¿Por qué recurren al móvil para calcular el doble de 16?

Justo antes de navidades vi un par de tuits de @unmatematico que decían

Alumnos de ingeniería que usan la calculadora para operaciones del tipo “32 – 24”, “-3-2+1” [sic] y cosas similares

Acabo de ver dos más muy buenas “2x2x4” y “9-16”. Realmente tenemos un problema …

Creo que muchos hemos visto cosas similares. En mi caso, la última que recuerdo es la que da título a esta entrada. Contesté al tuit, preguntando por las posibles causas, y @druizaguilera contestó con esta lista:

  1. prohibición en primaria + uso indiscriminado en secundaria (y sin instrucciones)
  2. poco trabajo del cálculo mental
  3. pocas (nulas) estrategias personales de cálculo
  4. pereza

Contesté diciendo que estoy esencialmente de acuerdo (algo se podría matizar, porque obviamente 3 es consecuencia directa de 2), pero que me falta una, y es el exceso de cálculo tradicional, sobre todo en primaria. A esto @unmatematico contestó diciendo que no veía claro el mecanismo por el cual el exceso de cálculo en primaria podría llevar a usar la calculadora para operaciones como las mencionadas en la universidad, y me comprometí a exponer mis reflexiones, con el espacio adecuado, en una entrada del blog. Aquí está.

Es verdad que no es imposible trabajar tanto los algoritmos tradicionales como las estrategias de cálculo mental. De hecho, esto es lo que se debería hacer, porque es lo que figura en nuestro currículo de primaria (junto con la iniciación en el uso de la calculadora, y el decidir qué método usar en cada caso). Pero no es sencillo, porque las estrategias para el cálculo mental son distintas (a veces, casi contrapuestas) a las rutinas que se adquieren con los algoritmos tradicionales. De hecho, la principal dificultad que se encuentran mis alumnos para avanzar en el cálculo mental es que tratan de imitar mentalmente lo ya conocido para el papel. También se puede uno encontrar el caso contrario: el niño que ha desarrollado estrategias personales para el cálculo de sumas y que, al empezar en el cole con el algoritmo en columna pierde la comprensión del proceso de suma que había desarrollado.

Me parece que el problema tiene difícil solución mientras sigamos empeñados en que los niños aprendan a hacer divisiones con divisores de tres cifras, como la del ejemplo, sacada de un libro de 5º para la LOMCE y de un problema “realista”: una panadería hace 15408 barras de pan, y pone 237 en cada cesta. ¿Cuántas cestas necesita?

barras-pan

Nota final: encima, seguimos empeñados en comprimir la escritura de la división, en lugar de escribir ese 237 \times 5 que figura en la ayuda. Creo que estamos bastante solos en el mundo a la hora de comprimir así la división. Desde luego, no se hace en los países anglosajones. ¿Algún lector de habla hispana nos comenta cómo se escriben estas divisiones en su país?

Segunda nota final: la entrada me ha quedado menos convincente de lo que la imaginaba antes de empezar. Es un tema que daría para estudios y trabajos de aula.

La sorprendente aritmética elemental

Alguna vez he escrito sobre la importancia de presentar alguna demostración a los alumnos ya en la ESO, lo importante que es que lo que se quiere demostrar no sea “evidente” y lo complicado que es que al mismo tiempo la demostración sea suficientemente sencilla. Fuera de la geometría, no hay tantos ejemplos, y quiero compartir uno que he visto hoy a cuenta del número 24, desde @desmatematicos2 (vía @tocamates). La propiedad dice: si p es un número primo mayor que 3, entonces p^2 - 1 es múltiplo de 24. ¿No resulta realmente sorprendente? Pero de la sorpresa pasé a la maravilla cuando me di cuenta de lo sencillo que es demostrarlo, basta con escribir p^2 - 1 = (p+1)(p-1) y analizar los divisores de los factores.

Ya sé que es muy posible que a la gran mayoría de un aula estándar de 2º-3º de ESO le resulte indiferente, pero apostaría a que si nos acostumbráramos a dedicarle algún rato perdido a cosas de este estilo habría algún alumno en el que podríamos despertar algo parecido a la curiosidad por las matemáticas. No todo son matemáticas realistas y aplicaciones, la simple belleza también juega su papel.

