Cálculo de primitivas (II)

A raíz de la entrada de ayer intercambié con @lolamenting una serie de mensajes que me han tenido pensando un rato. La conversación acabó con esta pregunta suya,

¿en 2° Bach Ciencias debemos ceñirnos a los contenidos de la PAU o preparar para una ingeniería?

a la que solo contesté que la respuesta requería un post. Aquí está.

Mi primera tentación fue responder que las dos cosas son, obviamente, lo mismo, pero luego me quedé pensando hasta qué punto eso es verdad y, sobre todo, por qué no está claro que sean lo mismo (porque sigo pensando que las dos cosas son, al menos muy aproximadamente, equivalentes). Henos aquí, una vez mas, ante un grave problema de comunicación entre niveles educativos, en este caso entre bachillerato y universidad.

Esta falta de comunicación es en sí mismo un gran problema, y creo que una de las causas principales es la poca claridad de nuestra legislación curricular. En la figura siguiente se puede ver lo que dice el currículo de la LOMCE sobre el cálculo de primitivas. Veremos qué dicen los currículos autonómicos, aunque me sorprendería que fuera diferente. Compararlo con la segunda parte de la figura, en la que muestro lo que dice al respecto el currículo de las «H2 Mathematics» de Singapur (el resaltado en «given» es mío): Las matemáticas H2 son las que me parecen mas equiparables a nuestras Matemáticas II, y de verdad que recomiendo un vistazo a su currículo. Creo que cualquier profesor que tiene que impartir ese currículo ve bastante claro qué tiene que hacer, y cualquier profesor que tiene enfrente a alumnos que han superado con éxito la asignatura correspondiente se hace una idea bastante clara de qué puede esperar de ellos.

Por contra, nuestra legislación curricular rebosa de logomaquia competencial (ojo: no estoy criticando el fondo de las competencias, sino la verborrea competencial que inunda nuestros decretos educativos) y descuida los detalles mas técnicos, pero imprescindibles para que el currículo sea eso, un currículo.

En este aspecto particular en la universidad no estamos mucho mejor, desde la reforma que trajo los planes de estudio de los grados, conocida como «planes de Bolonia». Sobre lo que ha pasado en la universidad, recomiendo este artículo de Pello Salaburu, ex-rector de la Universidad del País Vasco. Es de octubre de 2011, pero no ha perdido un ápice de actualidad.

Volviendo a la pregunta original, lo que realmente tenemos que contestar es: ¿dónde empieza el estudio de la integración en 1º de Ingeniería? ¿Qué se da por ya sabido? No es una pregunta fácil de contestar. He echado un vistazo a algunas escuelas de ingeniería, pero la proliferación de aulas virtuales y demás espacios cerrados de aprendizaje ha hecho que los materiales de las asignaturas no sean accesibles desde el exterior, así que lo que voy a decir está basado simplemente en la información sobre lugares que conozco. Si algún lector tiene mas información, sería estupendo que la compartiera.

Mi impresión es que lo que necesita un alumno sobre integrales para abordar una ingeniería es saber unas pocas cosas muy básicas, pero tenerlas bien claras. Y por cosas muy básicas me refiero a saber que la integral es lineal, que la integral del producto no es el producto de las integrales, integrales básicas como $\int e^{3x} \, dx$ y $\int x \cos x^2\, dx$, y ejemplos sencillos de integración por partes como $\int x e^{2x} \, dx$.

Y el problema mas extendido es que, al ver en 2º de Bachillerato bastante mas de lo que el tiempo disponible aconsejaría, el aprendizaje que se produce es superficial: los alumnos aplicados hacen las cosas en el examen, claro que sí, y en la PAU, pero llega el verano y en septiembre muchos de ellos tienen que volver a empezar casi desde cero. Vamos, uno de los problemas de fondo de nuestro sistema escolar (también en la universidad): ver mas de lo que los alumnos pueden realmente aprender.

