Menos puede ser mas

Hace unas semanas recibí los textos de 3º y 4º de Secundaria de la serie “Mathematics matters”, de Marshall-Cavendish, y aunque no he tenido tiempo de estudiarlos con detalle el primer vistazo resulta bastante impactante. No tengo claro si se trata de un enfoque alternativo a la serie “New mathematics counts”, o si se trata de una evolución, pero el caso es que dan un paso mas en la “simplificación” de muchas técnicas que ya era llamativa en “New mathematics counts”. Lo mejor para entender de qué estoy hablando es desde luego ver algún ejemplo, así que aquí está el capítulo del libro de 3º dedicado a las potencias (29 Mb). A la hora de revisarlo, es importante tener en cuenta que es el único capítulo de la secundaria que dedican a las potencias. Por supuesto que en ejercicios posteriores aparecerán cálculos con potencias, y de esta forma se repasan, pero no se vuelven a tratar de forma sistemática.

Aún mas llamativo que las concisas 34 páginas que le dedican al tema es lo “descargado” de las páginas de estos textos de Marshall-Cavendish. Acostumbrado a las abigarradas vistas de muchos de nuestros libros, que parecen seguir la filosofía de “cuanto mas, mejor” o “mas vale que sobre que no que falte”, la sencillez de la exposición me resulta impactante. Por supuesto, la brevedad no impide que los hechos básicos, como que a^0 = 1, sean justificados (cuando pido a mis alumnos del máster de profesorado que justifiquen esa relación, la respuesta es casi siempre “porque es así”).

Y es que creo que ya tenemos suficientes datos para afirmar que la raíz de nuestro problema no es la escasez de horas de clase ni el trabajo de los alumnos; los datos de la imagen me parecen suficientemente elocuentes. Lo que necesitamos urgentemente es un profundo cambio de currículo y de enfoque metodológico.

horas-clase-deberesVía @educaINEE. Fuente: Panorama de la educación. Indicadores OCDE 2014

Mientras las soluciones vayan en esta dirección http://www.europapress.es/galicia/noticia-alumnos-eso-tendran-horas-mas-matematicas-20150324153403.html  (vía @jjcanido) o, cambiando de tercio, en que el estudiante haga otra hoja de divisiones, de ecuaciones logarítmicas, o de derivadas, la situación seguirá sin mejorar.

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La raíz cuadrada

La verdad es que hasta hace un par de años había dado por hecho que el algoritmo tradicional para el cálculo de la raíz cuadrada había desaparecido de nuestras aulas. Supongo que la razón era sencillamente que mis hijas “se libraron” de él. Quizá en algún momento comentaron algo en clase, pero nunca las vi calculando en casa, ni lo prepararon para un examen.

Estos últimos años aprovecho cualquier ocasión para hablar con profesores, y he descubierto con algo de sorpresa que la situación puede ser algo diferente. Como siempre, por supuesto, no existen datos sobre lo que se está haciendo en las aulas, y los currículos no concretan lo suficiente. En la figura se puede ver lo que dicen sobre el tema tanto el currículo de la LOE como el nuevo de la LOMCE. ¿Forma parte del currículo el algoritmo tradicional para el cálculo de la raíz cuadrada? Bueno, creo que es tan defendible una cosa como la contraria …

raiz-cuadrada-curriculo

La “opinión de los libros de texto” (mayoritarios) no es difícil de adivinar, dada su inclinación al “cuanto mas mejor”. En la figura se pueden ver dos ejemplos, los dos de ediciones recientes. Mi premio especial va para el ejemplo de la derecha, desde luego, no solo por el tamaño del número (118527) sino, sobre todo, por terminar con el resto (191), y dejarlo ahí, como si interpretar el resto de una raíz cuadrada fuera algo sencillo, o remotamente similar al resto de la división …

raiz-cuadrada-textos

Algunos países ya han eliminado el algoritmo de la división con divisores de dos o mas cifras, y seguro que muchos otros muchos se lo están pensando. Mientras, nosotros seguimos atascados en temas que han superado hace tiempo en otros lugares. No he encontrado referencia a este tema en ningún currículo/texto de otros países, y si no me diera mucha vergüenza emular al gran Donald Knuth casi me atrevería a ofrecer 10 € a cualquier lector que encontrara un ejemplo de este algoritmo fuera de nuestro país. Me parece un ejemplo perfecto de ese problema de educación viejuna del que se empieza a escribir con cierta regularidad en otros foros.

Una nota aclaratoria que ya me he acostumbrado a hacer siempre que hablo sobre estos temas es que por supuesto que los alumnos deben aprender a estimar raíces cuadradas, y a encontarlas si el tamaño del número es el adecuado. Creo que hacer esto con métodos de cálculo mental – cálculo natural enseña mucho mas sobre qué significa la raíz cuadrada que reproducir la receta del algoritmo tradicional.