Las calculadoras “modernas”

El otro día me llegó (vía @tocamates) un tuit de @JosePolLezcano que enlazaba una calculadora que imita la aritmética del lápiz y papel: y (un ejemplo, en la imagen). Además de suma, resta, multiplicación y división, tiene también el algoritmo de la raíz cuadrada, y la factorización (con la rayita y todo).

calculadora-Alicia

No me pude resistir al impulso de contestar que no me parecía buena idea, y a continuación tuvimos un breve e interesante debate, que concluyó con mi compromiso de escribir una entrada sobre el tema. Aquí está.

Se trata de reflexionar sobre el tipo de calculadora; sobre el tema de los algoritmos tradicionales de la aritmética ya he escrito, por ejemplo aquí. Supongamos por tanto que hemos decidido que el alumno debe aprender a hacer divisiones como la del ejemplo (o un poco mas cortas, este detalle no me parece relevante para esta discusión). Desde mi punto de vista, la pregunta clave es: ¿ayuda una calculadora como esta en el aprendizaje (es decir, en la mecanización) del algoritmo? Me parece que no: desde luego, lo más cómodo para el alumno, y para el profesor, es una calculadora que diga que donde puse un 7 debería haber un 8, pero no me parece que eso aporte nada al aprendizaje (ni siquiera al de la rutina). Puestos a corregir la división con ayuda de una calculadora (lo que no me parece mala idea), creo que sería mucho más adecuado aprovechar esta situación para mostrar al alumno que lo que está haciendo en el primer paso es dividir 869 entre 325, que el cociente es 2 y el resto 219. La inmensa mayoría de los alumnos no son conscientes de esto, ¡nadie se lo dice!

Por supuesto que la calculadora “moderna” es más cómoda, pero debería estar claro que lo más cómodo no siempre es lo más formativo …

Los “problemas de ciclistas”

Dos ciclistas están en dos pueblos distintos, a una distancia de 112 km. Empiezan a pedalear, a la vez, para encontrarse. Uno va a 18 km/h, y el otro a 22 km/h. ¿Cuánto tiempo tardan en encontrarse? (Debes resolver el problema sin usar razonamientos algebraicos, y dar el resultado en horas, minutos y segundos).

Este es un problema que, con variantes, planteo cada año a mis estudiantes de Matemáticas I. Tras varios años de observar los patrones de respuesta de los alumnos, he detectado varias cosas interesantes, y que creo que pueden ser de interés para algunos lectores.

La primera observación es que, cuando no les permites usar el álgebra, la mayoría (hablo al menos de 3/4 partes de los alumnos, que sí lo intenta, porque hacen otros probleas de la hoja) no consiguen hacer nada. Este detalle de prohibirles el álgebra es un tema de reflexión en sí mismo, desde luego. Encantado de recibir ideas al respecto, y ya tengo apuntado el tema para una futura entrada. De momento, me limitaré a decir que, desde mi punto de vista, el uso del álgebra para resolver problemas como éste empobrece el aprendizaje de la aritmética.

En la clase en la que tratamos los problemas, los alumnos a los que pregunté –y que habían hecho algo– empezaron con la idea de que “es lo mismo que si los dos ciclistas se movieran a una velocidad de 20 km/h”. Tratar de convencerles (a ellos y al resto de la clase) de que también es lo mismo que si un solo ciclista se mueve a 40 km/h, costó sorprendentemente mas. De hecho, creo que no lo conseguí hasta que no cambié ciclistas por pintores, la carretara por una valla (y los km por m, por aquello de las “matemáticas realistas”).

Pero la segunda parte me parece también interesante: el problema que tenemos ahora es cuánto se tarda en recorrer 112 km si nos movemos a 40 km/h. Supongo que entendieron que esa prohibición del álgebra se extendía a “fórmulas de la física” (así le llaman a cosas como e=v.t) — y aquí acertaron, esa era mi idea–. Lo que hicieron entonces es razonar que en 2 horas recorren 80 km, en media hora mas otros 20 km, y continuaron dividiendo hasta la solución final. Ya se que algún lector puede estar pensando que no eran “soluciones independientes”. Fueron tres grupos, y digamos que pregunté lo suficiente para convencerme de que sus razonamientos sí eran personales, además de que en los tres casos se trataba de alumnos que apuntan muy buenas maneras en la asignatura.

Y todo esto, a pesar de que la semana anterior habíamos trabajado en la teoría la división, y nos habíamos parado en sus dos significados. Esta dificultad no me sorprendió, ya lo había visto otros años (por eso el problema estaba formulado de esta forma; si la distancia hubiera sido de 120 km, no habrían tenido ningún problema con esta parte). Resulta realmente llamativa la dificultad de comprensión de la división cuando el cociente o el divisor no son números enteros. La causa la tengo clara: demasiadas divisiones hechas en primaria, con poca atención a su significado.

