Las fracciones

Las fracciones son sin duda uno de los escollos fundamentales en el aprendizaje de las matemáticas elementales. Desde mi punto de vista, hay dos tipos de razones para ello:

  • la mayor parte del tiempo se dedica a la aritmética, a las cuentas, sin prestar suficiente atención a los conceptos involucrados. Esto hace que los alumnos, en el mejor de los casos, hagan correctamente las cuentas, pero en demasiadas ocasiones no sepan interpretarlas. En otros muchos casos, por supuesto, el no entender el sentido de las operaciones abre la puerta a todo tipo de errores.
  • el concepto de fracción no es sencillo de presentar ni de entender. En particular, una fracción, desde el punto de vista elemental, tiene las tres interpretaciones de la figura:
    1. una parte de un objeto. En la figura (1), están pintados de verde los 3/5 de una barra.
    2. la solución a un problema de reparto: si tenemos 3 chocolatinas y las queremos repartir entre cinco niños, por igual, a cada niño le toca 3/5 de chocolatina.
    3. un punto de la recta numérica (es decir, un número racional).

La interpretación (1) es seguramente la más indicada para el primer contacto (en algunos países, este primer contacto se produce ya en el primer ciclo, y en todos los que he visto en el segundo ciclo). Este primer contacto no incluye la aritmética, ni siquiera una introducción. Pero cuando se inicia el estudio más sistemático de las fracciones, en el tercer ciclo de primaria (y en cursos equivalentes en la mayoría de los países que he mirado  – cursos K 5 y 6), es esencial que se entiendan estas tres interpretaciones de una fracción. Si uno se para a pensarlo, la equivalencia de la interpretación (2) con la (1) no es tan evidente para un niño que se enfrenta al problema por primera vez. Creo que la mejor forma de presentarla es la sugerida en la figura: dividimos cada chocolatina en 5 partes iguales, y le damos una a cada niño.

Pero además de entender las tres posibles interpretaciones, se debería elegir una básica, para dar una definición de fracción y para, sobre todo, darle sentido a la aritmética. Desde mi punto de vista, la representación (3) es la más adecuada. Esta podría ser una definición:

Def: La fracción p/q representa el siguiente punto de la recta numérica:  tomamos el intervalo (0,1) y lo dividimos en q partes iguales. Ahora, contamos desde el cero p de esas partes.

De acuerdo: admito que esta opción no pasa la prueba de ser formalmente válida a los ojos de un matemático. Pero creo que este es uno de los puntos clave de lo que empecé a llamar en la entrada anterior Matemáticas para la docencia: el rigor y el formalismo que se extendieron por las matemáticas desde finales del siglo XIX (y que tan buenos resultados ha dado desde muchos puntos de vista) no deberían convertirse en un obstáculo para la enseñanza de las matemáticas básicas. En particular, en enseñanza primaria y secundaria, lo ideal sería encontrar el correcto equilibrio entre rigor – que no rigorismo – y el uso adecuado de los conceptos elementales intuitivos.

Estas son las principales ventajas de tomar la opción (3) como la fundamental para el estudio de las fracciones:

  1. la fracción se ve, desde el primer momento, como “un número más”. Nos evitaríamos así el problema que creo que todos hemos visto, del estudiante que, ante la solución 3/5 de un problema, no queda satisfecho, y sólo da el problema como resuelto “de verdad” si escribimos 0’6.
  2. el concepto de fracción equivalente se introduce sin ninguna dificultad. Dos fracciones son equivalentes cuando representan el mismo punto. Llegar a la comprobación algebraica sería un segundo paso, que se trabajaría con ejercicios.
  3. los problemas de comparar fracciones, o estimarlas, o expresarlas como números mixtos, pasan a ser más intuitivos, al poderse visualizar en el mismo entorno que los números ya conocidos.
  4. por último, y más importante, la aritmética de las fracciones se ve, desde el primer momento, como una extensión de la aritmética conocida. De la misma forma que la suma 2+3 se visualiza en la recta numérica yuxtaponiendo los segmentos que representan al 2 y al 3, se le puede plantear al niño el problema de sumar 3/5 y 1/2. Y cuando hablo del “problema” estoy diciendo, por supuesto, que lo propondría sin hablar antes de comunes denominadores, ni nada por el estilo. El niño, con la ayuda de papel cuadriculado – o milimetrado – debería descubrir que el denominador me fija la unidad, y que como ya ha hecho en otros contextos debe sumar cantidades en unidades homogéneas. Si ya se ha entendido antes el concepto de fracción equivalente, el aprendizaje por descubrimiento es aquí perfectamente posible. Por esta vía se puede seguir para la multiplicación y división de fracciones, pero esto será el tema de una próxima entrada, esta ya se ha hecho demasiado larga.

Querría terminar con una aclaración: no pretendo estar inventando nada, este enfoque no es original, pero sí creo que minoritario, y desde luego poco utilizado en España. El libro donde lo he visto mejor contado es

Thomas H. Parker, Scott J. Baldridge. Elementary Mathematics for Teachers. Sefton-Ash Publishing, EE UU, 2004. (Un aviso: acabo de comprobar que sigue sin ser posible comprarlo desde España – tampoco vía Amazon).

Y una petición: si algún lector ya ha usado este enfoque en un aula, o lo hace en el futuro, estaría interesado en recibir información sobre la experiencia.

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Un pensamiento en “Las fracciones

  1. Pingback: La secante … y otras piezas de museo | Más ideas, menos cuentas. Un blog sobre educación matemática.

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