Cálculo de primitivas en la PAU

Mirando los libros de 2º de Bachillerato veo integrales como las que yo proponía hace ya unos cuantos años en 1º de Ingeniería de Telecomunicación. Y he visto también listados de problemas de PAU que ganarían mucho si en cada problema figurara la fecha en la que se planteó. Por si sirve de ayuda, y para intentar evitar ese «vamos a hacer estas integrales, que las preguntan en la PAU», aquí están las integrales que han aparecido en la PAU de Madrid, desde el año 2010 hasta el 2014.

Junio 2010, opción B.
Calcular el área de la región limitada por las funciones $y = 9-x^2$ e $y=2x+1$
Septiembre 2010, opción A.
a) $\int_{14}^{16} (x-15)^8 \,dx$ . b) $\int_9^{11} (x-10)^{19} (x-9)\,dx$
Junio 2011, opción A.
$\int_{1}^{3} x \sqrt{4+5x^2} \,dx$ .
Septiembre 2011, opción A.
$\int_{0}^{1} \frac{x}{1+3x^2}\,dx$ .
Junio 2012, opción A.
a) $\int_0^{\pi} e^{2x}\cos x \,dx$ . b) $\int_0^{\pi/2} \frac{\sin 2x}{1+ \cos^2 2x}$ .
Septiembre 2012, opción B.
Calcular $\int_{0}^{\pi} x^2 \sin x \,dx$ .
Junio 2013, opción A.
a) $\int \frac{x-3}{x^2+9}\,dx$ . b) $\int_1^2 \frac{3-x^2+x^4}{x^3}\,dx$ .
Septiembre 2013, opción B.
$\int_0^{\pi/2} 2 \cos^2 x \,dx$ .
Junio 2014, opción A.
Área de la región acotada limitada por el eje OX y la función $x^4 + 4 x^3$ .
Septiembre 2014, opción A.
$\int_0^1 \bigl( \frac{1}{x+1} + \frac{x}{x+4}\bigr) \,dx$ .
Septiembre 2014, opción B.
$\int_1^{\ln 5} (x e^x + 3)\,dx$

PAU en Madrid, junio de 2014. ¿Algo se mueve?

Tras las últimas entradas sobre las derivadas y la PAU, me parece natural hacer algún comentario sobre el examen de hoy en Madrid (si algún lector me envía exámenes de otras comunidades, estaré encantado de enlazarlos aquí). Me ha parecido un paso (quizá pequeño, pero seguramente lo más que se podía esperar) en la buena dirección. No hay grandes cálculos, y la comprensión conceptual tiene más peso que otras veces (o eso me parece). Quizá me equivoque, pero me ha parecido que a los alumnos no les parecía sencillo (nada sorprendente, seguramente era distinto de lo que se esperaban, de aquello para lo que habían estando entrenándose – creo que esa es la palabra adecuada, sí). Ahora solo falta que el mensaje cale en todas esas aulas donde se siguen calculando montones de derivadas y primitivas … porque hacen falta para selectividad.

Los datos de la Comunidad de Madrid sobre la PAU

Creo que uno de los grandes problemas de nuestro sistema educativo es la falta de datos fiables, y en general me inclino por que necesitamos más datos en casi todas partes. Pero lo único peor que no dar datos es dar datos que puedan generar incentivos perversos, y eso es lo que puede estar haciendo la Comunidad de Madrid con los datos de los institutos y la PAU (selectividad).

Ya de por sí puede ser cuestionable que los datos se publiquen sin ningún tipo de información sobre las características sociológicas del alumnado, que me parece imprescindible para poder hacerse una idea del valor añadido del centro, pero en el caso de la información sobre la PAU la cosa es bastante peor. Lo que se puede ver sobre un centro es un diagrama como el de la figura, donde se muestran las notas obtenidas en la PAU por los alumnos del centro y las notas medias de la comunidad (o los porcentajes de aprobados, o alguna otra variante).