 

Las reglas de divisibilidad

Ahí siguen en el nuevo currículo de primaria ya publicado en el BOE: “Conoce y aplica los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 9 y 10”. Resulta curiosa la elección de los posibles divisores, porque si al final de primaria hay que hablar de un “criterio de divisibilidad por 2”, o por 10, es que la cosa va muy mal … Por otra parte, ¿por qué 9 si, y 4 y 8 no? Pero no quiero entrar hoy en discusiones curriculares, sino que me gustaría centrarme en las matemáticas.

Lo primero que habría que aclarar es que, más que reglas de divisibilidad, de lo que habría que hablar es de cálculo de restos (naturalmente, sin necesidad de hacer la división). Y me parece un matiz importante: cuando empiezo a tratar el tema con mis alumnos de magisterio, todos tienen claro cuándo un número es divisible por 5. Sin embargo, si escribo en la pizarra 5427 y les pregunto que cuál es el resto al dividir entre 5, pocos tienen claro que la respuesta es inmediata, y que no hace ninguna falta calcular el cociente. En el caso del divisor 5 (y, naturalmente, para el 2 y el 10) es realmente muy sencillo, y no veo ninguna razón para que los alumnos no lo tengan totalmente claro al terminar primaria. De hecho, creo que trabajarlo junto con la división es una buena forma de profundizar en la comprensión de la división con resto.

Durante mis dos primeros cursos en la Facultad de Educación, traté este tema con la maquinaria de las congruencias. La primera razón para hacerlo fue que el cálculo de congruencias me parece una oportunidad excelente para “pensar desde cero”. El tema no es difícil, pero eso de que 2+1 = 0 (módulo 3), es algo que pone a prueba la capacidad de abstracción de los alumnos. Sigo pensando lo mismo pero, teniendo en cuenta el escaso tiempo disponible, y las dificultades que seguimos detectando en contenidos más básicos, pensamos que lo mejor era dejar el cálculo de congruencias fuera del programa. Lo que hemos hecho estos últimos cursos es tratar el tema con el punto de vista de “aritmética con restos”, que resulta más rápido y mucho más cercano a los contenidos de primaria.

Volviendo a las “reglas de divisibilidad”, la siguiente, en orden de dificultad, es la del 4. Entender que para calcular el resto al dividir por 4 es suficiente considerar las unidades y las decenas es una aplicación básica de las descomposiciones de números, y de que 100 es múltiplo de 4. La observación es la de siempre: no tiene ningún sentido dedicarle horas y horas a ejercicios de descomposiciones numéricas, a lo largo de toda la primaria, cuando la mejor forma de entenderlas de verdad es verlas en acción. Una vez vista la del 4, no cuesta ningún trabajo incluir la del 8.

Y llegamos a las del 3 y el 9. Veamos cómo se puede calcular el resto de 85 al dividir por 3. Como 85 = 80 + 5, el reparto de 85 caramelos entre 3 niños se puede organizar, en etapas, de la siguiente forma: repartimos grupos de 10, y de cada grupo nos sobra, de momento, 1 caramelo. Por tanto, tras esta primera etapa tenemos pendientes de repartir 8 + 5 caramelos. Con este sencillo argumento, ya sabemos que el resto de 85 al dividir por 3 es el mismo que el resto de 8 + 5 al dividir por 3. Una vez entendida la propiedad para números de dos cifras, me parece sencillo ver cómo se extiende al caso general. Lo único que hace falta es darse cuenta de que todas las potencias de 10 tienen resto 1 al dividir por 3. Naturalemente, el caso del 9 es exactamente igual, precisamente porque las potencias de 10 también tienen resto 1 al dividir por 9.

¿Tiene sentido llevar este planteamiento a un aula de primaria? Creo que sí, pero me falta la experiencia de aula para estar más convencido. De lo que sí estoy convencido es de que, si se piensa que no se pueden – o que no hay tiempo para – explicar cómo funcionan ciertas reglas de divisibilidad, lo que habría que hacer es eliminarlas completamente del programa. ¿Qué se perdería? Cuando, a la hora de factorizar un número, se necesite comprobar si es divisible por 3, siempre existe la opción de hacer la división. El problema de introducir la regla sin explicación es el de siempre: hacemos un poco más profundo ese pozo de las matemáticas como conjunto inextricable de rutinas y recetas varias.

