No pretendo eludir nuestra responsabilidad, y ya escribí sobre ello aquí. Y sí, yo también conozco profesores (¡de matemáticas!) que dictan apuntes o leen el libro en clase. Pero creo que este camino nos lleva a un diagnóstico equivocado. Me parece mucho más grave el desenfoque de las matemáticas que se enseñan en demasiadas ocasiones, muchas veces por profesores trabajadores y motivados. Las matemáticas que hacen falta son las que tienen que ver con la comprensión de los conceptos y el manejo de las ideas, y no las que tienen que ver con rutinas y cuentas.

Otro aspecto que me gustaría puntualizar tiene que ver con los recortes. Desde luego, estoy de acuerdo en que es un gran error recortar la inversión en educación. Pero también creo que muchas de las cosas que se podrían hacer para mejorar la educación matemática tienen poco que ver con el dinero.

Un problema “estilo Dan Meyer”

Hoy, una entrada cortita y desengrasante. Los últimos días de lluvia me han dejado este problema en el jardín:

Las lluvias de la última semana han llenado de agua 2/3 del cubo de la foto. ¿Cuánto ha llovido? (La altura de la botella es de 20 cm).

Parte del problema consiste en investigar cómo se miden las precipitaciones. Aquí tengo una duda: ¿cuánta gente “de la calle” sabe que las dos unidades que se utilizan usualmente son, en realidad, la misma?

La formación matemática de los futuros maestros (I)

Seguramente hoy voy a meterme en un jardín, pero creo que es un jardín que un blog como este, que tiene como una de sus banderas principales que la solución al problema de la enseñanza de las matemáticas debe empezar por la enseñanza primaria, debe visitar.

Lo que más me llamó la atención cuando entré en este mundo (el de los formadores de profesores), es que estamos muy lejos de una respuesta consensuada a la pregunta: ¿qué formación matemática necesita un futuro profesor de primaria? En los debates que he oído y leído al respecto, todo el mundo está de acuerdo en estos dos aspectos:

  • la formación matemática de los estudiantes que ingresan en las escuelas de magisterio y facultades de educación es, en demasiados casos, muy pobre.
  • el tiempo que le dedican a las matemáticas los planes de estudio vigentes es demasiado escaso.

Desde luego, estoy completamente de acuerdo con estos dos puntos, y creo que cualquier medida que los corrigiera sería positiva, pero también creo que esta situación hace más relevante la pregunta: ¿a qué matemáticas le dedicamos el escaso tiempo disponible? Parece que el grueso del debate gira alrededor del binomio contenidos-metodología (aunque desde luego también es importante precisar qué contenidos y qué metodología). No voy a esquivar ese debate, pero tendrá que esperar unas semanas. Quiero escribir sobre ello con cuidado y el resto de este mes estoy desbordado con mis tareas docentes.

Recientemente se ha publicado el informe de un estudio internacional – el TEDS-M – que es imprescindible en este debate. El objetivo del estudio TEDS-M, que arrancó hace 4 años, era justamente valorar la formación matemática de los futuros profesores. El estudio internacional era tanto para profesores de primaria como de secundaria, aunque España sólo participó en la parte de primaria, supongo que porque en los años en que se desarrolló el  estudio era muy problemático acceder a la población de los futuros profesores de secundaria (el estudio de primaria se hizo sobre los estudiantes del último curso de magisterio; supongo que si el estudio se hubiera hecho en la actualidad, se podría haber recurrido a los estudiantes del máster de formación del profesorado para la secundaria).

Por fin se ha publicado el  informe español sobre el estudio. Es un informe extenso (150 páginas), y creo que es ahora mismo la mejor fuente de información sobre la situación de nuestros futuros profesores de primaria. Voy a terminar esta entrada con algunas de las cosas que más me han llamado la atención.

  • en las páginas 90 y 91 pueden verse algunas de las preguntas propuestas. Se preguntaba tanto por contenidos como por conocimientos didácticos.
  • en la valoración de los programas de los distintos centros que participaron en el estudio (la gran mayoría de los públicos, y algunos privados) se incide en qué porcentaje de una amplia lista de contenidos se cubren. Este me parece un error persistente en los programas españoles. Optamos siempre por la cantidad, en lugar de por la calidad. Si estuviera en mis manos, tomaría la decisión de eliminar la mitad de los contenidos de todos los programas (evidentemente, habría que elegir con cuidado qué mitad preservar). De esta forma, sería posible detenerse en los contenidos más relevantes el tiempo mínimo necesario para que se produzca un auténtico aprendizaje.
  • de entre los 14 países participantes en el estudio, en España es donde el profesorado de las áreas de pedagogía tiene mayor presencia, el 76.1% (pag. 121). Que no haya lugar a equívocos: es evidente que los contenidos pedagógicos son esenciales en magisterio. Sin embargo, se debe encontrar un equilibrio entre los contenidos de pedagogía y el resto. Según el estudio, en España el predominio de los contenidos de pedagogía es mayor que en ningún otro país participante.

Un último comentario por hoy: en este enlace se puede encontrar información sobre el estudio internacional. Una de las cosas que más me ha llamado la atención en él es la gran varieadad de propuestas que existen en el mundo para formar al profesorado de enseñanza preuniversitaria. En estos tiempos, en que la información se mueve tanto y tan deprisa, ¿no debería ser más sencillo averiguar qué sistemas están funcionando mejor?