No hace falta ser un experto en gestión educativa para darse cuenta de que estos datos pueden generar incentivos perversos. Si un centro está interesado en mejorar sus resultados, la tentación de subir el nivel de exigencia en 2º de Bachillerato, y que se presenten menos alumnos, pero mejor preparados, es muy, muy real. No tengo idea de si esto está pasando, pero lo frustrante es que sería realmente fácil de evitar: bastaría con presentar los datos completos, de alumnos matriculados en el centro, alumnos que superan 2º de Bachillerato, y luego los resultados de la PAU. Algunas veces, hacer las cosas mejor es realmente sencillo!

La derivada en 1º de Bachillerato (II)

Parece que está claro que el tema de cómo tratar la derivada en 1º de Bachillerato genera cierto debate. Me parece muy bien, siempre ha sido uno de los objetivos de este blog. Sigue en la lista una entrada sobre cómo se trata la introducción de la derivada en otros lugares, pero antes de eso me ha parecido conveniente aclarar los datos sobre uno de los argumentos más repetidos (no sólo en los comentarios, también siempre que hablo del tema con amigos profes). Se oye con bastante insistencia eso de que las derivadas se complican enseguida porque «es lo que les van a pedir en selectividad». Como digo, es una tarea que tenía pendiente, y este debate me ha decidido a vencer la pereza y lanzarme a ello. Estos son los ejercicios que involucran una derivada en las PAU de Madrid en los últimos cuatro años, aquellos a los que tengo fácil acceso en mi universidad.

Junio de 2010:
Opción A, ej. 4. Preguntan los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x) = \ln(x^2+4x-5)$ .
Septiembre de 2010:
Opción B, ej. 2. Preguntan representación e intervalos de concavidad de la función $f(x) = \displaystyle \frac{3x^2+5x-20}{x+5}$ .
Junio de 2011:
Opción A, ej. 3. Extremos absolutos de la función $f(x)=\sqrt{12-3x^2}$ .
Opción B, ej. 1. Para qué valor de a la función $\displaystyle f(x)=\frac{ax^4+1}{x^3}$ tiene un mínimo relativo en x=1. Para ese valor, encontrar los extremos absolutos.
Septiembre de 2011:
Opción A, ej. 1. Hallar el conjunto de puntos en los quela función $f(x)=\sqrt{x^2-9x+14}$ tiene derivada.
Junio de 2012:
Opción A, ej. 3. Dada $f(x)=x^3+ax^2+bx +c$ , hallar a, b y c para que f alcance en x=1 un mínimo relativo y tenga en x=3 un punto de inflexión.
Opción B, ej. 1. Dada $\displaystyle g(x)=(\ln x)^x$, calcula g'(e).
Septiembre de 2012:
Opción A, ej. 1. Dada la función definida a trozos $f(x)=3x+A$ si $x\leq 3$ y $f(x)=-4+10x-x^2$ si $x>3$ , halla los puntos en que la derivada se anula y los extremos absolutos en el intervalo [4,8].
Opción B, ej. 2. Calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f(x)=x^2 \sin x$ (en un punto dado).
Junio de 2013:
Opción A, ej. 3. Ecuación de la recta tangente en un punto a la gráfica de $\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{(x-3)^2}$ .
Opción B, ej. 1. Extremos absolutos y puntos de inflexión de $f(x)=2\cos^2 x$ en el intervalo $[-\pi/2,\pi/2]$ .
Septiembre de 2013:
Opción A, ej. 1. Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $\displaystyle f(x) = \frac{4}{x-4}+\frac{27}{2x+2}$ .
Opción B, ej. 3. Ecuación de la recta tangente en un punto a la gráfica de $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x^2+1}$ .

Mi conclusión es clara: la mayoría de los ejercicios de cálculo de derivadas que he visto en el cuaderno de mi hija tras dos semanas de derivadas en 1º de Bachillerato son más complicados que los que aparecen en la PAU. Insisto: ya sé que la intención es la mejor, y por supuesto no tengo claro cómo de generalizado está este enfoque, pero todo me hace pensar que no vamos por buen camino. Y, por supuesto, tampoco estoy diciendo que este problema sea específico del bachillerato. En la Universidad, en muchos aspectos, caemos en el mismo tipo de errores.

Más ideas, menos cuentas. Un blog sobre educación matemática.

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