Un último comentario: una vez más se dejan fuera del currículo los casos más interesantes. Comprobar que la condición para que un número sea múltiplo de 6 es que lo sea de 2 y de 3 contribuye a mejorar la comprensión de los conceptos de múltiplo y de mínimo común múltiplo. El cálculo del resto me parece una oportunidad perfecta para una actividad de trabajo de aula. Se puede proponer calcular diversos restos al dividir por 2, por 3 y por 6, y buscar patrones en los resultados. Una vez detectado el patrón, entenderlo en términos de “reparto de caramelos” podría estar al alcance de muchos alumnos.

¿En cuánto se queda este libro?

No sé si os ha pasado lo mismo, pero hoy he estado unos minutos en una librería y he escuchado un par de veces la pregunta. Naturalmente (para los lectores de fuera, hoy ha sido el día del libro y cada vez está más extendida la costumbre) el libro estaba rebajado un 10%. ¿Cuánta “gente de la calle” no es capaz de calcular el nuevo precio si hacemos una rebaja del 10%? Desde mi punto de vista, el análogo en “letras” sería calificado claramente de síntoma de analfabetismo.

Pero puestos a reflexionar sobre las causas, me parece evidente que el origen es la forma de abordar los problemas de porcentajes. Por lo que detecto en mis estudiantes de magisterio, la forma más extendida (en muchos casos, la única) es la consabida regla de tres. Por supuesto, si hay que recurrir a una regla de tres para calcular el 10% de algo, es perfectamente natural que el cálculo no esté al alcance del comprador medio. Estamos antre otra indicación más de lo útil que sería insistir en el cálculo mental, pensado o reflexivo. Por cierto, se me ha ocurrido otro nombre que sería ahora mi voto, aunque no pretendo entrar de nuevo en la discusión semántica: cálculo natural.

Sobre el cálculo mental

Lo primero que habría que hacer con el cálculo mental, en el sentido en el que me parece más interesante, es buscarle un nombre nuevo. El problema de este nombre es que es muy fácil que nos remita a ciertas prácticas que eran populares hace años y que, teniendo cierto interés, son una versión muy restrictiva de lo que habría que llamar ¿cálculo pensado, cálculo reflexivo, cálculo razonado? Tan interesante como el cálculo mental “clásico” me parece escribir la suma en fila 25 + 17 = 42 y, cuando los números crecen, ayudarse escribiendo 257 + 166 = 300 + 110 + 13 = 423   (o 257 + 166 = 357 + 66 = 417 + 6 = 423:   una de las ideas que me parecen más importantes en este tema es que no hay una única forma, ni siquiera una “mejor forma” de hacer estos cálculos).  Aquí va la primera encuesta de este blog, ¿qué nombre le parece más adecuado?

¿Cómo empezar con el cálculo reflexivo? (Sí, creo que ese es mi voto). Estoy pensando sobre ello, mientras elaboro algunos materiales para 1º de Primaria. Trataré el tema en una futura entrada. Me encantaría observar qué ocurre en un aula en la que se ha introducido el número de dos cifras, y se plante el problema de calcular 17+15. ¿Qué tipo de estrategias aparecerían en el aula? No conozco ningún estudio sobre el tema.

Quizá porque en el cálculo mental no tenemos tradición, nunca está del todo claro de qué estamos hablando exactamente. Con la idea de animar el debate, aqui está un ejemplo de una prueba que les puse a mis alumnos de magisterio este curso. Les dejé 3 minutos para que la contestaran. Ya tenía claro que no les iba a resultar sencilla, pero me interesaba lanzarles el mensaje de que ese debería ser un nivel razonable para un alumno -¿de primer ciclo de ESO?- que hubiera trabajado bien el tema. Hicieron la prueba un total de 48 alumnos. La mediana del número de aciertos fue un 6, el máximo un 15, y hubo 3 alumnos que no respondieron correctamente a ninguna pregunta.

Otra prueba que les puse fue ésta (tipo “cifras y letras”). El tiempo fueron 5 minutos, uno para cada pregunta. Les gustó más, no tengo claro en qué medida porque el trabajo es más creativo o porque la dificultad fue menor. Hicieron la prueba un total de 38 alumnos. La mediana del resultado fue 2.5 (puntuaba 0.5 si no se conseguía el número sino uno más o menos). 6 alumnos (de un total de 38) obtuvieron 4 puntos, y sólo uno se quedó sin ningún punto. Preparando la prueba descubrí este enlace que pueden ser interesante. Creo que los niveles de dificultad están bastante bien conseguidos. El inconveniente es que no pide la expresión completa del cálculo, con los paréntesis necesarios, que me parece importante, al menos para los alumnos de magisterio.