Y una nota final: en algún debate algún profesor me ha dicho que “trabajar el algoritmo no hace daño”. Bueno, puede que no; pero me parece discutible argumentar (con toda la razón) que no hay tiempo suficiente para tratar de forma adecuada los temas del currículo, y a la vez invertir parte de ese tiempo en el algoritmo de la raíz cuadrada. Además, puede ser cierto que a algunos niños les “gusta calcular” (yo nunca tuve ningún problema con ello, hice bastantes raíces cuadradas, y no tengo mal recuerdo de ello) pero hay otros alumnos a los que se les atraviesa el cálculo, por razones variadas, y que crecen con la sensación de que no valen para las matemáticas (o de que las matemáticas son un rollo inútil).

Proporcionalidad inversa

Se trata sin duda de uno de los conceptos mas escurridizos de la aritmética elemental. Cuando pregunto por el tema en clase al principio, los alumnos solo saben contestarme eso de “cuando una disminuye, la otra aumenta”. Pero si les pido detalles y les pregunto, por ejemplo, si el precio de un producto y su demanda son magnitudes inversamente proporcionales, ya que la demanda crece cuando el precio disminuye, entonces el silencio es total …

El primer problema que les planteo es el siguiente:

Un grupo de amigos hacen una excursión por el desierto y llevan reservas de agua para 12 días. Sin embargo, hace mas calor de lo normal, y beben el 50% mas de lo previsto. ¿Cuándo se les termina el agua?

Inmediatamente surge la respuesta de “6 días”. Pero entonces les planteo: bien, y si hubieran bebido el doble de lo previsto, ¿cuánto les habría durado el agua? Creo que es el momento del curso en el que el conflicto cognitivo es mas evidente en las miradas de la mayoría de los alumnos. Una vez que se dan cuenta de que 6 no puede ser la respuesta correcta, la siguiente propuesta suele ser 9, por aquello de “la mitad de la mitad” (está claro que nuestro cerebro es lineal). Hay que esperar unos minutos mas para que algún alumno dé con la respuesta correcta, normalmente con un argumento del tipo: “como beben el 50% mas, consumen en un día el agua que tenían previsto beber en 1,5 días. Por tanto, a los 8 días terminan el agua”.  Una de las cosas que mas me gustan de este ejemplo es que, al evitar darles una cantidad concreta, suelo conseguir que ni siquiera intenten recurrir a la regla de tres.

Reconozco que no es un tema sencillo, pero me parece simplemente terrible la forma en que es tratado en los textos que conozco. Y los problemas mas habituales, con pintores y demás, por supuesto enfocados a su resolución con la correspondiente regla de tres. Me parece que sería mucho mas útil centrar el estudio en las magnitudes físicas, que están estudiando en la asignatura correspondiente, y que además son mucho mas realistas que los ejemplos usuales: la velocidad y el tiempo en un movimiento rectilíneo uniforme, y la presión y el volumen de un gas a temperatura constante. Creo que desde el lado de la física las cosas no funcionan mucho mejor, a juzgar por las caras que observo al enunciar la Ley de Boyle-Mariotte en términos de proporcionalidad inversa. No he hecho una búsqueda exhaustiva, pero en el texto de 4º que tengo en casa lo que dice es que V y 1/P son magnitudes proporcionales. Vamos, el error habitual: tirar por el camino mas “sencillo” … que no lleva a ningún sitio. La proporcionalidad inversa es seguramente el concepto de las matemáticas básicas donde la interdisciplinariedad debería jugar un papel mas importante, por evidente y útil.

Mi objetivo final en este tema es que mis alumnos entiendan que si en un movimiento uniforme la velocidad aumenta el 20%, el tiempo de viaje no disminuye el 20% (los resultados en este punto, discretos, sigo dándole vueltas a cómo hacerlo mas comprensible).

Termino con dos problemas que me gustan especialmente. El primero, uno de esos problemas que aparecen en libros de aritmética clásica, y con los que nuestros alumnos encuentran bastantes dificultades, ya que se trata de razonar, y no de operar:

Una nave sale de Nápoles hacia Barcelona y hace su viaje en 30 días. Otra sale de Barcelona hacia Nápoles y hace el viaje en 20 días.
¿En qué punto del trayecto se encuentran? (Se supone, claro, que las dos naves van por la misma ruta y que cada una de ellas mantiene durante todo el viaje la misma velocidad).

Y el segundo, de cosecha propia, pensado para convencerles de que hay alternativas mejores que la regla de tres compuesta:

Una ciudad medieval dispone de provisiones para 6 meses. Justo antes de ser sitiados por un ejército enemigo, la cuarta parte de su población huye, y al verse sitiados deciden reducir la ración diaria a 2/3 de la prevista. ¿Cuánto tiempo les durarán las provisiones?

Mas problemas, menos cuentas

Ya está operativa la comunidad de Procomún Mas problemas, menos cuentas. Es una comunidad restringida: cualquiera puede ver los materiales, pero para contribuir hay que solicitar un permiso. Os animo a que lo hagáis, por supuesto, se trata de una simple formalidad para evitar robots y cosas por el estilo. Veremos si la comunidad contribuye en algo al objetivo de potenciar la resolución de problemas en las aulas.